Магические квадраты"

    ИНДИВИДУАЛЬНЫЙ ИТОГОВЫЙ ПРОЕКТ НА ТЕМУ « Магические квадраты » ТИП ПРОЕКТА: иследовательский    

р.п. Тоншаево

2022 год

«Составление магических квадратов

представляет собой превосходную

умственную гимнастику, развивающую

способность понимать идеи размещения,

сочетания и симметрии».

Леонард Эйлер

Актуальность проекта:  

• Проблема данного исследования заключается в привлечении обучающихся к решению нестандартных задач и формировании логического мышления, навыков научно-исследовательской работы. Я считаю, что магический квадрат является одной из наиболее интересных головоломок, позволяющей развить логическое мышление.
• Великие ученые древности считали количественные отношения основой сущности мира. Они увидели, что числа имеют какую-то самостоятельную жизнь, свои тайны. Поэтому числа и их соотношения занимали величайшие умы человечества. Многие выдающиеся математики посвятили свои работы исследованиям свойств магических квадратов.

Цель, задачи проекта

Проблема:  в чём особенность магических квадратов?

Как их заполнять?

Цель работы: выявить различные виды

магических квадратов и способы их решения.

Задачи исследования:

• познакомиться с историей возникновения магических квадратов;
• познакомиться с различными видами магических квадратов;
• выявить области применения магических квадратов;
• научиться составлять магические квадраты.

Магический, или волшебный квадрат  — это квадратная таблица, заполненная числами так, что сумма чисел в каждой строке, каждом столбике и на обеих диагоналях одинакова.

Существует предание, согласно которому китайский император Ию , живший четыре тысячи лет назад , увидел однажды на берегу реки священную черепаху с узором из черных и белых кружков на панцире. Сообразительный император сразу понял смысл этого рисунка. Если посчитать количество кружков в каждой фигуре, и поместить полученные числа в клетки квадрата, получится магический квадрат.

Более поздние сведения о магических квадратах относящиеся уже к 1 веку, получены из Индии . Вот один из таких древнеиндийских памятников почти 2000-летней давности.

1

14

12

15

8

7

13

4

6

11

2

9

10

5

3

16

В таблице порядковые числа от 1 до 16 размещены в шестнадцати клетках квадрата так, что выполняется основное свойство магического квадрата.

Недаром в ту далёкую эпоху суеверий индийцы, а следом за ними и арабы приписывали этим числовым сочетаниям

таинственные и магические свойства.

Магический квадрат Пифагора

«Удача в том, с какой натурой ты родился: есть - что врожденное, а есть - чего добился». Пифагор

Основная идея состоит в том, что дата рождения несёт в себе определённые комбинации цифр, с помощью которых можно дать характеристику психотипа человека. Каждое число от 1 до 9 символизирует определённые качества, и в зависимости от частоты повторений усиливает их. Для выполнения расчета необходимо рассматривать каждую дату рождения как набор цифр, а не чисел. Запись даты рождения производится в строгой последовательности, однозначные числа записываются без нулей перед ними. Необходимо произвести определённые расчёты и записать цифры в нужном порядке. Чем больше цифр в одной ячейке, тем больше влияние данного числа на судьбу и жизнь человека. Эта таблица именуется «психоматрица».

Квадрат Альбрехта Дюрера

Европейцев с магическими квадратами познакомил в 15 в. византийский писатель Э. Мосхопулос . Первым квадратом, придуманным европейцем, считается квадрат А.Дюрера

Два средних числа в нижнем ряду указывают дату создания гравюры (1514).

Сумма чисел на любой горизонтали, вертикали и диагонали равна 34.

Латинские квадраты

Не смотря на то, что математиков интересовали в основном магические квадраты наибольшее применение в науке и технике нашли латинские квадраты.

Латинским квадратом называется квадрат n х n клеток, в которых написаны числа 1, 2,…, n, притом так, что в каждой строке и каждом столбце встречаются все эти числа по одному разу. На рисунке изображены два таких квадрата 4х4. Они обладают интересной особенностью: если один квадрат наложить на другой, то все пары получившихся чисел оказываются различными. Такие пары латинских квадратов называются ортогональными

1

2

2

3

3

1

4

4

4

4

3

3

1

2

2

1

1

2

3

3

4

4

4

2

1

3

1

2

2

4

1

3

Квадрат Эйлера.

