Математические таблицы

1.ПОНЯТИЕ НУМЕРАЦИИ ЦЕЛЫХ НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ. МЕТОДИКА ИЗУЧЕНИЯ НУМЕРАЦИИ ЧИСЕЛ В КОНЦЕНТРЕ «ЧИСЛА ОТ 1 ДО 100»

Концентр чисел - группа чисел, изучающихся отдельно по общим принципам, методам программным требованиям.

Нумерация чисел - образование числа, обозначение, счёт, предметное соотношение, место числа в числовом ряду, сравнение чисел, состав числа.

Разряд – место для записи цифр в числе.

Понятие натурального числа, нумерация целых неотрицательных чисел и действия над ними являются основными темами начального курса математики. Изучение нумерации происходит по концентрам: десяток, сотня, тысяча, многозначные числа. При этом изучение каждого вопроса опирается на предыдущий концентр, дополняется новым содержанием и тем самым получает свое развитие. В начальной школе изучается сначала устная нумерация, а затем письменная. 

Устная – способ называния каждого из натуральных чисел с помощью слов-числительных: 1,2,3,10,20, … .

Письменная нумерация – способ, позволяющий записать любое натуральное число с помощью цифр (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) на основе принципа поместного значения цифр: значение цифры зависит от места занимаемого этой цифрой в записи числа. В письменной нумерации на месте отсутствующих единиц в каком-либо разряде или классе ставится цифра 0.

Выделяют 3 основных этапа изучения нумерации: подготовительный, ознакомление с новым материалом, закрепление знаний и умений.

Подготовительный период – период изучения некоторых вопросов до введения числа 1, т.е. до начала нумерации.

Задачами подготовительного периода являются: выявление имеющихся у детей знаний, подготовка к изучению систематического курса математики, усвоение правил поведения в коллективе создающие возможность работы с классом в школе. (диагностика, коррекция, формирование навыков учебной деятельности).

В подготовительный период рассматриваются вопросы:

1. Счет предметов;

2. Больше? Меньше? Столько же?

3. Порядковые отношения: "стоять перед", "находиться между", "следовать за" и порядковые значения чисел.

Нумерация чисел первого десятка

Выделение темы "Десяток" в особый концентр объясняют следующими причинами:

1) Десять - основание десятичной системы счисления и числа от 1 до 10 образуются в процессе счета, получают название и обозначение.

2) Арифметические действия связаны с операциями над множествами. Сложение и вычитание в пределах 10 формируют навыки работы с конкретными множествами, т.к. у них число элементов не превосходят 10.

3) Используя небольшие числа, многие понятия легче демонстрировать практическими действиями для более эффективного их формирования (например, понятия равенства, неравенства, сложение, вычитание, натуральное число).

4) В концентре "Десяток" изучаются темы, которые являются основой для изучения последующих вопросов. Например, 20+30=50 сводится к 2 дес.+3 дес.=5 дес.

В изучении концентра "Десяток" выделяют три этапа: подготовительный период, изучение нумерации, изучение сложения и вычитания.

При изучении нумерации идет процесс формирования понятия числа с опорой на теоретико-множественную основу. Учащиеся должны понять, что число 4 обозначает число элементов множеств, состоящих из четырех любых предметов: парты, столы, машины, люди, кружки, палочки и т.д.

Изучая числа первого десятка, учащиеся знакомятся с числом нуль. Учащиеся выполняют ряд упражнений в отсчитывании предметов по одному до тех пор, пока не останется ни одного.

Сотня

В концентре «числа от 1 до 100» раскрывается понятие числа, идет процесс формирования представлений школьника, раскрывается смысл каждого арифметического действия, идет процесс формирования вычислительных навыков. Сложение и вычитание осуществляется в два этапа: от 1 до 20 и в пределах 100.

Изучение нумерации чисел в теме 100 происходит в два этапа: обосновываются особенности написания и называния чисел; обосновывается принцип образования чисел второго десятка из одного десятка и нескольких единиц.

При написании чисел второго десятка порядок называния составляющих их разрядных чисел и порядок записи числа не совпадают (в устной речи сначала называют единицы: три-надцать, а на письме на первом месте будет десяток).

Нумерация в концентре "Сотня" изучается в два этапа: 1) устная нумерация; 2) письменная нумерация.

Подготовительной работой к изучению нумерации в пределах 100 является повторение нумерации в пределах 10: образование числа (присчитывание и отсчитывание по 1), последовательность чисел от 1 до 10, прямой и обратный счет. Каждый раз учитель говорит: эти же приемы мы будем использовать при изучении нумерации чисел больше 10, но там вместо единиц мы будем употреблять десятки.

Изучение устной нумерации в пределах 100 начинается с формирования у учащихся понятия о десятке.

При изучении письменной нумерации учитель использует нумерационную таблицу и общую схему разбора числа.

В концентре "Сотня" изучаются следующие вопросы: нумерация чисел, сложение и вычитание, умножение и деление.

2.ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ОСНОВА СЛОЖЕНИЯ И ВЫЧИТАНИЯ В НАЧАЛЬНОМ КУРСЕ МАТЕМАТИКИ. ФОРМИРОВАНИЕ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ НАВЫКОВ СЛОЖЕНИЯ И ВЫЧИТАНИЯ В КОНЦЕНТРЕ «ЧИСЛА ОТ 1 ДО 10»

Одной из задач начальной школы является изучение арифметики целых неотрицательных чисел и основных величин. Учащиеся должны освоить навыки устного счета, освоить и осознано применять вычислительные приемы, основанные на знании свойств операций арифметических действий и состава числа, в решении практических задач. Вычислительные навыки учащихся должны быть доведены до автоматизма.

Формирование вычислительных навыков сложения и вычитания в концентре «Числа от 1 до 10»

Формирование у школьников начальный классов вычислительных навыков остается одной из главных задач начального обучения математике, поскольку вычислительные навыки необходимы как в практической жизни человека, так и в учении.

Вычислительный приём – это система операций, последовательное выполнение которых приводит к результату действия. Теоретической основой вычислительных приемов служат определения арифметических действий, свойства действий, и следствия, вытекающие из них.

Вычислительный навык - это высокая степень овладения вычислительными приёмами.

Приобрести вычислительные навыки - значит для каждого случая знать, какие операции и в каком порядке следует выполнять, чтобы найти результат арифметического действия и выполнять эти операции достаточно быстро.

Полноценный вычислительный навык характеризуется правильностью, осознанностью, рациональностью, обобщенностью, автоматизмом, прочностью.

Этапы формирования вычислительных навыков сложения и вычитания

1. Подготовка к введению нового приёма. На этом этапе создается готовность к усвоению вычислительного приёма, а именно, учащиеся должны усвоить те теоретические положения, на которых основывается приём вычислений, а также овладеть каждой операцией, составляющей приём.

2. Ознакомление с вычислительным приёмом. На этом этапе ученики усваивают суть приёма: какие операции надо выполнять, в каком порядке и почему именно так можно найти результат арифметического действия.

3. Закрепление знаний приёма и выработка вычислительного навыка. На этом этапе ученики должны твердо усвоить систему операций, составляющие приём, и быстро выполнить эти операции; то есть овладеть вычислительным навыком.

