Координатная плоскость, 7 класс

7 класс алгебра

Линейная функция

Координатная плоскость.

Линейное уравнение с двумя переменными

и его график

Цели:

• Напомнить понятие координатной плоскости.
• Рассмотреть изображение точки на координатной плоскости.
• Дать понятие об уравнении с двумя переменными, их решение и графике уравнения.
• Научить строить график линейного уравнения с двумя переменными.
• Изучить алгоритм построения графика линейного уравнения с двумя переменными.

y

Две взаимно перпендикулярные числовые оси образуют прямоугольную систему координат

Вспомним!

Ординат

(ось оу)

I

II

1

O

x

1

-1

-1

IV

III

Абсцисс

(ось ох)

Координатные углы

3

y

Вспомним!

х = -3

х = -5

Х = 4

х = 2

Алгоритм отыскания координат точки М(a;b)

• Провести через точку

прямую, параллельную оси у,

и найти координату точки

пересечения этой прямой с осью

х – это и будет абсцисса точки.

В

5

У = 5

А

3

У = 3

O

2. Провести через точку

прямую, параллельную оси х,

и найти координату точки

пересечения этой прямой с осью

у - это и будет ордината точки.

x

-3

-5

1

2

4

-2

М

у = -2

В(2;5);

А(-3;3)

у = -5

-5

С

С(4;-5);

М(-5;-2);

4

Вспомним!

Алгоритм построения точки М(a;b)

• Построить прямую х = а.
• Построить прямую у = b.
• Найти точку пересечения построенных прямых – это и

будет точка М(а;b)

6

A (-4; 6)

D (0; -5)

C (2; 0)

B (5; -3)

-4

5

2

-3

-5

5

Вспомним!

aх + b = 0

Уравнение вида:

называется линейным уравнением

с одной переменной (где х – переменная,

а и b некоторые числа).

Внимание!

х – переменная входит в уравнение

обязательно в первой степени.

(45 - у) + 18 = 58

линейное уравнением

с одной переменной

3х² + 6х + 7 = 0

не линейное уравнением

с одной переменной

5

Линейное уравнение с двумя переменными

Уравнение вида:

ах + by + c = 0

называется линейным уравнением с

двумя переменными (где х, у - переменные,

а, b и с - некоторые числа).

Решением уравнения с двумя неизвестными называется пара переменных, при подстановке которых уравнение становится верным числовым равенством.

(х;y)

6

Решить линейное уравнение с одной

переменной – это значит найти те

значения переменной, при каждом

из которых уравнение обращается

в верное числовое равенство.

(х;y)- ?

Таких решений бесконечно много.

6

Линейное уравнение с двумя переменными обладают свойствами, как уравнения с одной переменной

• Если в уравнении перенести слагаемое из одной

части в другую, изменив его знак, то получится

равносильное уравнение.

2. Если обе части уравнения умножить или

разделить на число (не равное нулю), то

получится равносильное

уравнение.

6

Уравнения с двумя переменными имеющие

одни и те же корни , называют

равносильными.

Равносильные уравнения

Так как член 4у³ перенесен из левой

части в правую

6

y

Пример 1

Изобразить решения линейного

уравнения с двумя переменными

х + у – 3 = 0 точками в

координатной плоскости.

Р(-4; 7)

7

М(-2; 5)

5

1. Подберем несколько пар чисел,

которые удовлетворяют

уравнению:

(3; 0), (2; 1), (1; 2), (0; 3), (-2; 5).

Е(0; 3)

3

С(1; 2)

2

В(2; 1)

1

А(3; 0)

2. Построим в хОу точки:

O

А(3; 0), В(2; 1), С(1; 2),

Е(0; 3), М(-2; 5).

x

3

2

1

1

-4

-2

m

Р(-4; 7) – пара, которая принадлежит

прямой и есть решением уравнения

3. Соединим все точки.

Внимание!

Все точки лежат на одной прямой.

m - график уравнения х + у - 3 = 0

Говорят: т – геометрическая

модель уравнения х + у – 3 = 0

10

Вывод:

Если (-4; 7) – пара чисел, удовлетворяет уравнению, то точка Р(-4; 7) принадлежит прямой т.

Наоборот:

Если точка Р(-4; 7) принадлежит прямой т, то пара(-4;7) - есть решением уравнения.

11

х + у – 3 = 0

Реальная ситуация (словесная модель)

Алгебраическая модель

Сумма двух чисел равна 3.

Геометрическая модель

х + у = 3

(линейное уравнение с двумя переменными)

прямая т

(график линейного уравнения с двумя переменными)

Теорема:

Графиком любого линейного уравнения ах + by + c = 0 есть прямая.

Для построения графика достаточно найти координаты двух точек.

11

y

Пример 2

3 х - 2у + 6 = 0

Построить график уравнения

3 х - 2у + 6 = 0

1. Пусть х = 0, подставим в

уравнение 3· 0 - 2у + 6 = 0

- 2у + 6 = 0

- 2у = - 6

3

у = - 6 : (-2)

у = 3

(0;3) - пара чисел, есть решением

0

x

1

2. Пусть у = 0, подставим в

-2

уравнение 3· х - 2· 0 + 6 = 0

3х + 6 = 0

3х = - 6

х = - 6 : 3

х = - 2

(-2;0) - пара чисел, есть решением

3. Построим точки и

соединим прямой

Алгоритм построения графика

уравнения ах + bу + c = 0

• Придать переменной х конкретное значение х ₁; найти

из уравнения

ах + bу + c = 0 соответствующее значение у ₁. Получим (х₁;у₁).

2. Придать переменной х конкретное значение х ₂; найти

из уравнения

ах + bу + c = 0 соответствующее значение у ₂.

Получим (х ₂ ;у ₂ ).

3. Построим на координатной плоскости точки (х₁; у₁),

(х ₂ ; у₂) и соединим прямой.

4. Прямая – есть график уравнения.

14

Ответить на вопросы:

• Что называется координатной плоскостью?
• Какой алгоритм нахождения координат точки на

координатной плоскости?

• Какой алгоритм построения точки на

координатной плоскости?

• Сформулируйте основные свойства уравнений.

• Какие уравнения называются равносильными?
• Что является решением линейного уравнения с

двумя переменными?

7. Какой алгоритм построения графика линейного

уравнения с двумя переменными?

15