БЮДЖЕТНО ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ОМСКОЙ ОБЛАСТИ
СРЕДНЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«ОМСКИЙ АВИАЦИОННЫЙ КОЛЛЕДЖ ИМЕНИ Н. Е. ЖУКОВСКОГО»
Урок по теме:
«Логарифмические уравнения. Способы решения логарифмических уравнений»
Разработали: Белова О.В., Туголукова Е.А.
Преподаватели БОУ ОО СПО
«Омский авиационный колледж им. Н.Е. Жуковского»
2014
Тема: «Логарифмические уравнения. Способы решения логарифмических уравнений»
Цель урока: формирование умения решать логарифмические уравнения разных типов на основе применения определения логарифма, свойств логарифмов и общих методов решения уравнений.
Задачи:
а) общенаучная: выбирать рациональные способы решения уравнений, применять полученные теоретические знания для решения уравнений;
б) воспитательная: воспитывать сознательное отношение к учению, познавательную активность и интерес к предмету, культуру умственного труда;
в) развивающая: развивать навыки сравнительного анализа, логического мышления, умение делать обобщения и выводы;
Тип урока: комбинированный
Оборудование и материалы:
Тест для первичного закрепления.
Раздаточный материал.
Оценочный лист.
Компьютер.
Презентация.
Методы обучения: наглядный, проблемный
Формы организации урока: индивидуальная, фронтальная, групповая.
Технологии, используемые на уроке: групповая технология, обучение в сотрудничестве, информационно-коммуникативная.
План проведения урока:
| Этапы урока | Временная реализация |
1 | Организационный момент. | 1мин |
2 | Проверка домашнего задания | 4 мин |
3 | Проверь себя. | 4 мин |
4 | Историческая справка. | 2 мин |
5 | Изучение нового материала. | 12 мин. |
6 | Первичное закрепление. | 8 мин. |
7 | Обучающая самостоятельная работа | 10 мин. |
8 | Рефлексия | 2 мин |
9 | Подведение итогов | 1 мин. |
10 | Домашнее задание | 1 мин |
Ход урока.
1. Организационный момент
Изучив определение логарифма, основные свойства логарифмической функции, правила вычисления логарифмов и их свойства нам необходимо выстроить маршрут для этого урока .С чего начнем?
2. Проверка домашнего задания
Выступление студентов, подготовивших сообщения по применению логарифмической функции в быту и жизни (показ презентаций)
Опрос:
Что называется логарифмом числа? (Логарифмом положительного числа по основанию , где , называется показатель степени, в которую надо возвести число , чтобы получить число )
Какие свойства логарифма вы знаете?
;
;
Напишите на доске основное тригонометрическое тождество ( )
3. «Проверь себя и угадай слово»
Вычисли и поставь соответствующую букву (карточка с заданием)
1. ;
2. ;
3. ;
4. ;
5.
6.
7. ;
8. ;
9. .
Н | Ж | О | Д | Е | П | Р | Е |
-1 | 2 | 3 | -3 | 100 | 1 | 0 | 100 |
Таблица ответов (слайд презентации)
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
Д | Ж | О | Н | Н | Е | П | Е | Р |
-3 | 2 | 3 | -1 | -1 | 100 | 1 | 100 | 0 |
В результате этой работы каждый студент может оценить себя сам.
Если он решил правильно, то получил имя и фамилию математика-Джон Непер.
4. Историческая справка.
Джону Неперу принадлежит сам термин «логарифм», который он перевел как «искусственное число». Джон Непер – шотландец. В 16 лет отправился на континент, где в течение пяти лет в различных университетах Европы изучал математику и другие науки. Затем он серьезно занимался астрономией и математикой. К идее логарифмических вычислений Непер пришел еще в 80-х годах XVI века, однако опубликовал свои таблицы только в 1614 году, после 25-летних вычислений. Они вышли под названием «Описание чудесных логарифмических таблиц».
5. Изучение нового материала.
Я вам предлагаю решить следующую задачу:
Ёмкость высоковольтного конденсатора в телевизоре C = 5∙10-6 Ф. Параллельно с конденсатором подключен резистор с сопротивлением R = 2∙10 Ом. Во время работы телевизора напряжение на конденсаторе U0 = 25 кВ. После выключения телевизора напряжение на конденсаторе убывает до значения U (кВ) за время, определяемое следующим образом:
, где -постоянная
Определите (в киловольтах), напряжение на конденсаторе, если после выключения телевизора прошло 46 с.
С какой проблемой мы встретились на этом этапе? (Не возможно решить данное уравнение)
Тема нашего урока: Логарифмические уравнения и способы их решения.
Какие цели можно поставить перед нами?
Ответ: познакомить с приемами решения логарифмических уравнений и научиться их решать.
Ответьте, пожалуйста, на вопросы:
Вопрос 1. Назовите основные виды уравнений (Линейные, квадратные, биквадратные и другие целые уравнения; дробно-рациональные уравнения; тригонометрические уравнения; иррациональные уравнения; показательные уравнения).
Вопрос 2. Назовите основные способы решений, являющиеся общими для уравнений различных типов (Преобразование уравнения по формулам; разложение на множители; замена переменной).
Вопрос 3. Назовите основные способы решения показательных уравнений (Решение простейших показательных уравнений; приведение степеней к одному основанию; применение формул; разложение на множители; замена переменной).
Сегодня мы изучим ещё один вид уравнений: логарифмические уравнения.
