Квадратный трехчлен и его корни

Квадратный трёхчлен и его корни.

Квадратным трёхчленом называется многочлен вида , где – некоторые числа, причём (иначе многочлен не будет квадратным), – переменная (переменная может обозначаться и другой буквой, например, …)

Например, – квадратный трёхчлен, здесь .

- тоже квадратный трёхчлен, у него .

По последнему примеру видно, что для квадратного трёхчлена обязательным является наличие переменной во второй степени, а коэффициенты и могут равняться нулю.

Корнем квадратного трёхчлена называется значение переменной, при котором квадратный трёхчлен равен нулю.

Значит, чтобы найти корни квадратного трёхчлена, нужно приравнять его к нулю и решить квадратное уравнение.

Например, найти корни квадратного трёхчлена .

• приравняем этот трёхчлен к нулю:

• решим квадратное уравнение с помощью теоремы Виета:

Значит, корнями данного квадратного трёхчлена являются числа и .

Любой квадратный трёхчлен можно представить в виде квадрата двучлена. Эта операция называется выделением квадрата двучлена. Для этой операции используются формулы квадрата суммы и квадрата разности. Покажем на примере, как это происходит.

Например, выделить квадрат двучлена из квадратного трёхчлена

• к первым двум слагаемым добавим такое слагаемое, чтобы вместе они составляли формулу квадрата разности. Но чтобы всё выражение не изменилось, это же слагаемое тут же вычтем:

• свернём получившуюся формулу и посчитаем оставшиеся слагаемые:

• квадрат двучлена выделен.

Приведём более сложный пример.

• поскольку коэффициент перед не является квадратом точного числа, вынесем 2 за скобки:

• к первым двум слагаемым в скобках прибавляем такое число, чтобы получилась формула квадрата суммы, и тут же это число и отнимаем:

• сворачиваем получившуюся формулу:

• раскрываем скобки (умножаем 2 на каждое слагаемое, стоящее в скобках):

.

Усложним ещё задачу.

• поскольку , а , то за скобки выносим только :

• в соответствии с формулой второе слагаемое должно являться удвоенным произведением первого выражения на второе, поэтому, распишем его в таком виде: . Значит, второе выражение , а в квадрате оно равно . Прибавляем и тут же отнимаем число :

• сворачиваем формулу и считаем оставшиеся слагаемые:

• вынесем множитель 2 из квадрата:

• раскрываем скобки:

Для того, чтобы выделять квадрат двучлена из трёхчлена нужно хорошо знать и понимать формулы квадрата суммы и квадрата разности. Без этих знаний операция недоступна. Напомним эти формулы.

Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого выражения, плюс удвоенное произведение первого выражения на второе, плюс квадрат второго выражения.

Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения, минус удвоенного произведение первого выражения на второе, плюс квадрат второго выражения.

Домашнее задание: повторить п. 3, решить №67, 68

2