Формирование вычислительных навыков проходит в несколько этапов:

1. Подготовительный раскрывает смысл действий сложения и вычитания на основе практических действий с множеством предметов. Сложение рассматривается как объединение множеств не имеющих общих элементов. Вычитание – как удаление части конечного множества, являющегося подмножеством данного множества.

2. Усвоение способов образования любого числа первого десятка присчитыванием и отсчитыванием по единице (на основе знания свойств натурального ряда чисел). Прибавить к числу 1– значит получить следующее за ним число в натуральном ряду, вычесть 1 из числа – значит, получить предшествующее ему в натуральном ряду число.

3. Итогом является изучение случаев   1. Составляется и заучивается таблица   1, читают математические выражения: 3 + 1 = 4, 3 – 1 = 2.

4. Рассматриваются случаи сложения и вычитания, основанные на приеме прибавления по единице и группами единиц:  + 1 + 1;  – 1 – 1.

5. Последовательно изучаются приемы вида:   2,   3,   4 с опорой на предметную наглядность и практические действия: «Положи 3 синих треугольника, придвинь к ним 1 красный. Сколько треугольников получилось? Придвиньте еще 1 красный треугольник. Сколько всего треугольников придвинули? Запишите выполненные действия: 3 + 1 + 1. Объясните, как решали пример». – К 3 прибавили 1 получили 4, к 4 прибавили 1, получили 5. – Сколько всего прибавили к 3? (– Всего прибавили 2.)

– Как прибавить 2? (– Нужно к 3 прибавить 1 и еще 1, то есть: 3 + 1 + 1.) Аналогично для вычитания.

6. Рассматривается случай  + 2, компоненты при сложении. Выполняют различные задания с числом 2: прибавляют по 2, вычитают по 2, решают задачи, шагают по числовому лучу, составляется таблица  + 2. По аналогии рассматривается случай  – 2.

7. Рассматривая случай:   3. Учащиеся должны осознать: прибавить 3 – это значит выполнить последовательность действий:  + 2 + 1;  +1 +2;  + 1 + 1 + 1 (соответственно при вычитании). Рассматривают различные способы прибавления и вычитания 3-х, где вместо  может стоять любое натуральное число в пределах 10. Решить пример: 5  3, это значит выполнить систему действий:

5 + 2 + 1; 5 + 1 + 2; 5 + 1 + 1 + 1, или 5 – 2 – 1; 5 – 1 – 2; 5 – 1 – 1 – 1.

Параллельно рассматривается состав числа. Например, 7 – это 3 и …; 9 – это 3 и … Решаются задания на сравнение выражений типа: 6 + 

8. Случаи   4 рассматриваются по аналогии с предыдущим. Прибавить 4, значит прибавить 2 и 2; прибавить 3 и 1; 1 и 3; 1 + 1 + 1 + 1. По аналогии рассматривается случай  – 4. Например, 8 – 4 – это 8 – 2 – ; 8 – 1 – ; 8 –  – .

9. Изучается переместительное свойство сложения на основе наблюдений, предметной наглядности. Учащиеся делают вывод: «От перестановки слагаемых сумма не изменяется».

10. На одном уроке рассматривают случаи:  + 5;  + 6;  +7;  + 8;  + 9. Составляются и заучиваются таблицы, способствующие осознанию состава числа и рассматриваются компоненты при вычитании.

11. В течение 3-х уроков последовательно рассматриваются случаи: 6 – ; 7 –  (на одном уроке); затем 8 – ; 9 –  (на другом уроке); и, наконец, 10 – . Все рассмотренные случаи заучиваются до автоматизма.

3.ОСОБЕННОСТИ РАССМОТРЕНИЯ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ НАВЫКОВ СЛОЖЕНИЯ И ВЫИТАНИЯ В КОНЦЕНТРЕ «ЧИСЛА ОТ 1 ДО 100». МЕТОДИКА ФОРМИРОВАНИЯ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ НАВЫКОВ СЛОЖЕНИЯ И ВЫЧИТАНИЯ В КОНЦЕНТРЕ «ЧИСЛА ОТ 1 ДО 100»

Одной из задач начальной школы является изучение арифметики целых неотрицательных чисел и основных величин. Учащиеся должны освоить навыки устного счета, освоить и осознано применять вычислительные приемы, основанные на знании свойств операций арифметических действий и состава числа, в решении практических задач. Вычислительные навыки учащихся должны быть доведены до автоматизма.

Вычислительный приём – это система операций, последовательное выполнение которых приводит к результату действия. Теоретической основой вычислительных приемов служат определения арифметических действий, свойства действий, и следствия, вытекающие из них.

Вычислительный навык - это высокая степень овладения вычислительными приёмами.

Приобрести вычислительные навыки - значит для каждого случая знать, какие операции и в каком порядке следует выполнять, чтобы найти результат арифметического действия и выполнять эти операции достаточно быстро.

Полноценный вычислительный навык характеризуется правильностью, осознанностью, рациональностью, обобщенностью, автоматизмом, прочностью.

Этапы формирования вычислительных навыков сложения и вычитания

1. Подготовка к введению нового приёма.

На этом этапе создается готовность к усвоению вычислительного приёма, а именно, учащиеся должны усвоить те теоретические положения, на которых основывается приём вычислений, а также овладеть каждой операцией, составляющей приём.

2. Ознакомление с вычислительным приёмом.

На этом этапе ученики усваивают суть приёма: какие операции надо выполнять, в каком порядке и почему именно так можно найти результат арифметического действия.

3. Закрепление знаний приёма и выработка вычислительного навыка.

На этом этапе ученики должны твердо усвоить систему операций, составляющие приём, и быстро выполнить эти операции; то есть овладеть вычислительным навыком.

Формирование вычислительных навыков сложения и вычитания в концентре ''Числа от 1 до 100''.

Концентр ''Числа от 1 до 100'' занимает центральное место в начальном курсе математики. Сложение и вычитание рассматривается в два этапа: сложение и вычитание в пределах 20 (табличное); сложение и вычитание в пределах 100.

Формирование вычислительных навыков происходит параллельно с изучением теоретического материала: прибавление числа к сумме, вычитание числа из суммы, прибавление суммы к числу, вычитание суммы из числа. Основой формирования вычислительных навыков являются случаи сложения и вычитания в пределах 20, знание состава числа в пределах 10.

В соответствии с требованиями программы ''Школа России'' и учебником ''Математика'' формирование вычислительных навыков происходит в такой последовательности:

1. Случаи прибавления и вычитания чисел вида: 12 + 1, 12 – 1 (на основе знания свойств натурального ряда чисел);

2. 10 + 2; 2 + 10; 12 – 2; 12 – 10 (на основе знания десятичной записи числа и связи сложения и вычитания);

3. Случаи сложения однозначных чисел (9 + 2, 8 + 3, 7 + 4, 6 + 5) с переходом через разрядную единицу, сумма которых равна 11. Затем случаи сложения однозначных чисел, сумма которых равна соответственно 12, 13, 14, …, 19. В заключении составляется таблица всех случаев сложения однозначных чисел.

В основе случаев сложения и вычитания в пределах 20 лежат:

– знания состава числа в пределах 10;

– прибавление по частям (на основе дополнения слагаемого до десятка);

– знания десятичной записи числа.

Например: 8 + 5 = 8 + (2 + 3) = (8 + 2) + 3 = 10 + 3 = 13.

