Логарифмические уравнение

БЮДЖЕТНО ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ОМСКОЙ ОБЛАСТИ

СРЕДНЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«ОМСКИЙ АВИАЦИОННЫЙ КОЛЛЕДЖ ИМЕНИ Н. Е. ЖУКОВСКОГО»

Урок по теме:

«Логарифмические уравнения. Способы решения логарифмических уравнений»

Разработали: Белова О.В., Туголукова Е.А.

Преподаватели БОУ ОО СПО

«Омский авиационный колледж им. Н.Е. Жуковского»

2014

Тема: «Логарифмические уравнения. Способы решения логарифмических уравнений»

Цель урока: формирование умения решать логарифмические уравнения разных типов на основе применения определения логарифма, свойств логарифмов и общих методов решения уравнений.
Задачи:
а) общенаучная: выбирать рациональные способы решения уравнений, применять полученные теоретические знания для решения уравнений;

б) воспитательная: воспитывать сознательное отношение к учению, познавательную активность и интерес к предмету, культуру умственного труда;
в) развивающая: развивать навыки сравнительного анализа, логического мышления, умение делать обобщения и выводы;

Тип урока: комбинированный

Оборудование и материалы:

1. Тест для первичного закрепления.

2. Раздаточный материал.

3. Оценочный лист.

4. Компьютер.

5. Презентация.

Методы обучения: наглядный, проблемный

Формы организации урока: индивидуальная, фронтальная, групповая.

Технологии, используемые на уроке: групповая технология, обучение в сотрудничестве, информационно-коммуникативная.

План проведения урока:

Ход урока.

1. Организационный момент

Изучив определение логарифма, основные свойства логарифмической функции, правила вычисления логарифмов и их свойства нам необходимо выстроить маршрут для этого урока .С чего начнем?

2. Проверка домашнего задания

Выступление студентов, подготовивших сообщения по применению логарифмической функции в быту и жизни (показ презентаций)

Опрос:

1. Что называется логарифмом числа? (Логарифмом положительного числа по основанию , где , называется показатель степени, в которую надо возвести число , чтобы получить число )

2. Какие свойства логарифма вы знаете?

   1. ;

   2. ;

   3. 

3. Напишите на доске основное тригонометрическое тождество ( )

3. «Проверь себя и угадай слово»

Вычисли и поставь соответствующую букву (карточка с заданием)

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5.

6.

7. ;

8. ;

9. .

Таблица ответов (слайд презентации)

В результате этой работы каждый студент может оценить себя сам.

Если он решил правильно, то получил имя и фамилию математика-Джон Непер.

4. Историческая справка.

Джону Неперу принадлежит сам термин «логарифм», который он перевел как «искусственное число». Джон Непер – шотландец. В 16 лет отправился на континент, где в течение пяти лет в различных университетах Европы изучал математику и другие науки. Затем он серьезно занимался астрономией и математикой. К идее логарифмических вычислений Непер пришел еще в 80-х годах XVI века, однако опубликовал свои таблицы только в 1614 году, после 25-летних вычислений. Они вышли под названием «Описание чудесных логарифмических таблиц».

5. Изучение нового материала.

Я вам предлагаю решить следующую задачу:

Ёмкость высоковольтного конденсатора в телевизоре C = 5∙10^-6 Ф. Параллельно с конденсатором подключен резистор с сопротивлением R = 2∙10 Ом. Во время работы телевизора напряжение на конденсаторе U₀ = 25 кВ. После выключения телевизора напряжение на конденсаторе убывает до значения U (кВ) за  время,   определяемое  следующим образом:

, где -постоянная

Определите (в киловольтах), напряжение на конденсаторе, если после выключения телевизора прошло 46 с.   

С какой проблемой мы встретились на этом этапе? (Не возможно решить данное уравнение)

Тема нашего урока: Логарифмические уравнения и способы их решения.

Какие цели можно поставить перед нами?

Ответ: познакомить с приемами решения логарифмических уравнений и научиться их решать.

Ответьте, пожалуйста, на вопросы:

Вопрос 1. Назовите основные виды уравнений (Линейные, квадратные, биквадратные и другие целые уравнения; дробно-рациональные уравнения; тригонометрические уравнения; иррациональные уравнения; показательные уравнения).

Вопрос 2. Назовите основные способы решений, являющиеся общими для уравнений различных типов (Преобразование уравнения по формулам; разложение на множители; замена переменной).

Вопрос 3. Назовите основные способы решения показательных уравнений (Решение простейших показательных уравнений; приведение степеней к одному основанию; применение формул; разложение на множители; замена переменной).

