Инновационные технологии в математике

инновационные ТЕХНОЛОГИИ В МАТЕМАТИКЕ

Гребенникова Елена Александровна,

Новосибирский государственный педагогический институт

E-mail: [email protected]

Аннотация. Исследуется и доказывается возможность применения новых технологий в изучении математики. Приведены примеры использования специализированных математических пакетов. Ключевые слова: информационные технологии, специализированные математические пакеты, пакет Wolfram Mathematicaция, функции, обучение.

Давно замечено, что из всех наук наиболее быстро развиваются точные. В настоящее время происходит интенсивная математизация знания, предполагающая, во-первых, обобщение уже достигнутого той или иной наукой и выделение нескольких ее основных утверждений (аксиом); во-вторых, закрепление принципов вывода, согласно которым утверждение данной науки логически вытекало из аксиом.

С другой стороны, растет множество специалистов-нематематиков, которым математика в настоящее время нужна в гораздо большем объеме, чем она излагалась в школе. Это– те специалисты, которые пытаются использовать математические методы в своих исследованиях [1]. Однако на практике очевидно либо наличие нечетких математических понятий, либо их отсутствие. Овладение же способом математического видения и описания объектов реального мира, на наш взгляд, должно стать обязательным атрибутом высококвалифицированного специалиста XXI века.

Математические формулы – лишь удобный язык для изложения идей и методов математики. Сами же эти идеи можно описать, используя привычные и наглядные образы из окружающей жизни. Математические понятия – понятия отвлеченные, абстрактные. Это лишь слепок с реального мира, его бледный силуэт. Выделяя абстрактные понятия в чистом виде, отсекая второстепенные детали, математик всегда обедняет жизнь.

Математическая мысль не исчерпывает всех проявлений человеческого разума. Однако еще Чарльз Дарвин утверждал, что у людей, усвоивших великие принципы математики, одним органом чувств больше, чем у простых смертных.

Одним из основных понятий математики является понятие функции. Покажем, как можно сформировать или уточнить это понятие (алгоритм приведен в [3]). Обратимся к задачам. Обсудим вопрос: нам необходимо повесить картину. Математическое обоснование следует сделать такое: в основу вывода положены две строгие математические зависимости. Первая устанавливает соответствие между следующими величинами: расстояние от нас до картины. Вторая связывает размеры картины и ее расположение на стене относительно пола. Такое соответствие принято называть в математике функцией одного аргумента.

Современная математика знает множество функций, и у каждой неповторимый облик, который можно представить сложенным из набора характерных деталей, в которых проявляются основные свойства функций. Функции – это математические портреты устойчивых закономерностей, познаваемых человеком.

Задача. На стене висит картина.

Высота картины 1,4м и располагается на 1,8м выше уровня глаз человека. На каком расстоянии от стены нужно встать, чтобы угол обзора был наибольшим?

1,4

1,8

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

х

Решение.

Составляем функцию (х), где – это угол обзора, а х – расстояние до стены.

Находим производную функции `(x).

Производную приравниваем к нулю.

Найдем (2,4). Найдем значение угла в радианах.

Найдем значение угла в градусах.

Найдем предел функции (х) при х-0, х-.

Предел получился равным нулю.

Находим максимальное значение среди стационарных точек.

Строим график функции (х).

Изобразить графически приведенные зависимости средствами языков программирования высокого уровня (TBasic, TPascal и др.) без соответствующей подготовки практически невозможно. Приведенные трудности можно успешно преодолеть, если использовать возможности специальных математических пакетов. Таким пакетом может быть хорошо зарекомендовавший себя пакет пакет Wolfram Mathematicaовна:

Задача 1. На стене весит картина, высота картины равна 1,4 метра, и картина располагается на 1,8 м выше уровня глаз человека. На каком расстоянии от стены нужно встать, чтобы угол обзора был наибольшим.

Решение:

1. Составляем функцию , где х – расстояние от месторасположение человека до стены.

1,4

1,8

х

2. Находим значение производной функции

3. Решаем уравнение =0

Получаем стационарные точки, по условию задачи удовлетворяет положительная точка

4. Определяем значение функции в полученной точке (значение вычисляется в радианах):

5. Полученное значение переводим в градусы

6. Вычисляем значение пределов на концах отрезка:

7. Вычисляем наибольшее значение между полученными результатами

8. Изображаем полученный результат в виде графика на промежутке [0,10]

На графике видно, что наибольшее значение достигается именно в точке 2,4

Задача 2. На стене весит картина, высота картины равна 1,4 метра, человек располагается на расстоянии 5 метров. На каком расстоянии от уровня глаз необходимо повесить картину, чтобы угол обзора был наибольшим.

Решение:

1. Составляем функцию , где х – расстояние от уровня глаз человека до картины.

Задача: При каком значении h, x угол обзора будет наибольшим

1. Составляем функцию , где h – расстояние от уровня глаз человека до картины, х – расстояние от человека до стены.

1. Находим значение частных производных функции )

1. Решаем систему уравнений, приравнивая частные производные к нулю:

Система решения не имеет

1. Находим наибольшее значение на концах промежутка:

1. Изображаем графически:

Задача 2: Коридоры поворачиваются под прямым углов, до поворота ширина b м, ширина после поворота a м. Какова максимальная длина трубы, которую можно горизонтально пронести через коридор?

а (м)

а

b (м)

Решение:

1. Рассматриваем пучок прямых y=k*x. Определяем координаты точек A и B, при котором длина отрезка AB, получающегося при пересечении длины с коридором, будет минимальной. Задаем функцию Fk:

В программе получаем:

1. Находим производную полученной функции:

В программе получаем:

1. Решаем уравнение, приравняв производную к нулю

Программой получили точки, одну положительную, три отрицательных). Будем рассматривать положительную точку.

1. Определяем значение функции Fk в полученной точке (k):

Программой получаем результат:

1. Вычисляем значение пределов на концах, при условии a=3(м), b=4(м)

Получим значение в конкретных точках:

Программа выдаст результат:

5⁰ Попробуем упростить полученное выражение:

Если хотим в десятичных дробях получить ответ, тогда:

Программа выдаст результат:

1. Вычисляем значение пределов: (при )

Программа выдает:

Вычисляем значение пределов: (при )

Программа выдает:

Минимальное значение получаем в экстремальной точке ()

1. Находим длину, вычисляя корень квадратный

Программа выдает:

Задача: Начальные условия с предыдущей задачи, но угол перегиба коридоров происходит под величиной 45

y a (м) B

45

x

b (м)

A

Решение:

l1+l2=a/(sin)+a/sin(45-)

Для начальных условий возьмем а=2
1. Введем функцию, зависимую от :

Программа выдаст результат:

2. Найдем производную функции:

Программа выдаст результат:

3. Приравниваем производную к нулю, вводя ограничения на , =0.01,

После выполнения программа выдаст результат:

4. Находим значение функции в полученной точке

Программа выдаст результат:

Получаем, что при а=2, максимальная длина пронесенного предмета составляет 8,86(м)

литература.

1.  Жмурова И. Ю., Генералова А. А. Оптимизационные задачи в школьном курсе математики // Молодой ученый. — 2016. — №14. — С. 537-539.
https://moluch.ru/archive/118/32649/ 

Может быть полезна при подготовке вашей первой статьи. Обосновывается, почему полезно в школе рассматривать оптимизационные задачи.  

2.Прикладные задачи на экстремумы, Куликова О.А. http://nsportal.ru/shkola/algebra/library/2011/10/19/prikladnye-zadachi-na-ekstremumy