Навыки вычитания однозначного числа из двузначного с переходом через десяток рассматриваются после сложения, в такой последовательности: 11 – , 12 – , …, 18 – , в основе которых лежит вычитание по частям.

В начальной школе рассматривается и способ, основанный на знании состава числа в пределах 20и использовании связи между суммой и слагаемыми. Например, 12 – 3 (12 – это 3 и 9; если из 12 вычесть первое слагаемое 3, то получим второе слагаемое 9).

Затем рассматриваются внетабличные случаи сложения и вычитания в пределах 100 в такой последовательности:

1. Сложение и вычитание двузначных разрядных (круглых) чисел на основе сложения и вычитания однозначных чисел: 70 + 20 – это 7 дес. + 2 дес. = 9дес. Следовательно, 70 + 20 = 90.

2.30 + 5, 35 – 5, 35 – 30 (на основе знания связи между сложением и вычитанием и знанием десятичной записи числа).

3. Рассматривается порядок действий со скобками, свойство сложения (результат сложения не изменится, если соседние слагаемые заменить их суммой, сочетательное свойство сложения).

4. Последовательно рассматриваются случаи: 36 + 2, 36 + 20 (на одном уроке); 36 – 2, 36 – 20 (на другом уроке).

5. Затем случаи: 26 + 4; 30 – 7; 60 – 24; 26 + 7; 35 – 7.

Формирование каждого вычислительного приема ведется по следующему плану:

– подготовительная работа по ознакомлению с приемом;

– вводится прием;

–выполняются упражнения, направленные на формирование умений использовать прием в конкретных ситуациях;

– формирование и закрепление вычислительного навыка.

4.МЕТОДИКА ИЗУЧЕНИЯ ВНЕТАБЛИЧНЫХ СЛУЧАЕВ УМНОЖЕНИЯ И СООТВЕТСТВУЮЩИХ СЛУЧАЕВ ДЕЛЕНИЯ

Внетабличное умножение однозначных чисел и соответствующие случаи деления рассматриваются в теме «Числа от 1 до 100», которая изучается на третьем году обучения. Всего на тему «Внетабличное умножение и деление» отводится 28 часов.

Случаи умножения однозначного числа на однозначное являются табличными.

Таким образом, к внетабличным случаям относится умножение двузначного числа на однозначное. Прием устного умножения должен основываться на знании учащимися таблицы умножения.

Алгоритм умножения двузначного числа на однозначное можно представить в виде последовательности операций:

— двузначный множитель представляется в виде суммы разрядных слагаемых;

— сумма умножается по правилу умножения суммы на число;

— вычисляется произведение круглых десятков на число;

— определяется произведение однозначных чисел;

— вычисляется полученная сумма. (Например: 28·3= (20+8)*3= 20*3+8*3= 60+24=84)

На первых порах от учащихся можно требовать комментирова­ния отдельных шагов алгоритма.

Для соответствующих случаев деления существует прием, в основе которого лежит разложение делимого на слагаемые, каждое из кото­рых делится на делитель. В связи с этим учащихся необходимо пред­варительно ознакомить с правилом деления суммы на число: (а + b):с

На конкретных примерах доказывается действенность разрабо­танного приема (в числе примеров встречаются и частные вида 30:2, 50:2, 60:4, 60:5 и т. д.).

При делении учащиеся могут прого­варивать отдельные операции алгоритма:

— делимое заменяется суммой, где одно из слагаемых — наибольшее количество десятков, делящихся на делитель;

— сумма делится по правилу деления суммы на число;

— вычисляется частное круглых десятков на число;

— вычисляется табличное частное;

— вычисляется полученная сумма.

Деление круглых десятков на круглые десятки в методических пособиях рекомендуется рассматривать как деление по содержанию (например, сколько раз в 60 содержится по 30). В таком случае это деление сводится к делению однозначных чисел (6 дес. : 3 дес.) и позволяет ученику легко найти частное. Однако в дальнейшем, при делении многозначных чисел, деление на число с несколькими нулями придется рассматривать как деление на равные части и применять прием последовательного деления, основанный на правиле деления числа на произведение. Например, 6000 : 300 — это значит 6000 : (3 · 100) = 6000 : 3 : 100.

Система приемов при формировании навыков устного внетабличного умножения и деления

Изучение внетабличного умножения делят на три этапа: умножение на

- однозначное число; - на круглые десятки; - на двузначное число

Изучение внетабличных случаев вводится по следующему плану:

- рассматривается свойство умножения числа на сумму и суммы на число;

- изучается умножение и деление чисел, оканчивающихся нулями;

- вводится умножение двузначного числа на однозначное и умножение однозначного на двузначное на основе правила умножения суммы на число;

- рассматривается свойство деления суммы на число;

- обосновывается деление двузначного числа на двузначное (методом подбора на основе связи умножения и деления);

- рассматриваются соответствующие случаи проверки умножения и деления.

Особо рассматриваются случаи умножения на круглые десятки (2 -40) и на двузначное число.

При умножении на круглые десятки можно использовать либо распределительный, либо сочетательный закон умножения.

Например: 1) 4 х 20 = 4 х (10 + 10) = 4 х 10 + 4 х 10 = 40 + 40 = 80.

В особую группу выносится деление на двузначное число. В этих случаях деление выгодно рассматривать как деление по содержанию. Например, при решении примера 81 : 27 ставится вопрос: сколько раз нужно взять по 27, чтобы получить 81?

По программе "Школа России" рассматриваются отдельные случаи а*0 и а*1.

5.ПОНЯТИЕ «ЗАДАЧА». МЕТОДИКА ОБУЧЕНИЯ РЕШЕНИЮ ПРОСТЫХ ЗАДАЧ НА СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ. МОДЕЛИРОВАНИЕ В ПРОЦЕССЕ ОБУЧЕНИЯ РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ.

Под математической моделью в общем случае понимается описание какого-либо класса явлений внешнего мира, выраженное с помощью математической символики. В процессе математического моделирования выделяют три следующих этапа:

- перевод задачи на язык, подходящей для ее решения математической теории (построение математической модели);

-решение задачи в рамках математической теории, на язык которой она переведена (решение задачи внутри модели);

-обратный перевод результата решения на язык, на котором была сформулирована исходная задача (интерпретация полученного решения).

В основе метода моделирования лежит принцип замещения: реальный предмет ребенок замещает другим предметом, его изображением, каким – либо условным знаком.

Текстовая задача – это связный лаконичный рассказ, в котором даны значения определенных величин (исходные данные) и по ним предлагается найти неизвестные значения величин, находящиеся в определенной зависимости от известных.

В каждой задаче есть:

– числовые или буквенные данные;

– условие, которое поясняет, что обозначают данные;

– вопрос – требование найти значение неизвестной величины.

Решить задачу, значит ответить на вопрос задачи. Решение задач предполагает:

– чтение ее условия;

– выявление в тексте условия и вопроса;

– выделение известных и неизвестных величин;

– установление связи между условием и вопросом, то есть между данными и между данными и искомыми величинами;

– анализ задачи, результатом которого является выбор арифметического действия;

– запись решения задачи (представление ситуации, отраженной в задаче в виде математического выражения);

– работа над задачей после ее решения (проверка решения; решение задачи другим способом, если возможно; изменение одного из данных задачи и его влияние на результат решения; составление задачи обратной данной и др.).

С точки зрения методики задачи делят на простые и составные.

