"Лист Мебиуса"-

Муниципальное бюджетное образовательное учреждение

средняя общеобразовательная школа

с.Покровка Бековского района Пензенской области

Научно-практическая конференция

Секция: математики

Название работы:

«Волшебный лист – лист Мёбиуса»

Автор работы:

Соловьев Дмитрий

Ученик 5 класса МОУ СОШ

с.Покровка Бековского района

Пензенской области

Научный руководитель:

учитель математики

Пантелеева Марина Николаевна

Покровка 2022

Содержание

1. Введение............................................................................................. .2

2. Историческая справка…......................................................................3

3.Практическая часть

3.1.Моделирование объекта и исследование…………………….. .4

3.2.Проведение опытов с листом Мебиуса……………………….. 6

3.3.Экспериментальные выводы…………………………………... 6

4..Применение ленты Мебиуса………………………………… . . . .. 7

5.Заключение. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ….9

6. Перспектива исследования. . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10

7. Список используемой литературы… . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

8. Приложения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . … . . . . . . . . … .. 12

1. Введение

Математика ,как наука ,зародилась еще 2000 лет назад. И, конечно, о ней можно рассказать много всего интересного. Как и в любой другой науке, в математике было сделано огромное количество важных и полезных открытий, некоторые открытия были сделаны случайно. Одним из них является лента Мебиуса.

На уроке математики нам рассказали о существовании такой геометрической фигуры, которая содержит в себе множество неожиданных и удивительных свойств .

Интересность ленты заключается уже в том, что в отличие от обыкновенного листа бумаги она имеет только одну поверхность, а не две. То есть, если начать закрашивать обычный лист бумаги, не переходя через грань, то закрасится только одна сторона. Если проделать то же самое с лентой Мебиуса, лента закрасится с обеих сторон. Загадки продолжаются и тогда, когда мы начинаем разрезать ленту Мёбиуса.

Меня очень заинтересовал этот лист, и я стал с помощью учителя искать про него разную информацию и проводить с ним разные опыты. Так возникла идея проведения этой исследовательской работы, с результатами которой, мы решили познакомить всех ребят нашей школы, так как я выяснил, что далеко не все знают, что такое лист Мебиуса.

Объект исследования:  лист Мёбиуса.

Предмет исследования: свойства односторонней поверхности

Гипотеза: как это ни удивительно, но односторонние поверхности существуют и находят применение в жизни.

Цель работы:

Проверить опытно – экспериментальным путём удивительные свойства ленты Мёбиуса и показать практическое применение ленты Мёбиуса в жизни.

Задачи:

Познакомиться с историей возникновения листа Мёбиуса;

Изготовить лист Мёбиуса и исследовать  его свойства.

Установить области применения ленты Мебиуса.

Методы исследования: опрос школьников, изучение и анализ литературы, практический эксперимент, моделирование.

Практическая значимость работы: работа будет интересна любителям математики для расширения математического кругозора. Ее можно использовать учителям на уроках математики и во внеклассной работе

2. Историческая справка

Таинственный и знаменитый лист Мёбиуса (иногда говорят: "лента Мёбиуса") придумал в 1858 г. немецкий геометр Август Фердинанд Мёбиус (1790-1868), ученик "короля математиков" Гаусса.

Мёбиус был  великим астрономом и крупнейшим геометром XIX века. В возрасте 68 лет ему удалось сделать открытие поразительной красоты. Это открытие односторонних поверхностей, одна из которых - лист Мёбиуса. Существует интересная легенда об открытии листа Мёбиуса. Мёбиус был профессором, руководителем астрономической лаборатории в Лейпцигском университете. Научные статьи, лекции, работа. Все как у обычного профессора университета. Возможно, имя этого человека растворилось бы в истории, если бы ни одно ненастное утро…

На улице шел дождь. Август Фердинанд Мебиус сидел в кресле. На пороге комнаты появилась жена и категорически потребовала немедленно уволить служанку, которая настолько бездарна, что даже не способна правильно сшить ленту. Хмуро разглядывая злосчастную ленту, профессор воскликнул: “Ай да, Марта! Девочка не так уж глупа. Ведь это же односторонняя кольцевая поверхность. У ленточки нет изнанки!” Идея пришла ему в голову, когда служанка неправильно сшила ленту.

