Линейная функция. Виды, свойства, графики.

7 класс.

ГЛАВА 2. Функции.

§ 6. Линейная функция.

Количество функций неограничено. Однако, существуют функции, которые можно объединить в группы. Они имеют общую формулу, схожие свойства, графиком таких функций является одна и та же кривая. Прежде чем начать рассматривать одну из таких групп функций, введём несколько новых понятий.

Функция называется возрастающей, если большему значению х соответствует большее значение у (т.е. при увеличении х увеличивается у).

Функция называется убывающей, если большему значению х соответствует меньшее значение у (т.е. при увеличении х уменьшается у).

Рассмотрим это на графике.

Фраза «при увеличении х…» означает, что мы рассматриваем график слева направо (также, как пишем и читаем). Если при этом график опускается вниз, то он убывает, если график поднимается вверх, то он возрастает.

На данном рисунке график убывает, если и ; а возрастает, если и .

Это можно записать так:

функция убывает при ;

функция возрастает при .

Теперь введём понятие линейной функции.

Линейной функцией называется функция, вида , где и – некоторые числа.

Например, .

Графиком любой линейной функции является прямая.

В зависимости от значений и , линейная функция разделяется на три вида. Рассмотрим каждый из них.

1. Если , то функция  приобретает вид y = b. Такую функцию называют постоянной. Её графиком является прямая, параллельная оси Ox, проходящая через точку (0; b).

1. Область определения -

2. Область значений -

3. Функция является постоянной, поэтому промежутков возрастания и убывания у неё нет

Например, – постоянная функция, графиком является прямая, параллельная оси Ох, проходящая через точку .

1. 

2. 

3. Промежутков возрастания и убывания нет.
   

2. Если , то функция приобретает вид y = kx. Такую функцию называют прямой пропорциональностью. Её графиком является прямая, проходящая через начало координат и точку с произвольно выбранным значением аргумента Если , то прямая составляет с положительным направлением оси Ox острый угол. Если , то прямая составляет с положительным направлением оси Ox тупой угол. Поскольку от значения k зависит угол наклона прямой к положительному направлению оси Ох, то его называют угловым коэффициентом.

1. Область определения -

2. Область значений -

3. Если , то функция возрастает при

Если , то функция убывает при .

Например, а) – прямая пропорциональность, графиком является прямая, проходящая через начало координат и точку , и составляющая с положительным направлением оси Ох острый угол, т.к. .

1. 

2. 

3. Функция возрастает при .

б) – прямая пропорциональность, графиком является прямая, проходящая через начало координат и точку , и составляющая с положительным направлением оси Ох тупой угол, т.к. .

1. 

2. 

3. Функция убывает при .
   

3. Если , то функция не меняет свой вид . Это линейная функция. Её графиком является прямая, проходящая через точку и точку с произвольно выбранным значением аргумента . Коэффициент играет здесь такую же роль, как и в прямой пропорциональности.

1. Область определения -

2. Область значений -

3. Если , то функция возрастает при

Если , то функция убывает при .

Например, а) – линейная функция, графиком является прямая, проходящая через точки и , и составляющая с положительным направлением оси Ох острый угол, т.к. .

1. 

2. 

3. Функция возрастает при .

б) – линейная функция, графиком является прямая, проходящая через точки и , и составляющая с положительным направлением оси Ох тупой угол, т.к. .

1. 

2. 

3. Функция убывает при .
   

Рассмотрим теперь взаимное расположение графиков линейных функций.

Пусть даны две линейные функции и .

1. Если , то графики данных функций совпадают.

2. Если , то графики функций параллельны.

3. Если , то графики функций пересекаются в точке (или в точке , что то же самое).

4. Если , то графики пересекаются. Для нахождения координат точки пересечения необходимо решить уравнение: и найденное значение аргумента (х) подставить в любую из двух формул, посчитать полученное числовое выражение. Это и есть ордината точки пересечения графиков.

Например,

1. и . Так как у этих функций коэффициенты равны, то их графики параллельны.

1. и . Так как у этих функций коэффициенты k разные, а значения одинаковые и равны 1, то графики этих функций пересекаются в точке .
   

