Математические модели решения текстовых задач по математике

Математические модели решения текстовых задач по математике

1. Первый велосипедист выехал из поселка по шоссе со скоростью 12 км/ч. Через час после него со скоростью 10 км/ч из того же поселка в том же направлении выехал второй велосипедист, а еще через час после этого — третий. Найдите скорость третьего велосипедиста, если сначала он догнал второго, а через 4 часа 20 минут после этого догнал первого. Ответ дайте в км/ч.

Для начала нужно сделать рисунок:

На рисунке изобразим 3 велосипедиста на расстоянии, когда третий велосипедист только выезжал из поселка, обозначим их цифрами 1, 2, 3. Над каждым велосипедистом напишем его скорость.

Далее составим таблицу:

На рисунке флажками обозначим те моменты, когда третий велосипедист догонял и перегонял велосипедистов для большей наглядности.

Для заполнения таблицы мы можем найти некоторые данные из условия задачи. Обозначим на рисунке какое расстояние было между велосипедистами. По условию мы знаем, что третий выехал через час после второго, то есть второй был целый час в пути. Расстояние между вторым и третьим 10 км. Третий был в пути уже 2 часа, так как второй также выехал через час после первого. Скорость третьего больше скорости первого и второго велосипедиста, поэтому из скорости третьего вычитаем скорости первого и второго. Его расстояние 24 км. Заполним соответствующий столбик. За х обозначим скорость третьего велосипедиста, которую надо найти. По формуле найдем время . Запишем в таблицу.

По условию третий сначала догнал второго, а через 4 часа 20 минут первого. Обозначим это на таблице, записав время в виде дроби, так как 20 минут это 1/3 часа.

Составим уравнение:

ОДЗ:

Далее решаем уравнение. Перенести все в одну часть, привести к одному знаменателю:

Числитель равен 0, знаменатель не равен 0.

Решаем уравнение: Дискриминант равен 7744. Ищем корни.

В итоге получаются два решения . Чтобы убедиться в правильности ответа выделим целую часть у первого корня: . Из условия задачи скорость третьего должна быть самой большой, потому что третий велосипедист обогнал и второго, и третьего. То есть первый корень не удовлетворяет условию. Ответ 16 км/ч.

1. Из пункта A круговой трассы выехал велосипедист. Через 50 минут он еще не вернулся в пункт А и из пункта A следом за ним отправился мотоциклист. Через 5 минут после отправления он догнал велосипедиста в первый раз, а еще через 30 минут после этого догнал его во второй раз. Найдите скорость мотоциклиста, если длина трассы равна 50 км. Ответ дайте в км/ч.

Сделаем рисунки:

Скорость мотоциклиста больше скорости велосипедиста, поэтому мотоциклист догоняет и перегоняет велосипедиста – это 1 встреча.

Заполним таблицу:

Составим первое уравнение: .

Но так как мотоциклист после первой встречи обогнал велосипедиста, то получается мотоциклист на 1 круг проехал больше, чем велосипедист. Исходя из этого мотоциклист на 50 км. проехал больше велосипедиста.

Составим второе уравнение: .

Решаем систему уравнений:

Сократим дроби:

Второе уравнение умножаем на 2 и решаем его относительно х. Далее подставляем в первое уравнение и решаем относительно y. В итоге получим . Находим x. .

Ответ скорость мотоциклиста 110 км/ч.

1. В четверг акции компании подорожали на некоторое количество процентов, а в пятницу подешевели на то же самое количество процентов. В результате они стали стоить на 36% дешевле, чем при открытии торгов в четверг. На сколько процентов подорожали акции компании в четверг?

Для решения задачи составим схему:

Так как акции подешевели на 36%, значит итого акции стоят после изменений 64%

Представим, что акции подорожали на 30%, то как бы мы решали такую задачу? Составим пропорцию:

То есть акции стоили изначально 1, потом на 30% подорожали, то есть к 1 прибавили 0,3.

Попробую дополнить нашу схему.

Составим уравнение:

Решаем уравнение. Делим на y обе части, далее упрощаем уравнение по формуле

В итоге Очевидно, что -60% не удовлетворяет условию. Ответ 60%.

1. Брюки дороже рубашки на 20% а пиджак дороже рубашки на 44%. на сколько процентов пиджак дороже брюк?

Запишем условие схематично:

Обозначим брюки за 100% и пиджак за 100%, исходя из этого рубашка будет стоить:

Так как рубашка у нас общее, то мы можем уровнять получившиеся значения, получится уравнение:

Решим относительно брюк:

То есть брюки стоят 120% от пиджака. Нам нужно узнать на сколько пиджак дороже брюк. Пиджак – 100%, брюки – 120%, значит 120-100 = 20%

Ответ 20%

Москалев И.С., 2024 г.