Статья "Интеграция"

Интеграция алгебраических и геометрических

методов в решении задач

Понятие « интеграция» ( лат. Intequatio – восстановление, восполнение, объединение в целое каких- нибудь частей, элементов; как состояние связанности в целое отдельных диффиренцированных частей, а также как процесс, ведущий к такому состоянию.

Алгебраический метод - метод, заключающийся в употреблении букв и буквенных выражений, над которыми по определенным правилам производятся преобразования. Его называют еще методом буквенных вычислений.

Геометрический метод характеризуют как метод, идущий от наглядных представлений. Признаками этого метода являются геометрические представления и законы геометрии, в которых отражены свойства геометрических фигур.

1. Алгебраические : метод тождественных преобразований; метод уравнений и неравенств; функциональный метод; векторный метод; координатный метод.

2. Геометрические: метод длин; метод треугольников; метод параллельных прямых; метод соотношений между сторонами и углами треугольника; метод четырехугольников; метод площадей ; метод подобия треугольников, тригонометрический метод, основанный на соотношениях между сторонами и углами треугольника, выраженными через тригонометрические функции; метод геометрических преобразований; графический метод.

Каждый метод состоит из определенных приемов , а каждый прием - из действий. Под интеграцией алгебраического и геометрического методов будем понимать процесс сочетания данных методов или связи их приемов в один метод.

Примеры .

1. Формулы сокращенного умножения, « квадрат двучлена»

Алгебраический метод

( a  b )² = a²  2 ab + b².

( a + b )² = ( a + b )( a + b ) = a² + ab+ ab + b² = a² + 2 ab + b².

Г

b

a еометрическая иллюстрация

Д

а

b

ано:

b

a + b

a b-a

b a

Задача 2.

В одном элеваторе было зерна в два раза больше, чем в другом. Из первого элеватора вывезли 750 т зерна, а на второй элеватор привезли 350 т, после чего в обоих элеваторах зерна стало поровну. Сколько зерна было первоначально в каждом элеваторе ?

Решение. Алгебраический метод

х т – зерна было первоначально во втором элеваторе,

2х т- зерна было первоначально в первом элеваторе;

( 2х – 750 ) т – осталось в первом элеваторе;

( х + 350 ) т – стало во втором элеваторе.

По условию задачи в обоих элеваторах зерна стало поровну.

Уравнение : 2х – 750 = х + 350;

х = 1100; 2х = 2200.

Ответ: 2200 т зерна было первоначально в первом элеваторе, 1100 т - во втором.

Геометрический метод. Решаем задачу с помощью линейной диаграммы.

Построенная линейная диаграмма превращает алгебраическую задачу в геометрическую, решение которой основано на использовании свойств длины отрезка:

а) равные отрезки имеют равные длины; больший отрезок имеет большую длину;

б) если точка лежит на отрезке, то длина всего отрезка равна сумме длин получившихся отрезков.

Решение. Отрезок АВ изображает количество зерна в первом элеваторе первоначально;

Отрезок МР - количество зерна во втором элеваторе, причем

а) Диаграмма:

1

350 750

элеватор

А О В

С

2 М Р К элеватор

АС = МК ; ОС = 350; РК = 350; ВС = 750.

б) МР = АО = ОВ ( по построению ); ОВ = ОС + ВС = 350 + 750 = 1100;

значит МР = ОВ = 1100; АВ = 1100  2 = 2200.

Ответ: 2200 т зерна в первом элеваторе; 1100 т зерна во втором элеваторе было первоначально.

Линейная диаграмма позволила « усмотреть» ответ задачи прямо по чертежу.

Задача 3.

На одном садовом участке в пять раз больше кустов малины, чем на другом. После того, как с первого участка пересадили на второй 22 куста, то на обоих участках кустов малины стало поровну. Сколько кустов малины было на каждом участке ?

Решение. Алгебраический метод.

