Преобразование уравнений

Тема: Преобразование уравнений

Рассмотрим наиболее часто встречаемые преобразования уравнений.

а) разложение на множители (или расщепление уравнений):

1. х³ – 4х² – 16х + 64 = 0
(х³ – 4х²) – (16х – 64) = 0
х²(х – 4) – 16(х – 4) = 0
(х – 4)(х² – 16) = 0
(х – 4)²(х + 4) = 0
х₁ = 4 или х₂ = – 4

Ответ: + 4.

2. х³ + х – 10 = 0
х³ + х – 8 – 2 = 0
(х³– 8) + (х – 2) = 0
(х – 2)(х² + 2х + 4) + (х – 2) = 0
(х – 2)( х² + 2х + 5) = 0
(х – 2) = 0 или х² + 2х + 5= 0
х₁ = 2 D = –16

Ответ: 2.

б) замена переменной в уравнении (или метод введения нового неизвестного):

– Какова суть метода? (Разбить уравнение на подуравнения).

Решите уравнение:

1. (х² + х + 1)(х² + х + 2) = 12 

Решение:

Пусть x² + x + 1 = t
Тогда t (t + 1) = 12
t² + t – 12 = 0, получаем t₁ = – 4; t₂ = 3.
Отсюда: х² + х + 1 = – 4 или х² + х + 1 = 3
х² + х + 5 = 0 х² + х – 2 = 0
D = –19 D = 9

корней нет х₁ = 1, х₂ = – 2

Ответ: – 2; 1

2. Используйте этот приём для решения следующего уравнения:

ОДЗ: х 0, х – 4, х – 2.
Запишем уравнение иначе: 
Пусть x² + 4x = t, тогда  
Получим: 1 ^. 5(t + 4) – 1 ^.   t ^. 5 = 4 ^. t ^. (t + 4)
5t + 20 – 5t = 4t² + 16t
4t² + 16t – 20 = 0
t² + 4t – 5 = 0

D = 36 0  

t₁ = 1; t₂ = – 5.

Оба корня принадлежат ОДЗ уравнения с переменной t.
Отсюда: x² + 4x = 1 или x² + 4x = – 5
x² + 4x – 1 = 0 x² + 4x + 5 = 0
D = 20 0  D = – 4
Оба корня принадлежат ОДЗ

Ответ: 

Решите самостоятельно

Решите уравнения:

1. х³ – 6х² + 11х – 6 = 0;

2. 3x​⁶−7x​³​​+2=0.

3. (2x² – 3x + 1)² = 11(2x² – 3x) + 1.