Простая задача – задача, ответ на требование которой получают в результате выполнения одного арифметического действия.

В начальной школе решаются следующие виды простых задач на сложение и вычитание:

1. Задачи на нахождение суммы чисел и остатка от числа решаются первыми и раскрывают смысл арифметического действия. Формировать умение решать задачи этого вида целесообразно с иллюстраций действий (учитель берет в одну руку 2 тетради, затем в другую руку еще 3 тетради, сближает руки, спрашивая «Сколько всего тетрадей у меня в руках?» Действие сближения соотносится в сознании учащихся с арифметическим действием сложения) – так рассматривают несколько задач – действий.

Затем учащиеся самостоятельно по рисунку учебника составляют задачу на нахождение остатка от числа: «На озере плавали 5 утят. На берег выскочили 2 утенка. Сколько утят осталось плавать?»

2. Задачи на увеличение (уменьшение) числа на несколько единиц представлены задачами вида: «В саду посадили 4 дуба, а лип на 3 больше. Сколько посадили лип?» – решаются на основе предметной наглядности или чертежа, который строится на глазах учеников. В процессе разбора задачи учащиеся должны осознать, что «больше на несколько единиц» – это столько же и еще, меньше на несколько единиц – это столько же, но без.

3. Задачи на увеличение (уменьшение) числа на несколько единиц, одна из исходных величин которых выражена в косвенной форме. Например, «В классе 9 девочек, их на 4 больше чем мальчиков. Сколько в классе мальчиков?». При решении таких задач важно переформулировать условие задачи, осознав, что ''их на 4 больше, чем мальчиков'', означает, что мальчиков на 4 меньше. После того, как произойдет переформулировка условия задачи, делается иллюстрация в виде краткой записи или чертежа. Чертеж показывает, что мальчиков меньше чем девочек.

4. Задачи на нахождение неизвестного слагаемого: «В корзине лежало 3 подосиновика и несколько белых грибов. Всего в корзине 8 грибов. Сколько белых грибов в корзине?». Для решения задачи необходима запись краткого условия или построение чертежа. Учащиеся осознают, что белые грибы составляют часть грибов находящихся в корзине и придут к решению: 8 – 3 = 5.

5. Задачи на разностное сравнение чисел: «У Миши 6 кроликов, а у Гриши 4. На сколько кроликов у Миши больше, чем у Гриши? На сколько кроликов у Гриши меньше, чем у Миши?». Главной обучающей целью является обоснование выбора действия – почему задачи, в которых спрашивается на сколько одно число больше или меньше другого решаются путем вычитания из большего числа меньшего.

6. Задачи на нахождение неизвестных (уменьшаемого и вычитаемого): «В книге было несколько страниц. Когда 7 страниц прочитали, там осталось еще 13страниц. Сколько всего страниц в книге?». Для решения задач используется краткая запись или иллюстрация.

6.МЕТОДИКА ОБУЧЕНИЯ РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ НА ДВИЖЕНИЕ

К задачам на движение относят задачи, в которых речь идет о зависимости между величинами: скорость, время, расстояние, и которые не могут быть решены без знания характера зависимости между этими величинами.

Подготовительная работа начинается с осмысления учащимися понятий «расстояние», «время», а позднее «скорость». Работу по осознанию этих понятий следует начинать в первом классе, когда учащиеся наблюдают движение различных тел, замечают, что тела могут двигаться в одном направлении, догоняя или обгоняя друг друга, в противоположных направлениях, навстречу друг другу, в противоположных направлениях, одни тела могут двигаться быстрее, другие медленнее.

В соответствии с существующими программами, с понятием ''скорость движения'' учащиеся знакомятся в 4 классе.

Проводится практическая работа по осознанию понятия ''скорость'': учащиеся идут парами по заранее намеченному маршруту, в течение одной минуты, замеряют пройденное расстояние, затем в классе моделируют пройденное расстояние, приняв одну клетку за 10 м. Замечают, что каждая пара за одну минуту проходит разное расстояние. На вопрос учителя: ''Почему?'', отвечают: ''Одни двигались быстрее, другие медленнее''.

Учитель поясняет: ''Расстояние, пройденное движущимся телом за единицу времени (1 минуту, 1час), называют скоростью движения тела''.

Учащиеся отвечают на вопросы: ''Какова скорость движения каждой пары детей?'' (– 50м/мин., 70м/мин. …).

Учитель вывешивает таблицу «Некоторые средние скорости тел» или использует рисунки, данные на форзаце учебника, составляются и устно решают задачи на увеличение числа на несколько единиц, на кратное сравнение величин и др. Например, ''Скорость горного орла 30м/сек., а скорость ласточки на 6м/сек. меньше. Чему равна скорость ласточки?'' Решая аналогичные задачи, учащиеся осознают зависимость между скоростью, временем и расстоянием: чем больше скорость, тем большее расстояние пройдет движущееся тело за одно и тоже время. Закономерные связи между скоростью, временем и расстоянием рассматриваются на основе решения задач типа: ''Пешеход был в пути 4 часа и прошел за это время 20км. С какой скоростью двигался пешеход?''

Моделируется условие задачи с помощью чертежа и выясняется: сколько времени был в пути пешеход (– 4 ч.); какое расстояние прошел пешеход за это время (– 20 км)

20 км

Устанавливают, почему отрезок 20 км разделен на 4 равные части (за 4 часа пешеход прошел 20 км, значит за 1час пройдет в 4 раза меньше. Приходят к решению: 20 : 4 = 5(км/ч).

Делают вывод: чтобы найти скорость движения, нужно длину пройденного пути (расстояние) разделить на время, в течение которого пройдено данное расстояние. Иначе: чтобы найти скорость движения надо пройденное расстояние разделить на время движения.

Учитель просит показать на чертеже отрезок равный 5 км. Сколько раз по 5 км содержится в 20 км? (– 4 раза).

Следующим этапом работы над задачей является знакомство с решением задач на движение в противоположном направлении: а) когда тела начинают движение из одного пункта удаляясь друг от друга. Обязательно моделируется вид движения. Ученики становятся спиной друг к другу и по команде учителя начинают движение, один ученик к окну, другой к двери. Устанавливается: Как двигались ученики? (– Из одного пункта в противоположных направлениях.)

Учитель выполняет чертеж, обозначив буквой А пункт отправления, а буквами С и В соответственно пункты прибытия учеников (рис. 1).

А

С В А В

Рис. 1 Рис. 2

– Что произошло с расстоянием между учениками? (– Расстояние между учениками увеличилось.)

– Что обозначает длина отрезка АС? (– Расстояние, пройденное одним учеником.)

– Что обозначает длина отрезка АВ? (–– Расстояние, пройденное другим учеником.)

Учащиеся отмечают, что между учениками стало расстояние СВ = АС + АВ. Ситуацию, которую наблюдали ученики отражают в задаче: ''Два пешехода вышли из пункта А и пошли в противоположных направлениях, один со скоростью 5 км/ч, другой со скоростью 4км/ч. Какое расстояние стало между ними через час? Через 2часа?''

Учитывая работу над предыдущей задачей учащиеся находят, что через час между пешеходами стало 4 + 5 = 9 км, а через 2ч между ними будет: 9  2 = 18 (км). Обязательно следует обратить внимание учеников на другой способ решения задачи: 4  2 = 8 (км); 5  2 = 10 (км); 10 + 8 = 18 (км). Выясняется, какой способ более рациональный.

