Квадратичная функция, её свойства и график

Пр.з.1. Число 15 представить в виде суммы двух чисел так, чтобы произведение этих чисел было наибольшим.

Решение, Пусть x и (15-x) – данные числа. Тогда их произведение x(15-x) должно быть наибольшим.
Рассмотрим функцию y=x(15-x), y=- +15x – квадратичная функция, график – парабола.
a=-1 =- = = 7,5
Итак, 7,5 – первое число, тогда 15-7,5 = 7,5 – второе число.
Ответ: Эти числа 7,5 и 7,5.

Пр.з.2. Сумма двух чисел равна 10. Найти эти числа, если сумма их кубов является наименьшей.

Решение. Пусть x и (10-x) – искомые числа. Тогда сумма их кубов:
+ , у= +(1000-3*100x+3*10 - ), у= +1000-300x+30 - , у=30 -300x+1000 – квадратичная функция, график – парабола.
a=301, значит, ветви параболы направлены вверх, и наименьшее значение парабола принимает в ее вершине.
=- =5.
Итак, первое число – 5, тогда второе 10-5=5.
Ответ: Эти числа 5 и 5.

Номера из учебника: №624(1,2), 625(2,4).

Решение:

№624:

1) y= -7x+10.

1. y0 при x5

yпри 2

1. y возрастает при x3,5

y убывает при x

1. a=10, значит функция принимает наименьшее значение в своей вершине, то есть при =- =3,5.

2) y=- +x+2.

1. y0 при -1

yпри x2

1. y возрастает при x

y убывает при x0,5

1. a=-1 =- =0,5.

№625:

2) y=-3 -2x+1.

1. yпри x

yпри -1

1. y возрастает при x

y убывает при x-

1. a=-3 =- =- .

4) y=3 -8x+4.

1. yпри

y0 при x , x2

1. y возрастает при x1

y убывает при x

a=30, значит функция принимает наименьшее значение в своей вершине, то есть при =- =1 .

3. Рефлексивно-оценочная часть

-Какова была цель нашего урока? (Изучить в процессе докладов учащихся построение графиков функций = и 𝑦 =𝑎𝑥²+𝑏𝑥+𝑐)

-Достигли ли мы данной цели? (Да)

РЕФЕРАТЫ

Реферат первой группы на тему «График функции = при 1 и её свойства»

Пример 1.

Построим график функции y = 2x² и сравним его с графиком функции y = x².

Составим таблицу значений функции y = x²

Также составим таблицу значений функции y = 2x²

Из таблиц видно, что при одних и тех же значениях аргумента значения функции y = 2x² больше значений функции y = x² в 2 раза. Графически это означает, что график функции y = 2x² получается растяжением графика функции y = x² от оси Ох вдоль оси Оу в 2 раза.

Пример 2.

Построим график функции y = 2,5x² и сравним его с графиком функции y = x².

Составим таблицу значений функции y = x²

Также составим таблицу значений функции y = 2,5x²

Из таблиц видно, что при одних и тех же значениях аргумента значения функции y = 2,5x²  больше значений функции y = x² в 2,5 раза. Графически это означает, что график функции y = 2,5x² получается растяжением графика функции y = x² от оси Ох вдоль оси Оу в 2,5 раза.

Пример 3.

Построим график функции y =  x² и сравним его с графиком функции y = x².

Составим таблицу значений функции y = x²

Также составим таблицу значений функции y =  x² или y =  x²

Из таблиц видно, что при одних и тех же значениях аргумента значения функции y =  x² больше значений функции y = x² в   раза. Графически это означает, что график функции y =  x² получается растяжением графика функции y = x² от оси Ох вдоль оси Оу в   раза.

Таким образом, график функции y = ax² при любом a1 можно также назвать параболой.

При a1 значения функции y = ax² больше значений функции y = x²  в а раз, следовательно, график функции y = ax²  получается из графика функции y = x²  растяжением его в а раз от оси Ох вдоль оси Оу.

Свойства функции y = ax² при a  1:

1. Если x = 0, то y = 0.

График функции проходит через начало координат – вершина параболы.

 2. Если x ≠ 0, то y 0.

График функции расположен в верхней полуплоскости.

1. Противоположным значениям аргумента соответствуют равные значения функции.

График функции представляет собой симметричную фигуру относительно оси y.

 4. В промежутке (–∞; 0] функция убывает, а в промежутке [0; +∞) - возрастает.

