Задачи, приводящие к понятию производной.

Задачи, приводящие к понятию производной.

Y

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

X

0

10

9

7

6

5

4

3

2

1

8

В начале было слово.

• К понятию производной можно прийти, рассматривая, например, такое широко используемое в физике понятие, как мгновенная скорость неравномерно движущегося тела.
• Мы познакомились с этим понятием, изучая в курсе физики раздел кинематики, а точнее кинематики прямолинейного неравномерного движения.

• Совершенно верно. Как же Вы представляете себе мгновенную скорость? Что это такое?
• Мгновенной скоростью тела называют скорость, которую оно имеет в данный момент времени (в данной точке траектории)

• А как Вы представляете себе мгновенную скорость?

• Так и представляю… Если тело движется равномерно, то в разные моменты времени его скорость одинакова. Если тело движется неравномерно (ускоряясь или замедляясь, то в разные моменты времени его скорость будет, вообще говоря, различной

• Разве Вы не чувствуете, что фраза «скорость в данный момент времени» не более как синоним фразы «мгновенная скорость»? Как говорится, «что в лоб, что по лбу». Термин «скорость в данный момент времени нуждается в разъяснении в той же мере, в какой нуждается в нём термин «мгновенная скорость».
• Физик эту проблему решает просто. У него есть приборы, например, спидометр. А математик создаст математическую модель процесса.

Итак, проблема поставлена.

Приступим к её решению.

Остановись мгновенье –

мы тебя исследуем !

Сначала мы определили «территорию» своих исследований. В каких ещё науках математика поможет решить подобную проблему ?

Оказалось, что связь между количественными характеристиками самых различных процессов, исследуемых физикой, химией, биологией, экономикой, техническими науками, аналогична связи между путём и скоростью.

Основным математическим понятием, выражающим эту связь является производная.

Производная

Центральные понятия дифференциального исчисления – производная и дифференциал возникли при рассмотрении большого числа задач естествознания и математики, приводивших к вычислению пределов одного и того же типа. Важнейшие среди них – физическая задача определения скорости неравномерного движения и геометрическая задача построения касательной к кривой.

Рассмотрим подробно каждую из них.

Будем вслед за итальянским учёным Г.Галилеем изучать закон свободного падения тел. Поднимем камешек и затем из состояния покоя отпустим его. Движение свободно падающего тела явно неравномерное. Скорость v постепенно возрастает. Но как именно выглядит зависимость v(t) ?

Фиксируем момент t , в который мы хотим знать значение скорости v(t) . Пусть h – небольшой промежуток времени, прошедший от момента t . За это время падающее тело пройдёт путь, равный s(t+h)-s(t) .

Если промежуток времени h очень мал, то приближённо

s(t+h)-s(t) ≈v(t)∙h , или , причём

последнее приближённое равенство тем точнее, чем меньше h . Значит величину v(t) скорости в момент t можно рассматривать как предел , к которому стремится отношение, выражающее среднюю скорость на интервале времени от момента t до момента t+h .

Сказанное записывают в виде

Задача о мгновенной скорости

• Предел средней скорости за промежуток времени от t 0 до t при t → t 0 , называется мгновенной скоростью v(t 0 ) в момент времени t 0

v(t 0 ) =

А л г о р и т м

На языке предмета На математическом языке

• ∆ t = t – t 0 ∆x = x – x 0
• ∆ v = v(t+t 0 ) - v(t 0 ) ∆f = f(x+x 0 ) – f(x 0 )
• .
• .

Рассмотрим теперь другой классический пример, который решается в терминах производной, - построение касательной к кривой. Требуется построить прямую Т, касательную в т. А к кривой – графику функции y = f(x) .

Задача о касательной к графику функции

y

А

В

y = f(x)

М(х ,у)

∆ f(x) = f(x) - f(x 0 )

М 0 (х 0 ,у 0 )

С

∆ х =х-х 0

tg β =



β

x 0

x

x

При х →х 0

А л г о р и т м

1) ∆x = x – x 0

2) ∆f = f(x+x 0 ) – f(x 0 )

3)

4)

y

M

y=f(x)

∆ y

T

M 0

∆ x

x 0 x 0 + ∆x

x

0

Убедитесь, что угловой коэффициент касательной к графику функции y = f(x) можно определить по формуле

Задача о скорости химической реакции

Средняя скорость растворения соли в воде за промежуток времени [t 0 ; t 1 ] ( масса соли, растворившейся в воде изменяется по закону х = f(t)) определяется по формуле .

Скорость растворения в данный момент времени

А л г о р и т м

На языке предмета На математическом языке

• ∆ t = t – t 0 ∆x = x – x 0
• ∆ f = f(t 1 ) - f(t 0 ) ∆f = f(x) – f(x 0 )
• .
• .