На этом же уроке моделируется движение тел в противоположных направлениях, когда движущиеся тела сближаются, двигаясь навстречу друг другу. Составляется задача: ''Из двух пунктов А и В одновременно навстречу друг другу вышли 2 пешехода. Один пешеход шел со скоростью 4км/ч, другой со скоростью 5км/ч. Какое расстояние пройдут пешеходы за 2 часа?''. Ситуация, изложенная в задаче, иллюстрируется построением чертежа, который происходит на глазах учеников (рис. 2).

Устанавливается, как движутся пешеходы (навстречу друг другу). Сколько километров в час проходит каждый пешеход?(Один – 4 км в час, другой – 5 км в час)

– Сколько часов пешеходы находились в пути? (– 2 часа).

– На сколько километров сблизятся пешеходы за один час? (– На 4 + 5 = 9 км).

– За 2 часа? (– На 9  2 = 18 км).

И, наконец, разбирается ситуация когда пешеходы вышли из одного пункта: ''В 7 часов утра из пункта А вышел пешеход со скоростью 4 км/ч. В 10ч утра в том же направлении из пункта А вышел другой пешеход со скоростью 6 км/ч. Через какое время второй пешеход догонит первого?''

Устанавливается, что к моменту выхода второго пешехода первый находился в пути: 10 – 7 = 3 (ч), и за это время прошел расстояние равное: 4  3 = 12 (км). Кроме того, устанавливается, что второй пешеход в каждый час догонял первого (сближался) на 6 – 4 = 2 (км).

Зная расстояние, пройденное первым пешеходом, до момента выхода второго, и, зная на сколько километров второй приближался к первому за один час, находим время через которое второй догонит первого: 12 : 2 = 6 (часов). Вводится понятие – ''скорость сближения'', равная разности скоростей.

7.МЕТОДИКА ОБУЧЕНИЯ РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ НА ПРОПОРЦИОНАЛЬНУЮ ЗАВИСИМОСТЬ ВЕЛИЧИН

Текстовая задача – это связный лаконичный рассказ, в котором даны значения определенных величин (исходные данные) и по ним предлагается найти неизвестные значения величин, находящиеся в определенной зависимости от известных.

В каждой задаче есть:

– числовые или буквенные данные;

– условие, которое поясняет, что обозначают данные;

– вопрос – требование найти значение неизвестной величины.

Решить задачу, значит ответить на вопрос задачи. Решение задач предполагает:

– чтение ее условия;

– выявление в тексте условия и вопроса;

– выделение известных и неизвестных величин;

– установление связи между условием и вопросом, то есть между данными и между данными и искомыми величинами;

– анализ задачи, результатом которого является выбор арифметического действия;

– запись решения задачи (представление ситуации, отраженной в задаче в виде математического выражения);

– работа над задачей после ее решения (проверка решения; решение задачи другим способом, если возможно; изменение одного из данных задачи и его влияние на результат решения; составление задачи обратной данной и др.).

Задачи на пропорциональную зависимость величин решаются в 3 – 4 классах. Они иллюстрируют понятие о функциональной зависимости между величинами.

Существует три вида задач с пропорциональными величинами:

1. Задачи на нахождение 4-го пропорционального: ''За 4 одинаковые чашки заплатили 120 руб. Сколько стоят 2 такие чашки?''

2. Задачи на пропорциональное деление: ''Купили в первый раз 6 одинаковых тетрадей, во второй раз – 4 таких же тетради. За всю покупку уплатили 60 р. Сколько стоит одна тетрадь?''

3. Задачи на нахождение неизвестной величины по 2-м разностям: ''В первый раз купили 6 одинаковых тетрадей, во 2-й раз 4 таких же тетради. За первую покупку уплатили на 12 р. больше чем за вторую. Сколько заплатили за каждую покупку в отдельности?''

Одним из наиболее распространенных видов задач, решаемых в начальной школе, являются задачи на нахождение 4-го пропорционального. Подготовкой к решению задач этого вида является знакомство с такими величинами как: масса, емкость, площадь; цена, количество, стоимость; скорость, время, расстояние и существующей зависимости между ними.

Следующим видом задач являются задачи на пропорциональное деление.

При решении задач данного вида обращается внимание на то, что в условии даны сумма двух значений одной величины (стоимости), поэтому находят сумму двух соответствующих значений другой величины (количества).

Следующий вид задач – это задачи на нахождение неизвестной величины по двум разностям.

Рассматривается задача: ''Маша купила на 2-е открытки больше, чем Катя и уплатила на 12 рублей больше, чем Катя. Сколько стоит одна открытка?'' Условие задачи моделируется графически с использованием отрезков

8.МЕТОДИКА ФОРМИРОВАНИЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ И ПОНЯТИЙ: «ТОЧКА», «ЛИНИЯ», «ПРЯМАЯ ЛИНИЯ», «КРИВАЯ ЛИНИЯ», «ОТРЕЗОК», «ЛУЧ»

В соответствии с новым ФГОС школ России, многообразием существующих программ обучения, в начальной школе происходит процесс накопления геометрических представлений и формирование таких геометрических понятий: точка, прямая линия, кривая линия, отрезок, ломаная линия (замкнутая, незамкнутая, звено ломаной), угол, виды углов (прямой, тупой, острый), формируются представления о таких геометрических фигурах как: многоугольник, треугольник, виды треугольников: по углам (прямоугольный, тупоугольный, остроугольный);по сторонам (равнобедренный, равносторонний, разносторонний), четырехугольник, квадрат, прямоугольник, круг, окружность и их элементы.

Учащиеся начальной школы овладевают навыками изображения геометрических фигур, изготавливают модели геометрических фигур, получают представления о некоторых фигурах и их свойствах: (прямоугольник как четырехугольник, у которого все углы прямые; квадрат как прямоугольник, у которого все стороны равны), знакомятся с признаками некоторых фигур: отрезок – часть прямой имеющей начало и конец; осознают свойство прямой линии – через 2 точки можно провести только одну прямую линию; прямая линия не имеет начала и не имеет конца, она бесконечна; длина ломаной линии осознается как сумма длин ее звеньев и др.

Формирование геометрических представлений и понятий проходит несколько этапов:

1) Выявление представлений и знаний о той или иной геометрической фигуре;

2) Первичное знакомство с геометрической фигурой (по представлению, на основе наблюдений, практической деятельности);

3) Выделение существенных признаков геометрической фигуры;

4) Моделирование и конструирование геометрической фигуры из определенного количества фигур;

5) Узнавание знакомого образа геометрической фигуры из множества предметов окружающей обстановки, на чертеже;

6) Разбиение множества геометрических фигур на классы: классификация фигур;

7) Деление фигур на части, проведение в ней определенным образом отрезков;

8) Построение простейших геометрических фигур на линованной и нелинованой бумаге (отрезок, угол, прямоугольник, треугольник);

9) Вычленение знакомого образа геометрической фигуры из совокупности фигур по существенным признакам;

10) Формирование навыков чтения геометрических фигур, с использованием буквенных обозначений;

11) Решение задач на вычисление длины ломаной линии, длины отрезка, периметра прямоугольника, многоугольника, нахождение площади квадрата, прямоугольника.