Открытая поверхность получила математическое обоснование и имя в честь описавшего ее математика и астронома.

Одновременно с Мёбиусом изобрел этот лист и другой ученый- Бенедикт Листинг (1808 – 1882), профессор Геттингенского университета. Свою работу он опубликовал на три года раньше, чем Мёбиус, – в 1862 году.

Что же поразило этих двух немецких профессоров? А то, что у листа Мёбиуса всего одна сторона. Мы же привыкли к тому, что у всякой поверхности, с которой мы имеем дело – две стороны.

У входа в Музей истории и техники в Вашингтоне медленно вращается на пьедестале стальная лента, закрученная на полвитка. В 1967 году в Бразилии состоялся международный математический конгресс, где его устроители выпустили памятную марку достоинством в пять сентаво, на которой была изображена лента Мѐбиуса. И монумент высотой более чем в два метра, и крохотная марка – своеобразные памятники немецкому математику и астроному Августу Фердинанду Мѐбиусу, профессору Лейпцигского университета и удивительной ленте, названной в честь математика.

(Приложение № 1)

Главная ценность листа Мѐбиуса состоит в том, что он дал толчок новым обширным математическим исследованиям. Его часто считают символом современной математики.

3. Практическая часть.

3.1. Моделирование объекта и исследование.

3.1.1 Изготовление листа Мебиуса.

Что такое лист Мёбиуса? Лист Мёбиуса - это простейшая односторонняя поверхность с краем. Попасть из одной точки этой поверхности в любую другую можно, не пересекая края. 

Ее можно сделать своими руками: надо взять полоску бумаги и склеить её концы, предварительно повернув один из них на 180^о. И тогда в ваших руках окажется лист, или лента Мёбиуса.

(Приложение №2)

3.1. 2. Исследование свойств листа Мебиуса.

Чтобы понять, в чём особенность листа Мёбиуса, я проводил опыты с обычным бумажным кольцом и с перекрученным (листом Мёбиуса).

Опыт №1

Поставим точку на одной стороне каждого кольца и начертим непрерывную линию вдоль него, пока не придём снова в отмеченную точку.

Обычное кольцо: Линия проходит вдоль кольца по одной стороне, сходясь в точке начала. Вторая сторона -остаѐтся чистой.

Лист Мёбиуса: Непрерывная линия проходит по двум сторонам, заканчиваясь в начальной точке.

Вывод: Поверхность листа Мѐбиуса является непрерывной. На листе Мѐбиуса любая точка может быть соединена с любой другой точкой и при этом ни разу не придѐтся «переползать» через край ленты. Разрывов нет – непрерывность полная. ( Приложение № 3)

Опыт № 2

Закрасим полностью только одну сторону колец.

Обычное кольцо: Одна сторона закрашена, другая нет.

Лист Мёбиуса: Закрашенной оказался весь лист целиком. А ведь мы его даже не переворачивали, чтобы закрасить с другой стороны. Лист Мёбиуса имеет одну поверхность. «Внешняя» и «внутренняя» стороны как бы по ходу движения вдоль ленты переходят друг в друга

Вывод: Поверхность листа Мёбиуса односторонняя. (Приложение № 4)

Опыт № 3.

Закрасим непрерывной линией только один край колец .

Обычное кольцо: Один край кольца закрашен, второй край нет.

Лист Мёбиуса: Линия края получилась, непрерывно закрашена на всѐм кольце.

Вывод: У листа Мѐбиуса не только одна сторона, но и только один край!

(Приложение № 5)

Опыт № 4.

  Вырежем бумажного человечка и  отправили его  вдоль  пунктира,

идущего  посередине  листа  Мёбиуса. Он вернулся к месту старта в перевернутом виде. А чтобы он  вернулся  к  старту  в нормальном положении, ему нужно было совершить  ещё  одно «кругосветное» путешествие.

Вывод: у листа Мебиуса нет ориентированности.(Приложение № 6)

Опыт № 5

Что будет, если разрезать кольца вдоль пополам, по линии параллельной краям.?

