Презентация "Производная"

ПРОИЗВОДНАЯ.

Древнегреческие учёные умели решать немногие задачи кинематики – рассчитать либо равномерное прямолинейное движение, либо равномерное вращение вокруг оси.

А планеты на небосводе двигались по самым замысловатым кривым . Свести эти движения планет к простым древним учёным не удавалось.

Лишь в 17 веке немецкому учёному Иоганну Кеплеру удалось сформулировать законы движения планет. Оказалось, что планеты движутся по эллипсам, и притом неравномерно. Объяснить, почему это так, Кеплер не смог.

В конце 17 века Исаак Ньютон открыл законы динамики, сформулировал закон всемирного тяготения и развил математические методы, позволявшие сводить неравномерное к равномерному, неоднородное к однородному, криволинейное к прямолинейному.

В основе лежала простая идея – движение любого тела за малый промежуток времени можно приближённо рассматривать как прямолинейное и равномерное.

Одновременно с Ньютоном немецкий философ и математик Готфрид Вильгельм Лейбниц изучал, как проводить касательные к произвольным кривым.

Определение производной

y

 x = x - x 0

y=f(x)

x = x 0 +  x

В

f ( x )

приращение аргумента

 f

А

f ( x 0 )

 f = f(x) – f(x 0 )

f(x) = f(x 0 ) +  f

приращение функции

 x

O

x

x 0

x

 f f(x 0 +  x) – f(x 0 )

— = ———————

 x  x

разностное отношение

Производной функции f в точке x 0 называется число, к которому стремится разностное отношение при  x  0.

 f f(x 0 +  x) – f(x 0 )

f ´ (x 0 )= lim — = ———————

при  x  0  x  x

Физический смысл производной

x

Если тело движется по прямой и за время  t его координата изменяется на  x , то

 t t(x 0 +  x) – t(x 0 )

V ср (  t) = — = ———————

 x  x

- средняя скорость движения тела за  t

Таким образом, физический смысл производной – это мгновенная скорость

Правила дифференцирования

Если функция y = f(x) имеет производную, то она называется дифференцируемой ; операция нахождения производной функции называется дифференцированием .

Пусть f(x) , g(x) – дифференцируемые функции, С – постоянная.

Основные формулы производных

Примеры взятия производной

Производные элементарных функций

Производная сложной функции

Пусть f(x) , g(x) – дифференцируемые функции. Тогда:

Пример: