Краткий курс математики 6 класса

Масштаб

Отношение длины отрезка на карте к длине соответствующего отрезка на местности называют масштабом карты. (М 1 : 1 000 000 – одному см на карте соответствует 1 000 000 см на местности)

Длина окружности и площадь круга

С =2πr, где С – длина окружности, r- радиус, π – постоянная величина(отношение длины окружности к диаметру).

π ≈ 3,1415926 , π =

С = πd, где d = 2r, d – диаметр окружности.

S=π , где S –площадь круга, r – радиус круга.

Положительные и отрицательные числа

Два числа, отличающиеся друг от друга только знаками называются противоположными.(2 и -2; 4,5 и -4,5)

-(-а) = а

(противоположное числу (–а) – это число а)

Правила сложения отрицательных чисел и чисел с разными знаками

1. Чтобы сложить два отрицательных числа, надо сложить их модули и перед полученным результатом поставить знак «-».

- 8 – 6 = - 8 + (-6) = -14

2) Чтобы сложить два числа с разными знаками, надо из большего модуля вычесть меньший и перед полученным результатом поставить знак большего модуля.

23 – 36 = 23 + (-36) = - (36 -23) = -13

Умножение и деление положительных и отрицательных чисел.

Модуль числа

Модулем числа а называют расстояние (в единичных отрезках) от начала координат до точки А(а).

|6|=6, |-8| = 8;

|х|=6, значит, х=-6 и х= 6.

|х|=-12, то решений нет!

Модуль числа не может быть отрицательным!!!

Правила сравнения чисел

1) Любое отрицательное число меньше любого положительного.

2)Нуль больше любого отрицательного числа.

3) Нуль меньше любого положительного числа.

4) Из двух отрицательных больше то, которое по модулю меньше.(-6 -53)

Дроби

1)Чтобы найти дробь от числа, надо число умножить на эту дробь.

Пример: от 12, 12* = =8;

25 от 84, 25%=0,25, 84*0,25=21;

0,2 от 14, 14*0,2=2,8.

2)Чтобы найти число по данному значению его дроби, надо это значение разделить на дробь.

Пример: Найти число, 12 которого равны 60.

12 = 0,12, 60 : 0,12 = 500, т. е. это число 500

Два числа, произведение которых равно 1, называют взаимно обратными.

Пример: и , т. к. =1; 7 и

Чтобы разделить одну дробь на дугую, надо делимое умножить на число, обратное делителю.

Пример: : = * = =6.

Отношения и пропорции

Отношение двух чисел — это их частное.

Отношение 75 к 25 можно записать в виде:

Отношение 3 к 6 можно записать в виде:

Отношение двух чисел показывает:

во сколько раз одно число больше другого;

какую часть одно число составляет от другого.

Пропорции

Равенство двух отношений называется пропорцией.

Например:
2 : 3 = 8 : 12;

Где:

a и d — это крайние члены пропорции;

b и c — это средние члены пропорции.

Основное свойство пропорции: a * d = b * c

Произведение средних членов истинной пропорции равно произведению ее крайних членов.

Средние и крайние члены пропорции можно менять местами, от этого пропорция не изменится.

Неизвестный член пропорции

Например: 2 : 3 = x : 12 или x : 3 = 8 : 12.

В первом примере неизвестен средний член пропорции, а во втором — ее крайний член.

Чтобы найти неизвестный крайний член пропорции, надо произведение средних членов пропорции разделить на известный крайний член.

Чтобы найти неизвестный средний член пропорции, надо произведение крайних членов пропорции разделить на известный средний член.

Раскрытие скобок

Если перед скобками стоит знак «+», то можно опустить скобки и этот знак «+», сохранив знаки слагаемых, стоящих в скобках. Если первое слагаемое в скобках записано без знака, то его надо записать со знаком «+».

Пример . Найдём значение выражения

-2,87 + (2,87 - 7,639).

Р е ш е н и е. Раскрывая скобки, получим

-2,87 + (2,87 - 7,639) = -2,87 + 2,87 - 7,639 = 0 - 7,639 = -7,639.

Чтобы раскрыть скобки, перед которыми стоит знак «-», надо заменить этот знак на «+», поменяв знаки всех слагаемых в скобках на противоположные, а потом раскрыть скобки.

Пример . Найдём значение выражения

9,36 - (9,36 - 5,48).

Р е ш е н и е.

9,36 - (9,36 - 5,48) = 9,36 + (-9,36 + 5,48) = 
= 9,36 - 9,36 + 5,48 = 0 + 5,48 = 5,48.

Коэффициент и подобные слагаемые

Слагаемые, имеющие одинаковую буквенную часть, называются подобными слагаемыми. Примеры: 5а и -а; 2с и -12с.

Числовой множитель, стоящий перед буквенным множителем, называют коэффициентом.

Так, в выражении 5а коэффициент равен 5, а в выражении (-а) коэффициент равен (-1)

.

Нахождение алгебраической суммы подобных слагаемых называется приведением подобных слагаемых.

Чтобы привести подобные слагаемые, надо сложить их коэффициенты и полученный результат умножить на их общую буквенную часть (т.е. к полученному результату приписать их общую буквенную часть).

Примеры. Привести подобные слагаемые.

а) 2а-7а+9а-6а = (2-7+9-6)а = -2а;

б) -4m+6m-3m+4m = (-4+6-3+4) m = 3m;

в) 5,2с-2,8с-6,4с+9с = (5,2-2,8-6,4+9)с = 5с.

Решение уравнений

• Равенство с переменной называют уравнением.

•  Решить уравнение – значит найти множество его корней. Уравнение может иметь один, два, несколько, множество корней или не иметь их вовсе.

• 1) Любое слагаемое уравнения можно перенести из одной части равенства в другую, изменив при этом знак слагаемого на противоположный.

•  2)Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному уравнению.

Запись обыкновенной дроби

в виде десятичной