Пусть х кустов малины на втором участке, 5х кустов – на первом.

( 5х – 22 ) кустов – осталось на первом участке;

( х + 22 ) кустов -- стало на втором участке.

По условию задачи кустов малины на обоих участках стало поровну.

Уравнение: 5х – 22 = х + 22; х = 11; 5х = 55.

Геометрический метод.

Пусть отрезок АВ – количество кустов малины на первом участке, а

отрезок CD – количество кустов малины на втором участке,

причем AB = 5CD ( по условию).

BF = DK = 22.

1 A F B участок

2

С D K

участок

CD = 1 часть; АВ = 5 частей; AF = CK = ( 5 + 1 )  2 = 3 части, значит BF = 2 части.

BF = 2 CD = 22, значит CD = 11; АВ = 11  5 = 55.

Ответ: 55 кустов малины было на первом участке, 11 кустов -- на втором.

С помощью линейных диаграмм решаются задачи, в которых даны отношения значений величин ( « на»; « в»; меньше; больше) и рассматривается одна или несколько ситуаций.

Текстовые задачи, в которых одна из величин представляет собой произведение двух других, позволяет интегрировать метод площадей, основанный на свойствах площади, и метод уравнений и неравенств.

Задача 4.

Бригада лесорубов ежедневно перевыполняла норму на 16 м³, поэтому недельную ( шесть рабочих дней) она выполнила за четыре дня. Сколько кубометров леса заготовляла бригада в день?

Решение. Алгебраический метод.

Пусть х м³ – дневная производительность бригады по плану,

( х + 16 ) м³ – фактическая производительность бригады в день,

6 х м³ – недельная норма бригады,

4 ( х + 16 ) м³ – фактическая работа.

По условию задачи работа была выполнена одинаковая.

Уравнение: 6х = 4 ( х + 16 ); х = 32.

32 м³ – дневная норма бригады по плану, 32 + 16 = 48 ( м³ ) – заготовляла бригада в день фактически.

Ответ : 48 м³.

Геометрический метод.

В задаче рассматривается произведение двух величин А = р п, где А – выполненная работа, р – производительность, п – количество дней. Для наглядности представим его в виде прямоугольников, стороны которых изображают численные значения величин р и п, а площадь прямоугольника изображает их произведение S = A.

Решение задачи проходит в три этапа:

1. построение двумерной диаграммы, т.е. перевод задачи на язык площадей;

2. решение получившейся геометрической задачи путем составления уравнения на основе использования свойств площади многоугольника;

3. перевод полученного ответа с геометрического языка на естественный.

1 – й этап. Анализ условия задачи. Вопросы:

а) Чему равна работа ? Как же можно изобразить на рисунке ее, в виде какой фигуры ?

б) Что будут представлять собой стороны прямоугольника ?

в) Сколько прямоугольников надо изобразить ?

г) Что можно сказать о площадях этих прямоугольников ? ( Они равны )

( Например: 6  8 = 4  12 = 48)

S₁

S₂ S₃

D

E N

A

2

K

B

16

C M

АВ – обозначает количество дней недели; ВС – дневная производительность по плану;

S_ABCD = AB  BC – недельная норма бригады;

ВК – количество фактически отработанных дней; ВМ – фактическая дневная производительность бригады;

S_BKNM = BK  BM – фактически выполненная работа.

2 – й этап. Рассматриваются площади получившихся прямоугольников и устанавливается соотношения между ними.

Вопрос: Назовите прямоугольники с равными площадями ?

S_ABCD = S_BKNM ; S₁ + S₂ = S₂ + S₃ ; то S₁ = S₃.

S₁ = 2 KE ; S₃ = 16  4 = 64 ; 2 KE = 64; KE = 32.

ВС = КЕ = 32; ВМ = ВС + СМ = 32 + 16 = 48.

3 –й этап. 48 м³ – фактическая производительность бригады.