Система деятельности учителя при формировании понятий точка, прямая, отрезок может быть представлена следующим образом: учитель предлагает учащимся написать цифру 1, для этого они должны будут поставить точку (поставьте точку, отступив 2 клетки вправо и 2 клетки вниз); возьмите лист бумаги и поставьте на нем точку, отметьте ее красным карандашом. Так на уровне наблюдений и практической деятельности учащиеся получают представление о точке.

При формировании понятий прямая линия, кривая линия, отрезок, учитель, обращаясь к жизненному опыту младших школьников, предлагает вспомнить след летящего самолета, след падающего листа с дерева, след падения камня с крыши, след камешка ''бегущего по волнам'' и др., зафиксировать их в своем воображении и изобразить в тетради, на доске

– Как вы думаете, какие линии изображены на доске? (Волнистые, прямые, кривые).

Изображая какую-либо кривую линию на доске, учитель спрашивает: можно продлить ее вправо, влево

вверх, вниз и как надолго? Учащиеся осознают, что кривая линия не имеет начала и не имеет конца, она бесконечна.

– Поставьте две точки в тетради, проведите через них кривую линию (проводят каждый свою и рисуют на доске).

– Проведите еще одну кривую линию через эти две точки. (– Проводят.)

– Можно еще провести кривую линию через эти же две точки? (– Можно.)

– Проведите. (Выполняют.) Учитель уточняет, что через 2 точки проходит бесконечно много кривых линий.

Возьмите лист бумаги, поставьте на нем две точки, согните лист так, чтобы линия сгиба прошла через эти две точки (выполняют). Сколько линий получилось? (– Одна.)

– Проведите ее красным карандашом, попытайтесь провести еще одну прямую линию через эти же две точки. (– Не получается.) Делают вывод: через две точки проходит только одна прямая линия.

– Можно продолжить прямую линию вправо? (– Да.) – А влево? (– Можно.)

Учитель чертит на доске прямую линию, продолжая ее вправо и влево. Делают вывод – прямая линия бесконечна. Находят модель прямой линии в окружающей обстановке: обочина дороги, карниз и т.д.

Натягивая между двумя гвоздиками проволоку, дающую представление о прямой и вырезая ее кусок, учащиеся осознают, что отрезок – это часть прямой, что он имеет начало и конец, и, чтобы построить отрезок, можно воспользоваться линейкой, отрезок можно измерить, выразить длину отрезка числом, сравнивать длины отрезков.

Главное учащиеся должны осознать, что отрезок – геометрический образ, обладающий свойством ''быть частью прямой'', ''иметь начало и иметь конец'', а длина отрезка – физическая величина, обладающая свойством ''иметь протяженность'' и его длину можно выразить числом.

9.МЕТОДИКА ИЗУЧЕНИЯ АЛГЕБРАИЧЕСКОГО МАТЕРИАЛА В НАЧАЛЬНОМ КУРСЕ МАТЕМАТИКИ: ОБУЧЕНИЕ РЕШЕНИЮ УРАВНЕНИЙ; ФОРМИРОВАНИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ О ФУНКЦИОНАЛЬНОЙ ЗАВИСИМОСТИ

Уравнением с одной переменной называется высказывательная форма вида f(x) = g (x), где f (x) и g(x) – выражения с переменной х и областью определения Х. Значение переменной х из множества Х, при котором уравнение обращается в истинное числовое равенство, называется его решением (или корнем).

Решить уравнение – значит, найти все его корни или доказать, что их нет.

Рассмотрим обучение решению уравнений и формирование представлений о функциональной зависимости в программе ''Школа России''.

Подготовительная работа к ознакомлению с понятием ''уравнение'' начинается в 1 классе, когда учащиеся решают способом подбора примеры вида:  + 3 = 5;  – 2 = 6 и др.

Во 2 классе вместо ''окошка'' используют буквенную символику, знакомятся с термином ''уравнение'', решением простейших уравнений вида: х + 8 = 12; х – 9 = 11; 18 – х = 8; х  6 = 12; 42 : х = 7; х : 5 = 7. На этом этапе уравнения решаются способом подбора. Решая уравнение х + 8 = 12, ученик пробует подставить вместо х числа: 0, 1, 2, 3, 4 и др. Если сразу подобрано число (4), ученик должен доказать его правильность, подставив в уравнение вместо х число 4. – Почему х не может равняться 3? (– Если подставить число 3 вместо х, получится 11, а не 12.)

Методом подбора, на основании знания состава числа в пределах 20, находят неизвестное уменьшаемое (вычитаемое) в уравнениях: х – 9 = 11, 18 – х = 8.

Выполнив достаточное количество заданий, учащиеся сразу подбирают нужное число. Но в любом случае необходимо делать проверку.

Позднее уравнения решаются на основе взаимосвязи между компонентами и результатом арифметического действия. Работу следует организовать так, чтобы учащиеся сформулировали данные правила.

Решая уравнение х + 3 = 8, учитель говорит:

– Положите на парту столько кругов, сколько получилось, когда к неизвестному числу прибавили 3. Сколько кругов вы положили? (– 8.)

– Как получили число 8? (– К неизвестному числу прибавили 3.)

– Покажите 3 круга, которые прибавили к неизвестному числу. Отодвиньте их в сторону. Сколько кругов было сначала? (– 5 кругов.)

– Как узнали? (– Из количества всех кругов вычли 3 круга.)

– Какой неизвестный компонент действия сложения узнали? (– Первое слагаемое.)

– Как нашли неизвестное слагаемое? (– Из суммы 8 вычли известное второе слагаемое 3.)

Запись решения: х + 3 = 8, х = 8 – 3, х = 5. Проверка: 5 + 3 = 8, 8 = 8.

Решив несколько уравнений, учащиеся приходят к выводу: чтобы найти неизвестное слагаемое, надо из суммы вычесть известное слагаемое.

Аналогичная работа проводится по усвоению взаимосвязи между компонентами и результатом действия при вычитании, умножении и делении.

В теме «Числа, которые большие 1000» рассматривают уравнения более сложной структуры:

х + 90 = 230 – 80; х + 15 = 68 : 2; х – (78 + 360) = 2000 и др.

Для их решения необходимы знания правил порядка выполнения действий в выражении со скобками, а также умения выполнять простейшие преобразования выражений.

Сначала рассматриваются уравнения, в которых правая часть задается числовым выражением, типа: х + 25 = 50 – 14, решая которые учащиеся вычисляют значение выражения в правой части. После чего уравнение сводится к простейшему. Позднее предлагаются уравнения, в которых один из компонентов задан в виде числового выражения. Например: х + (60 – 48) = 20, (35 + 8) – х = 30.

Учатся читать такие уравнения с называнием компонентов (например, ''первое слагаемое неизвестно, второе слагаемое выражено разностью чисел 60 и 48, сумма равна 20'').

Чтобы прочитать уравнение таким образом, необходимо установить порядок действий, выделить действие, которое выполняется последним, вспомнить названия компонентов и результата этого действия.

Наиболее сложными являются уравнения, в которых один из компонентов выражение, содержащее неизвестное число, типа: (х + 8) – 13 = 15; 70 + (40 – х) = 96 и т. п.

При решении уравнений данной структуры приходится дважды применять правила нахождения неизвестных компонентов. Сначала необходимо найти, чему равно значение выражения, в составе которого находится неизвестное, а затем – выразить неизвестный компонент.