Обычное кольцо: Получилось два кольца, точнее две половинки от исходного кольца. Каждое кольцо будет уже, но длина будет такой же, как длина первоначального кольца.

Лист Мёбиуса: Получилось одно большое перекрученное кольцо в виде восьмѐрки. (Приложение № 7)

Опыт № 6

Что будет, если разрезать ленту Мёбиуса, отпуская от края приблизительно на треть её ширины?

Вывод: Получаются две ленты, одна - более тонкая лента Мебиуса, другая - длинная лента с двумя полуоборотами. (Приложение № 8 )

Опыт № 7

Что будет получаться, если мы продолжим перекручивание полоски бумаги перед склеиванием, каждый раз увеличивая число полуоборотов на один.

Разрез ленты с дополнительными оборотами дал нам неожиданные фигуры.

(Приложение № 9 )

3.3.Экспериментальные выводы.

Итак, на основе проведенных мною теоретических и практических исследований можно сделать следующие выводы:

Лента Мебиуса имеет 1 край.

Лента Мебиуса имеет одну искривленную поверхность, и если по ней двигаться, можно с внутренней части переместиться на внешнюю.

Если закрашивать одну сторону ленты Мебиуса, не пересекая края, то в итоге закрасится вся поверхность ленты.

Если разрезать ленту Мебиуса вдоль посередине параллельно краю, то можно получить не две отдельные ленты, а одну длинную ленту, которая будет уже исходной и дважды перекручена – но не лента Мебиуса.

Если разрезать ленту Мебиуса вдоль, отступив от края 1/3 ее ширины, то получится две ленты, одна - более тонкая лента Мебиуса, другая - длинная лента с двумя полуоборотами.

Если увеличить число оборотов бумажной полоски, то будут получаться сцепленные кольца меньшей длины и ширины.

4.Применение листа Мёбиуса

Удивительные свойства ленты Мѐбиуса используются в самых различных изобретениях.

1.Применение листа Мёбиуса в технике:

а) Полоса ленточного конвейера выполняется в виде ленты Мѐбиуса, что позволяет ему работать дольше, потому, что вся поверхность ленты изнашивается равномерно. ( Приложение № 10)

б) В большинстве матричных принтеров красящее устройство также имеет вид листа Мѐбиуса для увеличения его ресурса.

в). Юрий Артѐмович Арутюнов — житель подмосковного города Жуковский, кандидат физико-математических наук установил две ленты Мѐбиуса на концах самолѐтного крыла. Сопротивление воздушной среды снизилось. За счѐт этого экономия авиационного топлива составила 7–10%. Но есть ещѐ один результат применения такого маленького приспособления, особенно актуальный для российской авиации: разгрузив крыло с помощью лент Мѐбиуса на 20%, можно увеличить ресурс самолѐта на все 100%, то есть даровать ему вторую жизнь. Особенно это ценно для такой проверенной и оправдавшей себя марки самолѐта, как Ил-76.

г). Благодаря ленте Мѐбиуса, были созданы особые кассеты для магнитофона, которые дали возможность слушать магнитофонные кассеты с ―двух сторон не меняя их местами.

д). В метро ручка эскалатора, не что иное как лента Мёбиуса. Это  позволяет ей равномерно изнашиваться, и продлевает срок службы резины.

Всего в разных странах за последние годы выдано более ста патентов и авторских свидетельств на использование этой удивительной ленты.

2. Лист Мёбиуса в повседневной жизни:

а) Мѐбиусовая лента понравилась не только математикам, но и фокусникам. Более 100 лет лист Мѐбиуса используется для показа различных фокусов и развлечений. Удивительные свойства листа демонстрировались даже в цирке, где подвешивались яркие ленты, склеенные в виде листов Мѐбиуса. Фокусник горящим концом спички дотрагивался до средней линии каждой ленты, которая была выполнена из специального покрытия. Огненная дорожка превращала первую ленту в более длинную, а вторую — в две ленты, продетая одна в другую

б). Лента Мебиуса  вдохновляет создателей ювелирных украшений. Среди их работ можно встретить кольца и кулоны в виде ленты Мёбиуса.