 5. Функция принимает наименьшее значение, равно нулю, при x = 0.

6. Наибольшего значения функция не имеет, т.е. областью значений функции является промежуток [0; +∞).

7. Ветви параболы направлены вверх.

8. Фокус параболы находится в точке .

Квадратичная функция y = ax²  играет большую роль в познании реального мира. Рассмотрим несколько примеров парабол.

В физике можно рассмотреть следующие зависимости:

- мощности электрического тока P=I²R при постоянном сопротивлении,

- кинетической энергии E=mv²/2 при постоянной массе.

В природе встречается данный вид квадратичной функции, например, горы задают именно такую функцию.

Другой пример:

№ 595

Реферат второй группы на тему
«График функции = при и её свойства»

Пример 1.

Построим график функции y =  x² и сравним его с графиком функции y = x².

Составим таблицу значений функции y = x²

Также составим таблицу значений функции y =  x²

Из таблиц видно, что при одних и тех же значениях аргумента значения функции y =  x² меньше значений функции y = x² в 2 раза. Графически это означает, что график функции y =  x²  получается сжатием графика функции y= вдоль оси Oy к оси Ox в 2 раза.

Пример 2.

Построим график функции y =  x² и сравним его с графиком функции y = x².

Составим таблицу значений функции y = x²

Также составим таблицу значений функции y =  x²

Из таблиц видно, что при одних и тех же значениях аргумента значения функции y =  x² меньше значений функции y = x²в раза. Графически это означает, что график функции y =   x²  получается сжатием графика функции y= вдоль оси Oy к оси Ox в раза

Пример 3.

Построим график функции y = 0,2x² и сравним его с графиком функции y = x².

Составим таблицу значений функции y = x²

Также составим таблицу значений функции y = 0,2x²

Из таблиц видно, что при одних и тех же значениях аргумента значения функции y =0,2x² меньше значений функции y = x² в 5 раз. Графически это означает, что график функции y = 0,2 x²  получается сжатием графика функции y= вдоль оси Oy к оси Ox в 5 раз.

Таким образом, график функции y = ax² при любом 0a можно также назвать параболой.

При 0a значения функции y = ax² меньше значений функции y = x²  в раз, следовательно, график функции y = ax²  получается из графика функции y = x²  сжатием его в раз к оси Ох вдоль оси Оу.

Свойства функции y = ax² при 0a 

1. Если x = 0, то y = 0.

График функции проходит через начало координат – вершина параболы.

 2. Если x ≠ 0, то y 0.

График функции расположен в верхней полуплоскости.

3. Противоположным значениям аргумента соответствуют равные значения функции.

График функции представляет собой симметричную фигуру относительно оси y.

 4. В промежутке (–∞; 0] функция убывает, а в промежутке [0; +∞) - возрастает.

 5. Функция принимает наименьшее значение, равно нулю, при x = 0.

6. Наибольшего значения функция не имеет, т.е. областью значений функции является промежуток [0; +∞).

7. Ветви параболы направлены вверх.

8. Фокус параболы находится в точке .

График квадратичной функции – парабола - довольно часто встречается в окружающей действительности. Например, это можно наблюдать в рампах, которые строятся для велосипедистов и скейтбордистов, а также в спутниковых тарелках.

Другой пример:

Задание: Постройте на милиметровой бумаге график функции y= . По графику приближенно найти:
1) значения y, при x= -1; -1,2; -4; 2; -2,5.

2) значения x, если y= 1; 8; 2; 6; 2,25.

Решение:

1. y(-1)=0,5
   y(-1,2)≈0,7
   y(-4)=8
   y(2)=2
   y(-2,5)=3

2. при y=1 =-1,5, =1,5
   при y=8 =-4, =4
   при y=2 =-2, =2
   при y=6 =-3,5, =3,5
   при y=2,25 ≈-2,1, ≈2,1

Реферат 3 группы

«График функции = при a и её свойства»

Пример 1. Построим график функции  и сравним его с графиком функции y = x².

Составим таблицу значений функции y= .

х	-1	0	1	2
y = x2	1	0	1	4

Также составим таблицу значений функции y=−

х	-1	0	1	2
y = x2	-1	0	-1	-4

Из таблиц видно, что при одних и тех же значениях аргумента значения функции y = - x² противоположны значениям функции y = x². Графически это означает, что график функции y = - x² получается отражением из графика функции y= от оси Ox

Пример 2. Построить график функции и сравним его с графиком функции y = 2x².

