ТЕОРЕМА ПИФАГОРА
ПИФАГОР
Знаменитый греческий философ и математик Пифагор Самосский, именем которого названа теорема, жил около 2,5 тысяч лет тому назад. Дошедшие до нас биографические сведения о Пифагоре отрывочны и далеко не достоверны. С его именем связано много легенд. Достоверно известно, что Пифагор много путешествовал по странам Востока, посещал Египет и Вавилон .
ТЕОРЕМА ПИФАГОРА
Геометрическая
Алгебраическая
формулировка:
формулировка:
В прямоугольном треугольнике
В прямоугольном треугольнике
площадь квадрата, построен -
Квадрат гипотенузы
ного на гипотенузе, равна
равен сумме квадратов
сумме площадей квадратов,
катетов
построенных на катетах
Шутливая формулировка ТЕОРЕМЫ ПИФАГОРА
Если дан нам треугольник И притом с прямым углом, То квадрат гипотенузы Мы всегда легко найдём: Катеты в квадрат возводим, Сумму степеней находим – И таким простым путём К результату мы придём.
Теорема Пифагора занимает в геометрии особое место. На основе теоремы можно вывести или доказать большинство теорем. А еще она замечательна тем, что сама по себе вовсе не очевидна. Сколько ни смотри на прямоугольный треугольник, никак не увидишь, его стороны а, b и с связывает простое соотношение:
c² = a²+ b²
с
a
b
Доказательство:
1)Достроим прямоугольник до квадрата со стороной
a + b.
2)Площадь квадрата равна ( а + b)²
3)С другой стороны квадрат составлен из четырёх равных прямоугольных треугольников с площадью ½ аb и квадрата,
площади с²
4) S=4 *1/2ab + с 2 = 2bc + с 2 .
(а+b) 2 =2ab+ с 2 .
с 2 = а 2 + b 2 .
Теорему Пифагора называли «мостом ослов», так как слабые ученики, заучивающие теоремы наизусть, без понимания, и прозванные поэтому «ослами», были не в состоянии преодолеть теорему Пифагора, служившую для них вроде непреодолимого моста.
Записать для прямоугольных треугольников теорему Пифагора
K
В
KN²=KM²+MN²
N
СE²=СО²+EО²
M
С
ВD²=АB²+AD²
О
А
D
E
В
Дан ромб ABCD. О – точка пересечения диагоналей.
Записать для прямоугольных треугольников теорему Пифагора
А
С
АВ²=АО²+ВО²
О
ВС²=СО²+ВО²
АD²=АO²+DO²
CD²=DO²+СO²
D
Дан прямоугольник ABCD.
Записать для прямоугольных треугольников теорему Пифагора
В
С
ВD²=АB²+AD²
ВD²=АB²+AD²
ВD²=СD²+ВC²
А
D
Задачи на применение теоремы Пифагора
Дано:
ΔАВС
В=90°
АВ=6 см
ВС=8 см
Найти: АС.
А
С
В
Решение: AC²=АB²+BC²
АС = 10 см
Вычислите, если возможно: а) сторону АС треугольника АВС . ( рис. 1)
б) сторону МN треугольника КМN . (рис. 2)
С
N
К
12
2
13
В
А
1
Рис. 2
М
Рис. 1
в) вычислить диагональ ВМ квадрата ВСМF . (рис. 3)
г) вычислить сторону PK треугольника КPR . (рис. 4)
С
1 см
М
P
5
К
В
F
Рис. 3
Рис. 4
3
R
С
Дан равнобедренный треугольник АВС с основанием АВ. CD – медиана. CD = 16 см, АВ = 24 см. Найти АС
Ответ: 20 см
В
D
А
Рис. 5
Решение старинных задач
Задача индийского математика XII в. Бхаскары. На берегу реки рос тополь одинокий. Вдруг ветра порыв его ствол надломал.
Бедный тополь упал. И угол прямой С теченьем реки его ствол составлял. Запомни теперь, что в том месте река В четыре лишь фута всего широка. Верхушка склонилась у края реки, Осталось три фута всего от ствола. Прошу тебя, скоро теперь мне скажи: У тополя как велика высота?
Решение старинной задачи Бхаскары.
Найти высоту тополя, если ширина реки 4 фута, а ствол надломился на высоте 3 фута.
3
4
Ответ: 8 футов
Важные открытия, связанные с именем Пифагора:
- в географии и астрономии – представление о том, что Земля – шар и что существуют другие, похожие на неё миры;
- в музыке – зависимость между длиной струны арфы и звуком, который она издаёт;
- в геоме трии – построение правильных многоугольников (один из них пятиконечная звезда – стал символом пифагорейцев).
Рефлексия
Я все понял, мне очень понравилось!
Я не очень хорошо понял, но хотел бы понять!
Я ничего не понял!
Домашнее задание
П. 16, № 531,
№ 533,
№ 535,
№ 538