Пропорциональные отрезки

Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике

Теорема: в прямоугольном ∆ высота, проведенная из вершины прямого угла, разделяет ∆ на два подобных прямоугольных ∆, каждый из которых подобен данному ∆.

1. ∆ ABC ∼ ∆ ACD

2. ∆ BAC ∼ ∆ BCD

3. ∆ BCD ∼ ∆ CAD

Среднее пропорциональное

А

В

У

Х

С

D

Определение

Отрезок ХУ называется средним пропорциональным ( средним геометрическим ) для отрезков АВ и CD, если

или

Среднее пропорциональное

Определение. Отрезок ХУ называется средним пропорциональным ( средним геометрическим ) для отрезков АВ и CD, если

Пример. Является ли ХУ средним пропорциональным для АВ и СD, если: а) АВ = 8 см, СD = 2 см, ХУ = 4 см; б) АВ = 6 см, СD = 4 см, ХУ = 5 см

- верно

- не верно

XY является средним пропорциональным для AB и CD

XY не является средним пропорциональным для AB и CD

Свойства пропорциональных отрезков в прямоугольном треугольнике

С

В

А

Н

1°. Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное для отрезков, на которые делится гипотенуза этой высотой

Задача №1

С

?

9

4

Н

В

А

По свойству пропорциональных отрезков в прямоугольном ∆ следует:

Ответ: CH = 6

Свойства пропорциональных отрезков в прямоугольном треугольнике

С

А

В

Н

2 °. Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное для гипотенузы и проекции этого катета на гипотенузу.

Задача № 2

С

?

9

7

Н

В

А

По свойству пропорциональных отрезков в прямоугольном ∆ следует:

AB = AH + HB (по свойству длинны отрезка).

Найдем AB.

Тогда AB = 9+7 = 16 .

Ответ: AC = 12

Свойства пропорциональных отрезков в прямоугольном треугольнике

С

А

В

Н

2 °. Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное для гипотенузы и проекции этого катета на гипотенузу.

Задача № 3

С

?

21

4

А

В

Н

По свойству пропорциональных отрезков в прямоугольном ∆ следует:

AB = AH + HB (по свойству длинны отрезка).

Найдем AB.

Тогда AB = 21+4 = 25 .

Ответ: BC = 10

Задача № 4

B

Дано:

∆ ABC, ⦟ B = 90°

BD⫠AC

AD = 5

DC = 2

Найти : BD - ?

?

5

2

C

A

D

Решение:

Рассмотрим ∆ ABC – прямоугольный ( ⦟ B = 90° по условию).

По свойству пропорциональных отрезков в прямоугольном ∆ следует:

Ответ: BD

·

Задача № 5

B

D

C

4

Дано:

∆ ABC, ⦟ A = 90°

AD⫠BC

BD = 3

DC = 4

Найти : AC - ?

3

?

A

Решение:

Рассмотрим ∆ ABC – прямоугольный ( ⦟ A = 90° по условию).

По свойству пропорциональных отрезков в прямоугольном ∆ следует:

Найдем BC.

BC = BD + DC (по свойству длинны отрезка).

Тогда BC = 3+4 = 7 .

Ответ: AC =

Домашняя работа

Задача. Высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, делит ее на отрезки длиной 5 см и 20 см. Найдите катеты треугольника.

Спасибо за урок!