Объяснение нового материала (проводится учителем у доски).
Определение: Уравнения, содержащие переменную под знаком логарифма, называются логарифмическими.
Методы решения логарифмических уравнений.
По определению логарифма;
Метод потенцирования (освобождения от знака логарифма);
Решение уравнений с использованием свойств логарифмов;
Метод введения новой переменной;
Логарифмирование уравнений;
Другие методы (функционально-графический, метод приведения к одному основанию).
Рассмотрим каждый метод более подробно:
По определению логарифма.
По определению логарифма решаются простейшие уравнения вида .
.
Пример 1. Решить уравнение
Решение:
ОДЗ: ,
Используем определение логарифма:
,
,
.
Ответ: .
Пример 2. Решить уравнение ,
Решение: ,
ОДЗ: .
По определению логарифма:
,
,
,
.
Ответ: .
Метод потенцирования (освобождения от знака логарифма).
Решение логарифмического уравнения основано на том, что данное уравнение равносильно уравнению при дополнительных условиях
.
Пример 3. Решить уравнение
Решение:
ОДЗ: .
Потенцируя получим:
Ответ:
Вернемся к нашей задаче и дорешаем её. (Ответ: 6,25)
Решение уравнений с использованием свойств логарифмов.
Пример 4. Решить уравнение
Решение:
ОДЗ: .
Вспомним свойства логарифмов – сумма логарифмов двух положительных чисел равна логарифму произведения этих чисел, поэтому:
Освободимся от знака логарифма и решим квадратное уравнение:
,
,
, .
Согласовав корни с ОДЗ, получим корень .
Ответ: .
Метод введения новой переменной.
Пример 5. Решить уравнение
Решение:
ОДЗ:
В данном уравнении повторяется выражение: . Значит можно выполнить замену переменной.
Пусть . Тогда уравнение примет вид
Возвратимся к исходной переменной. Остается решить простейшие логарифмические уравнения:
Ответ: .
5) Есть другие способы решения, познакомимся с ними на следующем уроке (функционально-графический метод, приведение к одному основанию).
6. Первичное закрепление нового материала.
Ученики выполняют тест (Время на выполнение теста – 8 мин)
Тест
по теме: Логарифмические уравнения»
Работа в парах
Какое из заданных чисел является корнем уравнения?
Уравнения | Варианты ответов | Правильный ответ |
| | |
| | |
| | |
Решите уравнения:
№ п.п. | Уравнения | Ответы |
1 | | |
2 | | |
3 | | |
4 | | |
Установите соответствие между уравнениями и методами их решения.
Уравнения | Методы решения |
1. 2. , 3. , 4. , 5. | ) Решение уравнения с помощью свойств логарифма; Замена переменной. Метод потенцирования Другие методы. |
Проверить в классе. Напротив каждого верного ответа поставьте «+» Критерии оценивания:
11-12 верных ответов – «5»,
9-10 верных ответов – «4»,
7-8 верных ответов – «3»,
6 верных ответов – «2».
7. Обучающая самостоятельная работа
Выполнение заданий по группам.
Решите уравнение, используя алгоритм найдите ОДЗ, освободитесь от знака логарифма, решите получившееся уравнение, согласуйте найденные корни с ОДЗ, запишите ответ. | Решите уравнение, используя алгоритм найдите ОДЗ, преобразуйте левую часть с помощью свойств логарифма, освободитесь от знака логарифма, решите получившееся уравнение, согласуйте найденные корни с ОДЗ, запишите ответ. | Решите уравнение, используя алгоритм найдите ОДЗ, введите замену, решите полученное уравнение, выполните обратную замену, согласуйте корни с ОДЗ, запишите ответ. |
Решение записывают представители группы (по одному уравнению), с последующим обсуждением.
Группа 1.
1)
2)
3)
.
,
5) Ответ: .
Группа 2.
.
,
,
Ответ:
Группа 3.
.
2 ,
, .
.
.
.
Ответ .
Работа оценивается следующим образом: 3 задания – «5»,
2 задания – «4»,
1 задание– «3»,
Оцените свою работу на уроке и сдайте оценочный лист.
8. Подведение итогов урока
Мы изучили основные методы решения логарифмических уравнений и научились решать уравнения данного вида с применением изученных методов.
Оценки за урок выставляются с учетом результатов оценочного листа и устных ответов.
9. Домашнее задание: решить уравнения:
;
;
;
;
Для подготовленных учащихся:
;
.
10. Рефлексия
Чем был полезен наш урок математики для Вас? (Научились решать логарифмические уравнения разных типов на основе применения определения логарифма, свойств логарифмов и общих методов решения уравнений).
Предлагается учащимся продолжить фразу:
«Сегодня на уроке мне понравилось…»
«Сегодня на уроке мне не понравилось…»
«Сегодня на уроке мне удалось…»
«Сегодня на уроке мне не удалось…»
Студенты высказываются, с учетом сказанного планируется следующий урок
Список литературы:
Ковалева Г. И. Математика. Тренировочные тематические задания повышенной сложности с ответами [Текст] / Г. И. Ковалева, Т. И. Бузулина, О. Л. Безрукова, Ю. А. Розка. – Волгоград.: «Учитель», 2007. – 494 с.
Мордкович А.Г. Алгебра и начала анализа. 10-11 кл.: Учеб. для общеобразоват. Учреждений. – 2-е изд. – М.: Мнемозина, 2001. – 335 с.