Составим таблицу значений функции y= .

х	2	1	0	-1	-2
	8		0		8

Также составим таблицу значений функции y=−

х	2	1	0	-1	-2
	-8		0		-8

Из таблиц видно, что при одних и тех же значениях аргумента значения функции y = - 2 x² противоположны значениям функции y = 2 x² . Графически это означает, что график функции y = - 2 x²  получается отражением из графика функции y= от оси Ox

Пример 3. Построить график функции и сравним его с графиком функции y =  x².

Составим таблицу значений функции .

х	6	3	1	0	-1	-3	-6
	12	3		0		3	12

Также составим таблицу значений функции

х	6	3	1	0	-1	-3	-6
	-12	-3	-	0		-3	-12

Из таблиц видно, что при одних и тех же значениях аргумента значения функции y = x² противоположны значениям функции y = x². Графически это означает, что график функции y =  x² получается отражением из графика функции y= от оси Ox

Таким образом, график функции y = ax² при любом a можно также назвать параболой.

Известно, что чтобы построить график функции , надо построить график функции , а затем все точки этого графика отразить от оси .

К указанному выводу легко прийти, сравнивая значения функций и при одних и тех же значениях аргумента.

Легко доказывается, что при симметрии относительно оси образ любой точки , принадлежащей графику функции , есть точка , принадлежащая графику функции , а также обратно.

Итак. при a значения функции y = ax² противоположны значениям функции y = -ax² , следовательно, график функции y = ax²  получается из графика функции y = -аx²  отражением от оси Ох.

Свойства функции y = ax² при a

1. Если x = 0, то y = 0.

График функции проходит через начало координат – вершина параболы.

1. Если x ≠ 0, то y

График функции расположен в нижней полуплоскости.

1. Противоположным значениям аргумента соответствуют равные значения функции.

График функции представляет собой симметричную фигуру относительно оси y.

1. В промежутке (–∞; 0] функция возрастает, а в промежутке [0; +∞) – убывает.

2. Функция принимает наибольшее значение, равно нулю, при x = 0.

3. Наименьшего значения функция не имеет, т. е. областью значений функции является промежуток (–∞; 0].

4. Ветви параболы направлены вниз;

5. Фокус параболы находится в точке .

Графиком квадратичной функции y = ax² при a

Задание.

На миллиметровой бумаге построить график функции . По графику приближенно найти:

1. значения у при х=-2,8; -1,2; 1,5; 2,5;

2. значения х, если у=-9; -6; -8; -1,3.

Решение.

x	-2	-1	0	1	2
y	-12	-3	0	-3	-12

1. y(-2,8) ≈ -24

y(-1,2) ≈ -4,4

y(1,5) ≈ -6,8

y(2,5) ≈ -18,8

1. при у = -9 ≈ 1,7; ≈ -1,7

при у = -6 ≈ 1,4; ≈ -1,4

при у =- 8 ≈ 1,6; ≈ -1,6

при у = -1,3 ≈ 0,6; ≈ -0,6

Реферат 4 группы

«Построение графика функции методом выделения полного квадрата»

Пример 1.

Построим график функции

Составим таблицу:

х	-3	-2	-1	0	1	2	3
	18	11	6	3	2	3	6

Построим найденные точки и проведем через них плавную кривую:

Преобразуем формулу, задающую функцию используя метод выделения полного квадрата: , .

Видим, что тогда график функции следующими преобразованиями:

1. - сдвиг (параллельный перенос) вправо на 1 единицу.

сдвиг (параллельный перенос) вверх на 2 единицы.

Пример 2.

Построим график функции из графика функции с помощью выделения полного квадрата.

Преобразуем формулу: , .

Видим, что тогда график функции следующим преобразованием:

сдвиг (параллельный перенос) графика функции влево на 2 единицы.

Пример 3.

Построим график функции из графика функции с помощью выделения полного квадрата.

Преобразуем формулу: , .

Видим, что тогда график функции следующими преобразованиями:

1. - сдвиг (параллельный перенос) вправо на 2 единицы.

2. - сдвиг (параллельный перенос) вверх на 0,25 единиц.

Итак, графиком функции является парабола, получаемая сдвигом параболы :

• вдоль оси абсцисс:

• вправо на , если 0;

• влево на если

• вдоль оси ординат:

• вверх на , если ;

• вниз на , если .