Задача о теплоёмкости тела

Если температура тела с массой в 1 кг повышается от t 1 = 0

до t 2 = τ , то это происходит за счёт того, что телу сообщается определённое количество тепла Q ; значит Q есть функция температуры τ , до которой тело нагревается: Q = Q ( τ ).

Пусть температура повысилась с τ до τ + Δτ . Количество тепла Δ Q , затраченное для этого нагревания равно: Δ Q = Q ( τ + Δτ )- Q ( τ ).

Отношение есть количество тепла,

которое необходимо «в среднем» для нагревания тела на 1  . Это отношение называется средней теплоёмкостью, которая не даёт представления о теплоёмкости для любого значения температуры τ .

Теплоёмкостью при температуре τ называ-ется предел отношения приращения количества тепла Δ Q к приращению температуры Δτ .( при Δτ →0)

А л г о р и т м

На языке предмета На математическом языке

• ∆ τ = τ – τ 0 ∆x = x – x 0
• ∆ Q = Q( τ 1 ) - Q( τ 0 ) ∆f = f(x) – f(x 0 )
• .
• .

Задача о мгновенной величине тока

Обозначим через q = q(t) количество электричества, протекающее через поперечное сечение проводника за время t .

Пусть Δ t – некоторый промежуток времени, Δ q = q(t+ Δ t) – q(t) – количество электричества, протекающее через указанное сечение за промежуток времени от момента t до момента t + Δ t . Тогда отношение называют средней силой тока.

Мгновенной силой тока в момент времени t называется предел отношения приращения количества электричества Δ q ко времени Δ t , при условии, что Δ t → 0 .

А л г о р и т м

На языке предмета На математическом языке

• ∆ t = t – t 0 ∆x = x – x 0
• ∆ q = q(t 1 ) - q(t 0 ) ∆f = f(x) – f(x 0 )
• .
• .

Экономические задачи

Рассмотрим ситуацию: пусть y - издержки производства, а х - количество продукции, тогда  x - прирост продукции, а  y - приращение издержек производства.

В этом случае производная выражает предельные

издержки производства и характеризует приближенно дополнительные затраты на производство дополнительной

единицы продукции ,где MC – предельные

издержки (marginal costs); TC – общие издержки (total costs); Q - количество. C(t) СС

Экономические задачи

Аналогичным образом могут быть определены и многие другие экономические величины, имеющие предельный характер.

Другой пример - категория предельной выручки

(MR— marginal revenue) — это дополнительный доход, полученный при переходе от производства n-ной к (n+1)-ой единице продукта.

Она представляет собой первую производную от выручки:

При этом R= PQ, где R–выручка (revenue); P–цена (price).

Таким образом ,  MR= P.

Экономические задачи

Пусть функция u(t) выражает количество произведенной продукции за время t . Найдем производительность труда в момент t 0 .

За период от t 0 до t 0 + t количество продукции изменится от u(t 0 ) до u 0 +  u = u(t 0 +  t). Тогда средняя

производительность труда за этот период

поэтому производительность труда в момент t 0

Рост численности населения

Вывести формулу для вычисления численности населения на ограниченной территории в момент времени t .

Пусть у=у( t )- численность населения.

Рассмотрим прирост населения за  t = t - t 0

 y=k ∙ y ∙  t, где к = к р – к с –коэффициент прироста (к р – коэффициент рождаемости,

к с – коэффициент смертности)

получим

Выводы

Различные задачи привели в процессе решения к одной и той же математической модели – пределу отношения приращения функции к приращению аргумента при условии, что приращение аргумента стремится к нулю. Значит, эту математическую модель надо специально изучить, т.е.:

• Присвоить ей новый термин.
• Ввести для неё обозначение.
• Исследовать свойства новой модели.
• Определить возможности применения нового понятия - производная

Определение производной

Производной функции f(x) в точке х называется предел отношения приращения функции в точке х к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю, если этот предел существует

Возвращаясь к рассмотренным задачам, важно подчеркнуть следующее:

а) мгновенная скорость неравномерного движения есть производная от пути по времени;

б) угловой коэффициент касательной к графику функции в точке ( x 0 ; f(x)) есть производная функции f(x) в точке х = х 0 ;

в) мгновенная сила тока I ( t) в момент t есть производная от количества электричества q(t) по времени;

г) теплоёмкость С( τ ) при температуре τ есть производная от количества тепла Q ( τ ), получаемого телом;

д) скорость химической реакции в данный момент времени t есть производная от количества вещества у( t) , участвующего в реакции, по времени t .

А это значит:

«…нет ни одной области в математике, которая когда-либо не окажется применимой к явлениям действительного мира…» Н.И. Лобачевский

• Аппарат производной можно использовать при решении геометрических задач, задач из естественных и гуманитарных наук, экономических задач оптимизационного характера.
• И, конечно, не обойтись без производной при исследовании функции и построении графиков, решении уравнений и неравенств

У нас впереди огромные возможности для исследовательской работы в новых проектах!