Этот квадрат был составлен в XVIII веке великим математиком Леонардом Эйлером.

Он имеет размер 8*8 . Каждый ряд дает сумму 260.

Эйлер также исследовал алгоритмы построения магических квадратов методом обхода шахматным конём.

Квадраты Генри Э. Дьюдени и

Аллана У. Джонсона-мл.

В 19 и 20 вв. интерес к магическим квадратам вспыхнул с новой силой. Если в квадрат заносится не строго натуральный ряд чисел, то данный магический квадрат — нетрадиционный. Здесь представлены два таких магических квадрата, заполненные в основном простыми числами. Первый имеет порядок n=3 ( квадрат Дьюдени ); второй (размером 4x4) — квадрат Джонсона . Оба они были разработаны в начале двадцатого столетия.

Дьявольский магический квадрат

Дьявольский магический квадрат - магический квадрат, в которой также с магической константой совпадает сумма чисел по ломаным диагоналям (диагонали, которые образуются при сворачивании квадрата в тор) в обоих направлениях.

Такие квадраты называют ещё пандиагональными.

Существует 48 дьявольских магических квадратов 4х4 с точностью до поворотов и отражений.

1

14

8

13

4

11

12

15

5

2

7

16

10

9

3

6

Магический квадрат 3х3

В   магическом квадрате 3х3   магической постоянной 15 должны быть равны сумме трех чисел по 8 направлениям: по 3 строкам, 3 столбцам и 2 диагоналям. Так как число, стоящее в центре, принадлежит 1 строке, 1 столбцу и 2 диагоналям, оно входит в 4 из 8 троек, дающих в сумме магическую постоянную. Такое число только одно: это 5. Следовательно, число, стоящее в центре магического квадрата 3х3, уже известно: оно равно 5.

6

1

7

8

5

2

3

9

4

Такой магический квадрат был у древних китайцев символом огромного значения. Цифра 5 в середине означала землю, а вокруг нее в строгом равновесии располагались огонь (2 и 7), вода (1 и 6), дерево (3 и 8), металл (4 и 9).

8

1

3

4

5

6

9

7

2

Магические квадраты  

практическая часть

В качестве продукта проекта я изготовил стенд по теме, надеюсь он поможет заинтересоваться обучающимся магическими квадратами, их решением, что расширит их кругозор и поспособствует развитию мышления, памяти и внимания.

Заключение

В проекте я рассмотрел задачи, связанные с историей развития одного из вопросов математики, занимавшего умы очень многих великих людей, - магических квадратов. Несмотря на то, что, собственно, магические квадраты не нашли широкого применения в науке и технике, они подвигли на занятия математикой множество незаурядных людей и способствовали развитию других разделов математики (теории групп, определителей, матриц и т. д.).

В проекте также рассмотрен вопрос о квадрате Пифагора, представляющем исторический интерес и, возможно, полезном для составления психологического портрета личности.

Я считаю, что задачи данного исследования решены, я узнал историю возникновения магических квадратов, выявил области их применения и научился составлять их.

Литература и интернет источники

• М. М. Постников «Магические квадраты. Выпуск 131» Издательство: «URSS» (2017).
• Т. Ушакова «Тренировочные упражнения. Математика. Магические квадраты». Издательство: «Литера ИД» (2017).
• Ю. В. Чебраков «Магические квадраты» С Петербург (1995).
• Задачи для внеклассной работы по математике в V-VI классах/ Сост. В.Ю. Сафонова. Под ред. Д.Б. Фукса. – М.: МИРОС, 1998.     
• Климченко Д.В. Задачи для любознательных: Кн. для учащихся 5-6 кл.-М.: Просвещение, 1999. 
• Ткачева М. В. Элементы статистики и вероятность: Учебн. пособие для общеобразовательных учреждений: Просвещение, 2004.
• Шарыгин И. Ф. Шевкин А. В. Подумай и реши: задачи на смекалку.- М.: ГАЛАС, 1993.
•    Энциклопедический словарь юного математика. М., Педагогика, 1999г.

•   http://rk6.bmstu.ru/electronic_book/posapr/zadanpo/kvadrat.htm  
•   http://www.krugosvet.ru/articles/15/1001543/print.htm
•   /magazine/no4/pub/pr3-4.htm  
•   /Department/WMiP/Metod_material/comb/dictonary/magic_ ….. square.html
•   http://www.bios.by/issue/07.06.2004/rub12/doc8581.html