Система счисления

Содержание

• Необыкновенная девочка
• Понятие и история развития систем счисления
• Позиционные и непозиционные системы счисления
• 2 , 8 , 16 системы счисления
• Перевод чисел в 2, 8, 16 системы счисления
• Перевод чисел из 2, 8, 16 системы счисления в десятичную
• Правила преобразования
• Тест
• Контрольная работа

Необыкновенная девочка

Ей было 1100 лет

Она в 101 класс ходила

В портфеле по 100 книг носила

Всё это правда,

А не бред

Когда пыля 10 ног,

Она бежала по дороге

За ней всегда бежал щенок

С одним хвостом

Зато 100 – ногий.

И 10 удивлённых глаз

Смотрели в этот мир привычно

Но станет всё совсем обычно

Когда поймете наш рассказ!

Система счисления – это знаковая система, в которой числа записываются по определенным правилам с помощью символов некоторого алфавита, которые называют цифрами.

История развития систем счисления

У первобытных народов не существовало развитой системы счисления. Ещё в 19 в. у многих племён Австралии и Полинезии было только два числительных: один и два; сочетания их образовывали числа: 3 — два-один, 4 — два-два, 5 — два-два-один и 6 — два-два-два. О всех числах, больших 6, говорили: “много”, не индивидуализируя их.

Египтяне впервые ввели десятичную систему счисления, правда без позиционного обозначения. В развитии математики в государствах ислама получила распространение десятичная позиционная система счисления с применением нуля, ведущая своё происхождение от индийской математики. Возникновение десятичной системы счисления связано со счётом на пальцах. Имелись системы счисления и с другим основанием: 5, 12 (счёт дюжинами), 20 (следы такой системы сохранились во французском языке, например quatre-vingts, то есть буквально четыре-двадцать, означает 80 , 40, 60 и др. 

Вавилонские математики широко пользовались созданной ещё шумерами шестидесятеричной позиционной системой счёта; на основе этой системы были составлены различные вычислительные таблицы: деления и умножения чисел, квадратов и кубов чисел и их корней (квадратных и кубических).

 1 обычно используют следующий алгоритм: 1) если переводится целая часть числа, то она делится на P , после чего запоминается остаток от деления. Полученное частное вновь делится на P , остаток запоминается. Процедура продолжается до тех пор, пока частное не станет равным нулю. Остатки от деления на P выписываются в порядке, обратном их получению; 2) если переводится дробная часть числа, то она умножается на P , после чего целая часть запоминается и отбрасывается. Вновь полученная дробная часть умножается на P и т.д. Процедура продолжается до тех пор, пока дробная часть не станет равной нулю. Целые части выписываются после двоичной запятой в порядке их получения. Результатом может быть либо конечная, либо периодическая двоичная дробь. Поэтому, когда дробь является периодической, приходится обрывать умножение на каком-либо шаге и довольствоваться приближенной записью исходного числа в системе с основанием P . Перевод чисел из 2, 8, 16 системы счисления. При переводе чисел из системы счисления с основанием P в десятичную систему счисления необходимо пронумеровать разряды целой части справа налево, начиная с нулевого, и дробной части, начиная с разряда сразу после запятой, слева направо (начальный номер –1). Затем вычислить сумму произведений соответствующих значений разрядов на основание системы счисления в степени, равной номеру разряда. Это и есть представление исходного числа в десятичной системе счисления " width="640"

Перевод чисел в 2, 8, 16 системы счисления

При переводе чисел из десятичной системы счисления в систему с основанием P   1 обычно используют следующий алгоритм:

• 1) если переводится целая часть числа, то она делится на P , после чего запоминается остаток от деления. Полученное частное вновь делится на P , остаток запоминается. Процедура продолжается до тех пор, пока частное не станет равным нулю. Остатки от деления на P выписываются в порядке, обратном их получению;
• 2) если переводится дробная часть числа, то она умножается на P , после чего целая часть запоминается и отбрасывается. Вновь полученная дробная часть умножается на P и т.д. Процедура продолжается до тех пор, пока дробная часть не станет равной нулю.
• Целые части выписываются после двоичной запятой в порядке их получения. Результатом может быть либо конечная, либо периодическая двоичная дробь. Поэтому, когда дробь является периодической, приходится обрывать умножение на каком-либо шаге и довольствоваться приближенной записью исходного числа в системе с основанием P .