в) Не остались равнодушными к ней и мебельщики. Одним из примеров их работы в этом направлении является шезлонг, который представляет собой ленту Мёбиуса, склеенную из гнутого Британского дуба.

.

(Приложение № 11)

г) Международный символ переработки представляет собой Лист Мёбиуса.

д) Мотив Ленты Мебиуса встречается в названиях художественных произведений, общественных заведений, логотипах, ленту Мёбиуса часто изображают на различных эмблемах и значках. Например, на значке механико-математического  факультета Московского университета

е) Символ вселенной создан в виде ленты Мёбиуса.

(приложение № 12)

ж)Архитектура:

1. В 1992-1998гг. в Голландии был возведен дом-«Дом Мёбиус», построенный по принципу ленты Мёбиуса.

2. Построенный в Лондоне Олимпийский велодром имеет вид листа Мёбиуса.

(Приложение № 13)

5 Заключение.

Выполняя работу по изучению листа Мёбиуса, я прочитал много литературы, узнал о жизни учёного Августа Фердинанда Мёбиуса, об истории его уникального открытия.

В своей работе я описал лист Мёбиуса, раскрыл опытным путём свойства этого удивительного открытия.

Я выяснил, что лист Мёбиуса  обладает замечательными свойствами и находит применение  в реальной жизни. Мёбиус повлиял не только на математиков, но и на художников, скульпторов, архитекторов и многих, многих других. В результате появились картины, скульптуры, марки, и прочие произведения искусства с изображением ленты Мёбиуса.

Конечно же, главная ценность листа Мёбиуса состоит в том, что он дал толчок новым математическим исследованиям. Именно поэтому его часто считают символом современной математики и изображают на различных эмблемах и значках. Не зря этому математическому объекту поставили памятники в Москве и других городах мира.

Мы сумели получить интересный математический материал. В ходе работы мы создали презентацию, в которые включены иллюстративные материалы о листе Мёбиуса.

Своими результатами исследования о листе Мебиуса я поделился с учащимися нашей школы. Думаю, что это их заинтересовало

Все поставленные мной задачи были выполнены. Предположение, что лента Мёбиуса обладает удивительными свойствами, подтвердилось.

6 Перспектива исследования

Несмотря на то, что Мёбиус сделал своё удивительное открытие очень давно, оно очень популярно и в наши дни:

- у математиков - идут дальнейшие исследования;

- у школьников - очень интересно экспериментировать с лентой Мёбиуса;

- у учителей – есть ещё один способ заинтересовать учеников математикой;

- в технике – открываются всё новые способы использования ленты Мёбиуса

Я считаю, что с листом Мёбиуса можно провести ещё много опытов, увеличивая число оборотов и разрезов. и описать открытые свойства. Количество опытов зависит от собственного интереса и терпения.

Думаю, что вместе с одноклассниками в дальнейшем мы продолжим эти исследования.

Лист Мёбиуса – удивительный феномен. Его можно исследовать до бесконечности и рассказывать о Ленте Мебиуса можно удивительно долго.

7. Литература.

1. Газета «Математика» приложение к издательскому дому «Первое сентября», №14 1999г., № 24 2006г.

2. М.Гарднер «Математические чудеса и тайны» «Наука» 1978 г.

3. Б. А. Кордемский «Математическая смекалка»: М.: «В - 71», 1957. –

С. 576.

4. «Я познаю мир «Математика»»: Минск: «АСТ – ЛТД», 1998. – С.475.

5. Материалы сайтов:

http://arbuz.uz/t_lenta.html

http://school-sector.relarn.ru/dckt/projects/ctrana/matric/t_lm1.htm

http://www.websib.ru/noos/math/listmebiusa/

http://ru.wikipedia.org/wiki/Лента_Мёбиуса

http://www.frei.ru/golos/books/

http://umiranie.chat.ru/sphere.htm

8. Приложения

№ 1

№ 2

№ 3

№ 4

№ 5

№ 6

№ 7

№ 8

№ 9

№ 10

№ 11

№ 12

№ 13

14