Математика. Тригонометрия. Формулы приведения.

Теорема.   Для любого угла φ

sin (90° — φ) = cosφ.                                      (1)

Доказательство. Если угол φ оканчивается в 1-й четверти, то угол 90° + φ должен оканчиваться во 2-й четверти.   Используя   единичный   круг, получаем:

sin (90° + φ) = BD, cos φ  = ОС.

Но треугольники ОАС и BOD равны; поэтому BD = ОС.  Отсюда и вытекает равенство (1).

Если угол φ оканчивается во 2-й четверти, то угол 90° +φ должен оканчиваться в 3-й четверти. Используя единичный круг, получаем:

sin (90°+φ) = — BD, cos φ = —ОС.

Треугольники ОАС и BOD равны; поэтому BD = ОС. Следовательно, —BD = —ОС, или sin (90° +φ) = cos φ.

Аналогично можно рассмотреть случаи, когда угол φ оканчивается в 3-й или в 4-й четверти. Тождество (1) легко проверить и в случае, когда конечная сторона угла φ лежит на какой-нибудь оси координат. Предлагаем учащимся самостоятельно убедиться в этом.

Из доказанного тождества (1) вытекает ряд других важных тождеств. Заменив в (1) φ на — φ, получаем:

sin (90° — φ) = cos (—φ) = cos φ.                      (2)

Чтобы получить аналогичную формулу для cos (90° — φ), заменим в (2) φ на 90° — φ. В результате получаем:

или                sin  [90° — (90° — φ)] = cos   (90° — φ),

Итак,                            sin φ = cos (90° — φ).

cos (90° — φ) = sin φ.                            (3)

Из (2) и (3) вытекает:

tg (90° — φ) = ctg φ.        .                              (4)

Аналогично,                  

Формулы      

sin (90° — φ) = cos φ,    tg  (90° — φ) == ctg φ,

cos  (90° — φ) = sin φ,    ctg (90° — φ) = tg φ.

иногда называют формулами дополнительного угла. Это связано с тем, что углы 90° — φ и φ дополняют друг друга до прямого угла. Эти формулы очень просто запомнить: одна функция заменяется на другую, сходную с ней (синус на косинус, косинус на синус, тангенс на котангенс, котангенс на тангенс).