Любую квадратичную функцию с помощью выделения полного квадрата можно записать в виде , т.е. в виде , где и .

Таким образом, график функции y   можно также назвать параболой.

Если у квадратичной функции

• a0, то ветви параболы напрaвлены вверх;

• a

Итак, координаты ( ) вершины параболы можно найти по формулам и .

Если a0 , то в промежутке (–∞; ] функция убывает, а в промежутке [ ; +∞) - возрастает.

Если a, то в промежутке (–∞; ] функция возрастает, а в промежутке [ ; +∞) - убывает.

Областью значений квадратичной функции является промежуток :

• , если а0

• , если а

Ось симметрии параболы – прямая, параллельная оси ординат и проходящая через вершину параболы.

Квадратичные функции часто встречаются в различных областях науки и техники. Например, если тело брошено вверх со скоростью υ, то расстояние s от него до поверхности земли в момент времени t определяется формулой где – расстояние от тела до поверхности земли в момент времени t=0.

Также квадратичные функции появляются при решении задач.

Задача: Одна сторона прямоугольника больше другой на 10 см Выразите площадь прямоугольника.

Пусть х сантиметров – высота прямоугольника, тогда его основание равно (х+10) сантиметров. Площадь этого прямоугольника равна х(х+10)

Раскрывая скобки, получаем:

Задание: № 624(3,4)

№ 624(3,4)

1. 

Преобразуем формулу:

Видим, что тогда график функции следующими преобразованием:

- сдвиг (параллельный перенос) вправо на 3 единицы.

1. 

Преобразуем формулу: , .

Видим, что тогда график функции следующим преобразованиями:

сдвиг (параллельный перенос) графика функции влево на 2 единицы;

сдвиг (параллельный перенос) графика функции вверх на 1 единицы

Реферат 5 группы

Доклад на тему: «Построение графика функции y =ax²+bx+c с помощью алгоритма»

Исходя из предыдущих докладов мы можем сделать вывод, что график любой квадратичной функции y=a +bx+c можно построить по следующему алгоритму:

1. Построить вершину параболы ( ; ), вычислив по формулам =- =y(

2. Провести через вершину параболы прямую, параллельную оси ординат, - оси симметрии параболы.

3. Найти нули функции, если они есть, и построить на оси абсцисс соответствующие точки параболы.

4. Построить две какие-нибудь точки параболы, симметричные относительно ее оси. Для этого надо взять две точки на оси Ox, симметричные относительно точки , и вычислить соответствующие значения функции (эти значения одинаковы). Например, можно построить точки параболы с абсциссами x=0 и x=2 , если ≠0 (ординаты этих точек равны c).

5. Провести через построенные точки параболу. Заметим, что для более точного построения графика полезно найти еще несколько точек параболы.

Пример 1. Построим график функции y= -4x+3.

1. Найдем координаты вершины параболы:

=- =2; = -7*2+10=-1.

Построим точку (2;-1).

1. Проведем через точку (2;-1) прямую, параллельную оси ординат – ось симметрии параболы.

1. Решая уравнение -4x+3=0, найдем нули функции: =1, =3. Построим точки (1;0) и (3;0).

1. Возьмем две точки на оси Ox, симметричные относительно точки x=2, например, точки x=0 и x=4. Вычислим значение функции в этих точках: y(0)=y(4)=3. Построим точки (0;3) и (4;3)

1. Проведем параболу через построенные точки.

Итак, мы построили график квадратичной функции, не выделяя при этом полный квадрат.

Пример 2. Построить график функции y=3 -8x+4.

1. Найдем координаты вершины параболы:

=- =1 ; =3* -8*1 +4=-1 .

Построим точку (1 ;-1 ).

1. Проведем через точку (1 ;-1 ) прямую, параллельную оси ординат – ось симметрии параболы.

2. Решая уравнение 3 -8x+4=0, найдем нули функции: =2, = . Построим точки (2;0) и ( ;0).

3. Возьмем две точки на оси Ox, симметричные относительно точки x=1 , например, точки x=0 и x=2 . Вычислим значение функции в этих точках: y(0)=y(2 )=4. Построим точки (0;4) и (2 ;4)

4. Проведем параболу через построенные точки.

Пример 3. Построить график функции y=0,5 +3x+2,5.

1. Найдем координаты вершины параболы:

=- =-3; =3* -8*(-3)+2,5=-2.

Построим точку (-3;-2).