Перевод чисел из 2, 8, 16 системы счисления.

При переводе чисел из системы счисления с основанием P в десятичную систему счисления необходимо пронумеровать разряды целой части справа налево, начиная с нулевого, и дробной части, начиная с разряда сразу после запятой, слева направо (начальный номер –1). Затем вычислить сумму произведений соответствующих значений разрядов на основание системы счисления в степени, равной номеру разряда. Это и есть представление исходного числа в десятичной системе счисления

Системы счисления анатомического происхождения

• Единичная Загнутый палец
• Десятичная Пальцы обеих рук
• Пятеричная Пальцы одной руки
• Двенадцатеричная Фаланги 4 пальцев
• Двадцатеричная Пальцы рук и ног

Алфавитные системы счисления

• Славянская, Древнеармянская , Древнегрузинская, Древнегреческая (Ионическая)

Прочие

• Римская, Вавилонская

« Машинные» системы счисления

• Двоичная, Восьмеричная, Шестнадцатеричная

Все системы счисления делятся на две группы

Непозиционные Позиционные

Единичная Десятичная

Алфавитные Двоичная

Римская Восьмеричная

Древнеегипетская Шестнадцатеричная

В непозиционных системах счисления значение (величина) числа определяется как сумма или разность цифр в числе.

Недостатки непозиционных систем счисления

• Существует постоянная потребность введения новых знаков для записи больших чисел.
• Невозможно представлять дробные и отрицательные числа.
• Сложно выполнять арифметические операции, т.к. не существует алгоритмов их выполнения

• В позиционных системах счисления значение цифры зависит от ее места (позиции) в числе, а в непозиционных не зависит.
• В позиционной системе счисления один и тот же числовой символ приобретает различные значения (имеет различный вес) в зависимости от позиции.
• Каждая позиция соответствует определенной степени основания системы счисления. Основание равно количеству цифр (знаков в алфавите системы счисления) и определяет, во сколько раз отличаются значения одинаковых цифр, стоящих в соседних позициях

Достоинства позиционных систем счисления

• Простота выполнения арифметических операций.
• Ограниченное количество символов (цифр) для записи любых чисел

Двоичная система счисления.

Двоичная система счисления является основной системой представления информации в памяти компьютера.

В этой системе счисления используются цифры: 0, 1.

Восьмеричная система счисления.

Восьмеричная система счисления является вспомогательной системой представления информации в памяти компьютера и используется для компактной записи двоичных чисел и команд.

В этой системе счисления используются цифры: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7

Шестнадцатиричная система счисления.

Шестнадцатеричная система счисления является также как и восьмеричная вспомогательной системой представления информации в памяти компьютера и используется для компактной записи двоичных чисел и команд.

В этой системе счисления используются цифры: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Недостающие цифры заменяются буквами:

А, В, С, D, E, F.

Правила преобразования

• Для перевода восьмеричного числа в двоичную форму достаточно заменить каждую цифру восьмеричного числа соответствующим трёхразрядным двоичным числом. Таким же образом для перехода от шестнадцатеричной системы к двоичной каждая цифра заменяется соответствующим четырёхразрядным двоичным числом.
•   Для перехода от двоичной системы счисления к восьмеричной (или шестнадцатеричной) системе поступают следующим образом: двигаясь от запятой влево и вправо, разбивают двоичное число на группы по три (четыре) разряда, дополняя при необходимости нулями крайние левую и правую группы. Затем каждую группу из трёх (четырёх) разрядов заменяют соответствующей восьмеричной (шестнадцатеричной) цифрой.

Контрольная работа

1 вариант

1) Что такое система счисления?

2) Чем отличаются позиционные системы счисления от непозиционных, в чем их преимущества?

3) Переведите в десятичную систему счисления: а) 47618; б) A 8216;   в) 110101002.

4) Переведите число 199810 в системы счисления с основаниями 2, 8, 16.

2вариант                                                                                                    

1) Что такое система счисления?

2) Чем отличаются позиционные системы счисления от непозиционных, в чем их преимущества?

3) Переведите в десятичную систему счисления: а) 51428; б) B 30516;   в) 101101112.

4)Переведите число 156210 в системы счисления с основаниями 2, 8, 16.