1. и . У этих функций k и b имеют разные значения, поэтому, чтобы найти координаты точки пересечения графиков этих функций, решим уравнение (приравниваем правые части):

Подставляем найденное значение аргумента в любую из двух функций:

Значит, точка пересечения графиков данных функций .

В завершение конкретизируем значение коэффициента k и числа b в формуле линейной функции:

1. коэффициент k показывает угол наклона прямой к положительному направлению оси Ох. Если , этот угол острый; если , то этот угол тупой;

2. число b определяет точку пересечения прямой с осью Оу. - точка пересечения.

1. Из данных функций выбрать линейные:

2. Назовите коэффициенты k и b линейной функции :

3. Для функции представлена таблица:

Найдите коэффициент k и заполните таблицу.

1. Определите вид функции, постройте её график. Найдите область определения и область значений функции, найдите промежутки возрастания и убывания функции.

2. Не выполняя построения, определить угол наклона прямой к положительному направлению оси Ох и точку пересечения с осью Оу:

3. Функции заданы формулами . Укажите те из них, графиком которых является прямая, проходящая через начало координат, и постройте эти графики.

4. Функция задана формулой . Определите:

1. значение функции, если значение аргумента равно ;

2. значение аргумента, при котором значение функции равно ;

3. возрастающей или убывающей является данная функция?

1. Постройте график функции . Пользуясь графиком, найдите:

1. значение функции, если значение аргумента равно

2. значение аргумента, при котором значение функции равно

3. значения аргумента, при которых функция принимает положительные значения;

4. промежутки возрастания (или убывания) функции.

1. Не выполняя построения графика функции , укажите, через какие точки проходит этот график: .

2. Задайте формулой прямую пропорциональность, если известно, что её график проходит через точку .

3. Постройте в одной системе координат графики функций и укажите координаты их точки пересечения:

1. и ;

2. и .

1. Не выполняя построения графиков функций ; , определите:

1. чему равен угловой коэффициент каждой функции;

2. каково взаимное расположение графиков данных функций;

3. каковы координаты точек пересечения графиков функций с осями координат.

1. Не выполняя построения графиков функций , определите:

1. в какой точке каждый график пересекает ось у; ось х;

2. чему равен угловой коэффициент каждой функции;

3. каково взаимное расположение графиков данных функций.

1. Постройте в одной системе координат графики функций и запишите их область определения и область значений: .

2. Не выполняя построения, найдите координаты точек пересечения с осями координат графиков функций:

3. Не выполняя построения графика функции , найдите точку этого графика, у которой:

1. абсцисса равна ординате;

2. абсцисса и ордината – противоположные числа.

1. Найдите , если известно, что график функции проходит через точку .

2. Найдите , если известно, что график функции проходит через точку .

3. График функции пересекает оси координат в точках . Найдите значения и .

4. Все точки графика функции имеют одинаковую ординату, равную . Найдите значения и .

5. График функции параллелен оси абсцисс и проходит через точку . Найдите значения и .

6. Постройте графики функций:

1. Не выполняя построения, найдите точки пересечения графиков функций:

1. и

2. и .

1. Задайте формулой линейную функцию, график которой изображён на рисунке.
   

2. Постройте график функции:

3. Пересекаются ли графики функций:

1. и ;

2. и ?

В том случае, когда графики пересекаются, постройте их. Определите по графику координаты точки пересечения и проверьте результаты вычислением.

1. Запишите формулу функции, график которой параллелен графику функции и проходит через точку .

2. Найдите координаты точки пересечения графиков функций

и

1. При каком значении параметра а графики функций и

параллельны? Постройте графики этих функций.

1. При каком значении параметра а графики функций и

параллельны? Постройте графики этих функций.

1. Постройте прямые, координаты точек которых удовлетворяют уравнению .

2. Постройте прямые, координаты точек которых удовлетворяют уравнению .

3. При каком значении k графики линейных функций и имеют более одной общей точки?

4. Найдите наибольшее и наименьшее значение линейной функции на промежутке .

4