Обучение решению таких уравнений требует длительных упражнений в анализе выражений:

– следует прочитать уравнение;

– выяснить, чем выражен неизвестный компонент;

– знать правила нахождения неизвестного компонента уравнения.

В теме ''Многозначные числа'' решают уравнения, содержащие выражения с действиями первой и второй ступени. Методика работы аналогична предыдущей.

В начальной школе с помощью уравнений решаются задачи вида: ''Неизвестное число умножили на 7 и получили 42. Найдите неизвестное число'' и др.

Для решения задач с помощью составления уравнения обозначают буквой неизвестное число, выделяют в условии задачи связи, которые позволяют составить равенство, решают полученное уравнение.

С понятием ''функция'' в начальном курсе математики учащиеся не знакомятся, однако, выполняют задания, в которых рассматриваются различные функциональные зависимости между величинами, не вводится ни соответствующая терминология, ни символика. Внимание обращается только на взаимосвязи и отношения между данными.

С разнообразными функциональными зависимостями младшие школьники знакомятся при решении текстовых задач. В частности, осуществляется знакомство с прямой и обратной пропорциональностью (эти термины учащимся не даются).

Особую роль играют задачи раскрывающие зависимость между величинами: цена, количество, стоимость; скорость, время и расстояние (при прямолинейном, равномерном движении); производительность, время работы, общий объем работы.

Например: ''На одном станке можно изготовить за час 20 одинаковых деталей, а на другом за это же время – 30 таких же деталей. Сколько всего деталей будет изготовлено, если оба станка будут работать одновременно в течение двух часов?''

После решения задачи обращается внимание на то, что, хотя время работы обоих станков одинаковое (2 ч), на втором станке деталей изготовлено больше (60), чем на первом (40). Делают вывод: чем больше производительность, тем больший объем работы будет выполнен за тоже время работы (прямо пропорциональная зависимость).

10.МЕТОДИКА ИЗУЧЕНИЯ ОСНОВНЫХ ВЕЛИЧИН. ОЗНАКОМЛЕНИЕ С ПОНЯТИЕМ «ПЛОЩАДЬ ПЛОСКОЙ ФИГУРЫ»

В соответствии с ФГОС, существующими программами обучения в начальной школе рассматриваются такие величины как длина, масса, объем, площадь, временные представления. Эти величины являются скалярными.

Величина, каждое значение которой может быть выражено одним действительным числом, называется скалярной.

Величина – это некоторое свойство множества предметов или явлений. Величина – это такое свойство предметов или явлений, которое позволяет их сравнивать и устанавливать пары объектов, обладающих этим свойством в равной или неравной мере.

Понятие числа и величины являются базовыми понятиями начальной школы и отвечают практической потребности человека.

Изучение каждой из величин имеет свои методические особенности, однако можно выделить следующие общие этапы в методике изучения величин:

– выяснение и уточнение имеющихся у младших школьников представлений о конкретной величине (на основе дошкольного опыта);

– сравнение однородных величин (визуально, с помощью мускульных ощущений, путем наложения, с использованием мерок);

– знакомство с единицами измерения величины, шкалами, их устройством (в результате практической деятельности);

– формирование измерительных умений и навыков (дать представление о процессе измерения);

– сложение и вычитание величин выраженных в единицах одного наименования;

– перевод однородных величин выраженных в единицах одного наименования в единицы двух наименований и наоборот;

– сложение и вычитание однородных величин выраженных в единицах двух наименований;

– умножение и деление величины на число.

В начальной школе рассматриваются такие величины как длина, площадь, объем, время, масса.

Длина – величина, характеризующая протяженность, удаленность и перемещение тел или их частей вдоль заданной линии, то есть длина – физическая величина, которая обладает свойством иметь протяженность. Это свойство позволяет сравнивать пары объектов, устанавливать какой из них обладает данным свойством в большей или меньшей мере.

Длина отрезка прямой – расстояние между его концами, измеренное каким–либо отрезком, принятым за единицу измерения длины.

Площадь – величина, характеризующая геометрические фигуры на плоскости и определяемая числом заполняющих плоскую фигуру единичных квадратов, т. е. квадратов со стороной, равной единице длины.

Измерить площадь фигуры – значит узнать, сколько квадратных сантиметров она содержит.

Объем, вместимость – это величина, характеризующая геометрические тела, и определяемая в простейших случаях числом умещающихся в тело единичных кубов, то есть кубов с ребром, равным единице длины. Тела могут иметь одинаковые (о таких телах говорят, что они равновеликие) и разные объемы.

Масса – это физическая величина, являющаяся одной из основных характеристик материи, определяющая ее инерционные свойства. Масса однородного тела пропорциональна его объему, поэтому позднее, в средней школе вводится понятие плотности как массы единицы объема.

Сравнение масс тел, действий над ними сводится к сравнению и действиям над числовыми значениями масс при одной и той же единице измерения массы.

Время – величина, характеризующая последовательную смену явлений и состояний материи, характеризующая длительность их бытия. Календарь – система счета дней, месяцев, годов.

В математике время рассматривают как скалярную величину, так как промежутки времени обладают свойствами, похожими на свойство длины, площади, массы. Промежутки времени так же, как и другие скалярные величины можно сравнивать, складывать, вычитать, умножать и делить на положительное действительное число. Между величинами одного рода имеют место отношения: «больше», «меньше», «равно».

Ознакомление младших школьников с понятием «площадь плоской фигуры»

Площадь – величина, характеризующая геометрические фигуры на плоскости и определяемая числом заполняющих плоскую фигуру единичных квадратов, то есть квадратов со стороной, равной единице длины. Иначе говоря, площадь – это числовая характеристика, приписываемая плоским фигурам.

Знакомство учащихся с понятием «площадь» начинается с уточнения представлений учащихся о данной величине. Уже в 1 и 2 классах учащиеся имеют представление о площади, как о свойстве плоских геометрических фигур. Они осознают, что разные фигуры могут иметь одинаковые и различные площади. Этому способствует упражнения на вырезание фигур из бумаги, составление фигур из заданных частей, деление фигур на части.

Одним из приемов измерения площади плоских фигур, опирающимся непосредственно на определение площади, является измерение площади при помощи палетки.

Палетка – сетка квадратов, нанесенная на прозрачную пластинку. На этом этапе происходит знакомство с нахождением приближенного значения площади фигуры способом подсчета всех нецелых квадратных сантиметров, которые надо разделить на 2, и полученное число сложить с числом целых квадратных сантиметров, содержащихся в данной фигуре. Таким образом, приближенное значение площади фигуры равно сумме числа квадратов, которые целиком лежат внутри фигуры и половине числа квадратов, через которое проходит контур этой фигуры. Способ измерения площади плоских фигур при помощи палетки не точен.

Первая единица измерения площади, с которой знакомятся учащиеся – квадратный сантиметр. Это квадрат со стороной равной 1 см. Каждый ученик должен иметь модель квадратного сантиметра, пользуясь которой измеряют площади геометрических фигур. В результате измерения приходят к выводу, что измерить площадь фигуры – значит, узнать, сколько квадратных сантиметров она содержит. Выполнив несколько заданий на определение площади таких фигур, которые могут быть разбиты на квадраты и прямоугольники, подсчетом количества квадратов, содержащихся в данных фигурах, учитель предлагает определить известными им способами площадь крышки стола, что вызывает у учащихся определенные затруднения. Это приводит к сообщению о косвенных способах измерения площади фигуры.