Сегодня мы изучим ещё один вид уравнений: логарифмические уравнения.

Объяснение нового материала (проводится учителем у доски).

Определение: Уравнения, содержащие переменную под знаком логарифма, называются логарифмическими.

Методы решения логарифмических уравнений.

• По определению логарифма;

• Метод потенцирования (освобождения от знака логарифма);

• Решение уравнений с использованием свойств логарифмов;

• Метод введения новой переменной;

• Логарифмирование уравнений;

• Другие методы (функционально-графический, метод приведения к одному основанию).

Рассмотрим каждый метод более подробно:

1. По определению логарифма.

По определению логарифма решаются простейшие уравнения вида .

.

Пример 1. Решить уравнение

Решение:

ОДЗ: ,

Используем определение логарифма:

,

,

.

Ответ: .

Пример 2. Решить уравнение ,

Решение: ,

ОДЗ: .

По определению логарифма:

,

,

,

.

Ответ: .

1. Метод потенцирования (освобождения от знака логарифма).

Решение логарифмического уравнения основано на том, что данное уравнение равносильно уравнению при дополнительных условиях

.

Пример 3. Решить уравнение

Решение:

ОДЗ: .

Потенцируя получим:

Ответ:

Вернемся к нашей задаче и дорешаем её. (Ответ: 6,25)

1. Решение уравнений с использованием свойств логарифмов.

_{Пример 4.} Решить уравнение

_{Решение:}

ОДЗ: .

Вспомним свойства логарифмов – сумма логарифмов двух положительных чисел равна логарифму произведения этих чисел, поэтому:

Освободимся от знака логарифма и решим квадратное уравнение:

,

,

, .

Согласовав корни с ОДЗ, получим корень .

Ответ: .

1. Метод введения новой переменной.

Пример 5. Решить уравнение

Решение:

ОДЗ:

В данном уравнении повторяется выражение: . Значит можно выполнить замену переменной.

_Пусть . Тогда уравнение примет вид

Возвратимся к исходной переменной. Остается решить простейшие логарифмические уравнения:

Ответ: .

5) Есть другие способы решения, познакомимся с ними на следующем уроке (функционально-графический метод, приведение к одному основанию).

6. Первичное закрепление нового материала.

Ученики выполняют тест (Время на выполнение теста – 8 мин)

Тест

по теме: Логарифмические уравнения»

Работа в парах

1. Какое из заданных чисел является корнем уравнения?

1. Решите уравнения:

1. Установите соответствие между уравнениями и методами их решения.

Проверить в классе. Напротив каждого верного ответа поставьте «+» Критерии оценивания:

11-12 верных ответов – «5»,

9-10 верных ответов – «4»,

7-8 верных ответов – «3»,

6 верных ответов – «2».

7. Обучающая самостоятельная работа

Выполнение заданий по группам.

Решение записывают представители группы (по одному уравнению), с последующим обсуждением.

Группа 1.

1)

2)

3)

.

,

5) Ответ: .

Группа 2.

2. .

3. 

4. ,

,

1. 

2. Ответ:

Группа 3.

1. 

2. .

3. 2 ,

, .

1. .

.

1. .

2. Ответ .

Работа оценивается следующим образом: 3 задания – «5»,

2 задания – «4»,

1 задание– «3»,

Оцените свою работу на уроке и сдайте оценочный лист.

8. Подведение итогов урока

Мы изучили основные методы решения логарифмических уравнений и научились решать уравнения данного вида с применением изученных методов.

Оценки за урок выставляются с учетом результатов оценочного листа и устных ответов.

9. Домашнее задание: решить уравнения:

;

;

;

;

Для подготовленных учащихся:

;

.

10. Рефлексия

Чем был полезен наш урок математики для Вас? (Научились решать логарифмические уравнения разных типов на основе применения определения логарифма, свойств логарифмов и общих методов решения уравнений).

Предлагается учащимся продолжить фразу:

«Сегодня на уроке мне понравилось…»

«Сегодня на уроке мне не понравилось…»

«Сегодня на уроке мне удалось…»

«Сегодня на уроке мне не удалось…»

Студенты высказываются, с учетом сказанного планируется следующий урок

Список литературы:

1. Ковалева Г. И. Математика. Тренировочные тематические задания повышенной сложности с ответами [Текст] / Г. И. Ковалева, Т. И. Бузулина, О. Л. Безрукова, Ю. А. Розка. – Волгоград.: «Учитель», 2007. – 494 с.

2. Мордкович А.Г. Алгебра и начала анализа. 10-11 кл.: Учеб. для общеобразоват. Учреждений. – 2-е изд. – М.: Мнемозина, 2001. – 335 с.