Ответ: 48 м³ леса бригада заготовляла в день.

Задача 5.

На рисунке AB = AC; AP = PQ = QR = R B = BC. Найдите угол А.

А

С В Q R

 1 =  A = x ⁰ ;

 2 = 2x ⁰ ( Внешний угол  APQ );

 4 =  2 = 2 x⁰.

 3 = 180⁰ – (  2 +  4 ) = 180⁰ – 4 x⁰ ;

 5 = 180⁰ – (  1 +  3 ) = 3 x⁰;

 6 =  5 = 3x⁰ ;  7 =  B -  6.

Так как  8 =  С , то

 С +  8 +  7 = 2  С +  7 = 180⁰,

или

Ответ :  А = 20⁰.

Решение. Пусть  А = х ⁰.

Р

При решении этой задачи использовались метод треугольников и метод уравнений.

Задача 6.

Чтобы ликвидировать опоздание на 1 час поезд на перегоне в 720 км увеличил скорость, с которой должен был идти по расписанию, на 10 км/ч. Какова скорость движения поезда по расписанию?

Решение.

Алгебраический метод.

Пусть х км/ч – скорость по расписанию;

( х + 10 ) км/ч – скорость на перегоне в 720 км;

часов – время по расписанию; часов – фактическое время на перегоне.

По условию задачи поезд опаздывал на 1 час.

Уравнение: ( * ). По смыслу задачи х 0.

После преобразований уравнение ( * ) принимает вид : х² + 10х – 7200 = 0.

Корнями уравнения являются: х₁ = 80; х₂ = - 90 , по смыслу задачи не подходит.

Ответ : 80 км/ч – скорость поезда по расписанию.

Геометрический метод

В задаче рассматривается равномерное движение, то путь, пройденный телом, равен произведению скорости движения на время движения, поэтому для решения задачи можно использовать двумерную диаграмму.

1 D C

K

A

M F

x B 10 E

S₃

S₂

S₁

1

Пусть АВ= х км/ч – скорость поезда по расписанию

AD -- время по расписанию

S_ABCD = AB AD = 720 ( км )

АЕ = ( х + 10 ) км/ч – фактическая скорость

АК – фактическое время движения

S_АКFE = AE  AK = 720 ( км )

– й этап. Анализ текста задачи. Построение двумерной диаграммы.

2 – й этап. S₁ + S₃ = S₂ + S₃ , то S₁ = S₂

S₁ = x  1 = x ; S₂ = 10  EF;

Так как S₂ = S₁, получаем уравнение + 10 х – 7200 = 0.

Далее аналогично алгебраическому методу, решаем уравнение.

Ответ: 80 км/ч.

Примеры геометрических задач, в решении которых используется метод площадей и метод уравнений и неравенств.

Задача 7.

Средняя линия трапеции равна 10 см и делит ее на две такие трапеции, что

S₁ : S₂ = 3 : 5. Найдите большее основание трапеции.

О

S_x

M 10 S₁ N

A b S₂ D

Решение. Продолжим боковые стороны трапеции до пересечения в

точке О.

Площади получившихся трапеций выражаются формулами:

B a \C

h₁ = h₂ = h; S₁ : S₂ = 3 : 5 получаем систему уравнений:

Ответ : 15 см.

Задача 8.

В А

c

остроугольном треугольнике АВС со сторонами BC = a; AC = b; AB = c проведена высота АН. В каком отношении точка Н делит сторону ВС ?

b

С Н а В

Решение. 1) Выразим высоту АН из прямоугольных треугольников АСН и АВН:

АН² = АС ² – СН ² = b² – ( a – BH )² ; АН² = АВ ² – ВН ² = c ² – BH ².

2) Приравняем эти значения АН ² , получим уравнение:

b ² – ( a - BH )² = c ² – BH ²; b ² – a ² + 2a BH – BH ² = c ² – BH ²;

Значит

Ответ :