1. Проведем через точку (-3;-2) прямую, параллельную оси ординат – ось симметрии параболы.

2. Решая уравнение 0,5 +3x+2,5=0, найдем нули функции: =-1, =-5. Построим точки (-1;0) и (-5;0).

3. Возьмем две точки на оси Ox, симметричные относительно точки x=-3, например, точки x=0 и x=-6. Вычислим значение функции в этих точках: y(0)=y(-6)=2,5. Построим точки (0;2,5) и (-6;2,5)

4. Проведем параболу через построенные точки.

Пример 4. Построить график функции y=-2 +3x+2.

1. Найдем координаты вершины параболы:

=- = ; =-2* +3* +2=3 .

Построим точку ( ;3 ).

1. Проведем через точку ( ;3 ) прямую, параллельную оси ординат – ось симметрии параболы.

   1. Решая уравнение -2 +3x+2=0, найдем нули функции: =2, =- . Построим точки (2;0) и (- ;0).

   2. Возьмем две точки на оси Ox, симметричные относительно точки x= , например, точки x=0 и x=1 . Вычислим значение функции в этих точках: y(0)=y(1 )=2. Построим точки (0;2) и (1 ;2)

   3. Проведем параболу через построенные точки.

Пример 5. Построить график функции y=-4 +4x-1.

1. Найдем координаты вершины параболы:

=- = ; =-4* +4* -1=0.

Построим точку ( ;0).

1. Проведем через точку ( ;0) прямую, параллельную оси ординат – ось симметрии параболы.

2. Решая уравнение -4 +4x-1=0, найдем нули функции: x=0,5. В данном случае функция имеет только один нуль – точку (0,5; 0), которая является вершиной параболы.

3. Возьмем две точки на оси Ox, симметричные относительно точки x= , например, точки x=0 и x=1. Вычислим значение функции в этих точках: y(0)=y(1)=-1. Построим точки (0;-1) и (1;-1)

4. Проведем построение дополнительных точек: x=-1 и x=3. Вычислим значение функции в этих точках: y(-1)=y(3)=-9. Построим точки (-1;-9) и (3; -9).

5. Проведем параболу через построенные точки.

Приведем примеры практических заданий, в которых используются свойства квадратичной функции.

Для начала вспомним свойства, которые нам понадобятся:

Функция y =ax²+bx+c принимает наименьшее или наибольшее значение в точке =- , которая является вершиной параболы.

При этом, если a0, то функция имеет наименьшее значение, а если a, то функция имеет наибольшее значение.

Пр.з.1. Число 15 представить в виде суммы двух чисел так, чтобы произведение этих чисел было наибольшим.

Решение, Пусть x и (15-x) – данные числа. Тогда их произведение x(15-x) должно быть наибольшим.
Рассмотрим функцию y=x(15-x), y=- +15x – квадратичная функция, график – парабола.
a=-1 =- = = 7,5
Итак, 7,5 – первое число, тогда 15-7,5 = 7,5 – второе число.
Ответ: Эти числа 7,5 и 7,5.

Пр.з.2. Сумма двух чисел равна 10. Найти эти числа, если сумма их кубов является наименьшей.

Решение. Пусть x и (10-x) – искомые числа. Тогда сумма их кубов:
+ , у= +(1000-3*100x+3*10 - ), у= +1000-300x+30 - , у=30 -300x+1000 – квадратичная функция, график – парабола.
a=301, значит, ветви параболы направлены вверх, и наименьшее значение парабола принимает в ее вершине.
=- =5.
Итак, первое число – 5, тогда второе 10-5=5.
Ответ: Эти числа 5 и 5.

Номера из учебника: №624(1,2), 625(2,4).

Решение:

№624:

1) y= -7x+10.

1. y0 при x5

yпри 2

1. y возрастает при x3,5

y убывает при x

1. a=10, значит функция принимает наименьшее значение в своей вершине, то есть при =- =3,5.

2) y=- +x+2.

1. y0 при -1

yпри x2

1. y возрастает при x

y убывает при x0,5

1. a=-1 =- =0,5.

№625:

2) y=-3 -2x+1.

1. yпри x

yпри -1

1. y возрастает при x

y убывает при x-

1. a=-3 =- =- .

4) y=3 -8x+4.

1. yпри

y0 при x , x2

1. y возрастает при x1

y убывает при x

1. a=30, значит функция принимает наименьшее значение в своей вершине, то есть при =- =1 .