Логика высказываний
Возможности компьютера велики. Он может помочь врачу поставить правильный диагноз пациенту, пассажиру — выбрать билет на нужный поезд; компьютер может управлять автомобилем, составлять прогнозы погоды и многое другое.
Для того чтобы выяснить, может ли компьютер «думать», сначала нужно понять, как думает человек. Ведь именно человек создал компьютер, и компьютер выполняет только те действия, которым его научил человек.
Наши знания об окружающем мире мы выражаем в повествовательных предложениях. Такие предложения могут отражать действительность верно или неверно. Думая, человек строит свои рассуждения, основываясь на собственных знаниях.
Еще Аристотель заметил, что правильность рассуждений не зависит от содержания, а определяется формой.
Наука, изучающая формы рассуждений, называется формальной логикой.
Математическая логика использует математические методы для исследования способов построения рассуждений, доказательств, выводов.
Одним из разделов современной математической логики является логика высказываний.
На правилах математической логики построены процессы «рассуждений» компьютера. Изучение логики высказываний поможет понять, как можно научить компьютер «думать».
Понятие высказывания
Высказывание — повествовательное предложение (утверждение), о котором в настоящее время можно сказать, истинно оно или ложно (пример 3.1).
Об истинности высказывания можно говорить только в настоящем времени: высказывание «Идет дождь» может быть истинным сейчас и ложным через час.
Как правило, высказывания обозначают заглавными латинскими буквами. Если высказывание А истинно, пишут А = 1, если ложно — А = 0 (пример 3.2). Часто используют такие обозначения: А = true (истина) иА = false (ложь).
Пример 3.1. Следующие предложения являются высказываниями:
Атом водорода самый легкий (истинно).
Клетка — часть атома (ложно).
Кирилл Туровский — известный английский писатель и оратор (ложно).
При делении любого числа (кроме нуля) на само себя получается число 1 (истинно).
Пример 3.2.
А = «а0 равно 1»;
В = «Масса измеряется в литрах».
Для приведенного примера А = 1, В = 0.
Логическая операция НЕ
С высказываниями можно производить различные операции, подобно тому как в математике — с числами (сложение, умножение, вычитание и др.).
Логическая операция НЕ (отрицание) меняет значение высказывания на противоположное: истинно на ложно, а ложно на истинно.
Логическое отрицание получается из высказывания путем добавления частицы «не» к сказуемому или с использованием оборота «неверно, что…» (пример 3.3). Иногда при построении отрицаний некоторые слова заменяют их антонимами, если это возможно.
Если высказывание содержит слова «все», «всякий», «любой», то отрицание такого высказывания строится с использованием слов «некоторые», «хотя бы один». И наоборот, для высказываний со словами «некоторые», «хотя бы один» отрицание будет содержать слова «все», «всякий», «любой» (пример 3.4).
Любую операцию над числами в математике обозначают каким-либо знаком: «+», «–», «·», «:». Для логических операций тоже определены свои обозначения. Если операцию отрицания применяют к высказыванию А, то это можно записать так: НЕ А.Можно встретить и другие обозначения для логической операции отрицания: Not A, ¬A, A, ~A.
Если нас интересует истинность высказывания НЕ А, то ее (вне зависимости от содержания) можно определить по таблице истинности:
Из таблицы истинности следует, что отрицанием истинного высказывания будет ложное, а отрицанием ложного — истинное (пример 3.5).Высказывание и его отрицание никогда не могут быть истинными или ложными одновременно.
Отрицанием высказывания «У меня есть компьютер» будет высказывание «У меня нет компьютера» (или высказывание «Неверно, что у меня есть компьютер»). Истинность этих высказываний зависит от конкретного человека. Для одних будет истинным первое высказывание, а для других — второе. Но оба высказывания не могут быть истинными или ложными одновременно для одного и того же человека.