Логарифмические уравнения

ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ

Простейшее логарифмическое уравнение

Простейшее логарифмическое уравнение-это уравнение вида

log a x=b

Решение этого уравнения:

х=а b

Решите уравнение

x

x

log

3

3

=

=

2

2

Решение:

х=8

Решите уравнение

x

x

log

2

2

=

=

5

5

Решение:

х=25

Решите уравнение

x

x

log

4

4

=

=

3

3

Решение:

х=81

Решите простейшие уравнения

log 2 x= 6 log 7 x= -2 log 8 x= 1/3

log 8 x= 2 log 3 x= -2 log 25 x= 1/2

0; 2х1; х1/2; ОДЗ: (1/2; +∞) 2х-1=2 3 ; 2х-1=8; 2х=9; х=9:2; х=4,5 – принадлежит ОДЗ; Ответ: х=4,5 " width="640"

Решите уравнение

log 2 (2x-1)=3

Решение:

Область допустимых значений (ОДЗ):

2х-10;

2х1;

х1/2;

ОДЗ: (1/2; +∞)

2х-1=2 3 ;

2х-1=8;

2х=9;

х=9:2;

х=4,5 – принадлежит ОДЗ;

Ответ: х=4,5

0; 3x+90; 2х1; 3х-9; х1/2; х-3; 2х-1=3x+9; 2х-3х=9+1; -х=10; х=-10; х=-10 – не принадлежит ОДЗ; Ответ: корней нет -3 1/2 ОДЗ: (1/2; +∞) " width="640"

Решите уравнение

log 2 (2x-1)= log 2 (3x+9)

Решение:

Область допустимых значений (ОДЗ):

2х-10; 3x+90;

2х1; 3х-9;

х1/2; х-3;

2х-1=3x+9;

2х-3х=9+1;

-х=10;

х=-10;

х=-10 – не принадлежит ОДЗ;

Ответ: корней нет

-3 1/2

ОДЗ: (1/2; +∞)

0; 7х4; х4/7; ОДЗ: (4/7; +∞) Представим 2 в виде логарифма 2= log 2 4: log 2 (7x-4)= log 2 4+ log 2 13 Воспользуемся свойством: log а ху= log а х+ log а у; log 2 4+ log 2 13= log 2 4*13= log 2 52; log 2 (7x-4)= log 2 52; 7x-4= 52; 7x= 52 +4 ; 7x= 56 ; х=56:7; х=8 – принадлежит ОДЗ; Ответ: х=8 " width="640"

Решите уравнение

log 2 (7x-4)=2+ log 2 13

Решение:

Область допустимых значений (ОДЗ):

7х-40;

7х4;

х4/7;

ОДЗ: (4/7; +∞)

Представим 2 в виде логарифма 2= log 2 4:

log 2 (7x-4)= log 2 4+ log 2 13

Воспользуемся свойством:

log а ху= log а х+ log а у;

log 2 4+ log 2 13= log 2 4*13= log 2 52;

log 2 (7x-4)= log 2 52;

7x-4= 52;

7x= 52 +4 ;

7x= 56 ;

х=56:7;

х=8 – принадлежит ОДЗ;

Ответ: х=8

0; x+30; х-1; х-3; ОДЗ: (-1; +∞) -3 -1 " width="640"

Решите уравнение

Воспользуемся свойством:

log а ху= log а х+ log а у;

log 3 (x+1) + log 3 (х+3)=1;

log 3 (x+1)(х+3)=1;

log 3 (x 2 +3х+х+3)=1;

log 3 (x 2 +4х+3)=1;

x 2 +4х+3=3 1 ;

x 2 +4х=3-3;

x 2 +4х=0;

x(х+4)=0;

х=0 или х+4=0;

х=-4;

х=0 – принадлежит ОДЗ; х=-4 –не принадлежит ОДЗ

Ответ: х=0

log 3 (x+1) + log 3 (х+3)=1

Решение:

Область допустимых значений (ОДЗ):

х+10; x+30;

х-1; х-3;

ОДЗ: (-1; +∞)

-3 -1

Домашнее задание

log 3 (3x+10)=2

log 3 (2x-3)= log 3 (x+1)

log 3 ( x -4) + log 3 (2х-1)=2