Следующим этапом методики формирования площади плоской фигуры является знакомство учащихся с приемом вычисления площади прямоугольника (квадрата) косвенным путем, который заключается в измерении длины и ширины данных фигур и в нахождении произведения полученных чисел.

Знакомство младших школьников с квадратным дециметром происходит аналогично той системе методических действий, которая используется при знакомстве с квадратным сантиметром: учащиеся изготавливают квадратный дециметр, разбивают его на квадратные сантиметры, практически устанавливают, что 1 дм² = 100 см². Определяют площадь поверхности крышки стола, парты, подоконника и др., записывают результаты измерения: 30 дм²; 50 дм².

По аналогии с квадратным дециметром вводится новая единица площади – квадратный метр.

Соотношение между единицами измерения площади отражается в таблице: 1 дм² =100см²; 1 м²=100 дм²; 1 м² = 1000 см², которая заучивается и закрепляется в процессе выполнения практических заданий типа:

Вырази величины: 1) в квадратных дециметрах 8 м², 200 см²; 2) в квадратных сантиметрах 5 м²; 8 дм²; 35 дм².

Для формирования представлений о квадратном миллиметре используют миллиметровую бумагу. Определяют, что 1 см² = 100 мм² и выражают величины в квадратных миллиметрах.

Ознакомление младших школьников с такими единицами измерения площади, как ар и гектар, является наиболее трудным.

Формирование представлений о земельных мерах ар и гектар проводится на открытой местности. Под руководством учителя, используя вешки, рулетку, веревку, экер ''строят'' участок, равный одному ару.

Ар – это квадрат со стороной 10 м. Записывают сокращенно: 1 а, 68 а (точка после сокращения не ставится).

Аналогично ''строится'' гектар – квадрат со стороной 100 м, вычисляется площадь участка в 1 га. Записывают: 1 га = 100 м  100 м = 10000 м²

В заключение изучения темы ''Площадь'' составляют таблицу единиц измерения площади, которую заучивают.

1 см² = 100 мм 1 га = 100 а 1 а = 10 000 дм² и т.д.

Знание отношений между единицами измерения площади способствует решению заданий, связанных с переходом одних единиц измерения площади в другие, решению задач на сравнение величин, выполнение арифметических действий над величинами. Сначала арифметические действия над величинами, связанными с понятием ''площадь'', рассматриваются параллельно с изучением единиц измерения площади в процессе решения текстовых задач типа:

1) ''На 6 одинаковых пар ботинок расходуют 24 см² кожи. Сколько квадратных дециметров кожи нужно для 18 пар таких же ботинок?'' При решении задачи происходит деление величины на число: 24 см² : 6 = 4 см² и умножение величины на число: 4 см²  18 = 72 см^2..

Анализ содержания учебника (''Математика'', программа ''школа России'') показал, что действия над величинами, связанные с понятием ''площадь'' рассматриваются во втором полугодии 4-го года обучения.

1. ПРОАНАЛИЗИРУЙТЕ РАЗНОУРОВНЕВЫЕ ДОМАШНИЕ ЗАДАНИЯ ПО МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ УЧАЩИХСЯ 3 ГРУПП ПО ТЕМЕ «РЕШЕНИЕ СОСТАВНЫХ ЗАДАЧ».

Задания даются на карточках. Задача одинаковая, чтобы проверить именно базовый уровень у всех учеников. Задания даются для разных групп детей.

Разноуровневые задания – это новый подход к организации работы как самостоятельной так и коллективной. В школу дети приходят с разным запасом знаний, с разным потенциалом. Одна из причин нежелания учиться заключается в том, что школьнику со слабыми способностями предлагается задание, к которому он еще не готов, а сильный ученик быстро справившись с заданием скучает. У каждого ребенка должна быть возможность выбора задания по силам, исходя из индивидуальных особенностей детей, было введено поуровневое обучение. Это одно из условий стандарта. Задания педагог подбирает так, что при единой познавательной цели и общем содержании они отличаются разной степенью трудности. Задания должны быть составлены, таким образом, что к достижению единой цели учащиеся идут разными путями. При выполнении 1 уровня ученик закрепляет базовые знания. Второй уровень – уровень повышенной сложности, он предполагает не только выполнение заданий на отработку учебного материала, но и развитие речи, логического мышления. Третий – творческий уровень предполагает исправление ошибок, развитие речи и логического мышления.

1 группа- реши задачу ( базовый уровень), 2 группа – реши задачу, измени условие ( повышен уровень), 3 группа - решить задачу, составить задачу, основываясь на эту или может быть дана схема ( творческий уровень).

Важно придерживаться дифференцированного подхода к домашним заданиям.

2. ОПРЕДЕЛИТЕ ВИДЫ НАГЛЯДНОЙ ИЛЛЮСТРАЦИИ, КОТОРЫЕ СЛЕДУЕТ ИСПОЛЬЗОВАТЬ В ПРОЦЕССЕ ОБУЧЕНИЯ РЕШЕНИЮ ТЕКСТОВОЙ ЗАДАЧИ. РЕШИТЕ ЕЕ. УКАЖИТЕ ВИДЫ ПРОСТЫХ ЗАДАЧ, ВХОДЯЩИХ В ДАННУЮ СОСТАВНУЮ.

Дается текстовая задача. На одном участке 18 рядов деревьев, на другом участке 14 рядов. Всего посадили 1152 дерева. Сколько деревьев на каждом участке?

При решении данной задачи оптимальным видом наглядной иллюстрации является таблица, отражающая зависимость пропорциональных величин.( Чтобы дети видели связи между величинами)

Решение: 1)18+14=32(р.) – на двух участках (задача на нахождение суммы) ; 2)1152:32=36(д.) – в одном ряду (деление на равные части);

3)18*36=648 (д.) – на 1 участке;

4) 14*36=504(д.) – на 2 участке- задачи на нахождения произведения.

Ответ: на первом участке 648 дерева, а на втором участке 504 дерева.

Составная задача на пропорциональное деление. Виды простых: задача на нахождение суммы (первое действие), деление на равные части (второе), на нахождение произведения (третье и четвертое)

Если нужно будет узнать, сколько рядов, то деление по содержанию.

3. ПРОАНАЛИЗИРУЙТЕ ФРАГМЕНТ КОНСПЕКТА ВНЕКЛАССНОГО МЕРОПРИЯТИЯ ПО МАТЕМАТИКЕ НА ТЕМУ: «ЧАС, МИНУТА. МЕРЫ ВРЕМЕНИ У ДРЕВНИХ НАРОДОВ. ИЗМЕРИТЕЛЬНЫЕ ПРИБОРЫ».

Внеклассная работа необходима по предмету, чтобы помочь педагогу сформировать интерес к дисциплине. Фрагмент содержит историческую справку – это интересно, познавательно. Представлена межпредметная связь (мат-ки с окруж. миром), что позволяет более полно сформировать представление о мире.

После анализа сказать, для чего давалось это мероприятие, высказать свое мнение, предложить свои задания. (Я считаю, что конспект мероприятия……. Я бы организовала мероприятие, таким образом (проект).

Помимо познавательного материала представлена информация на отработку навыков. Материал про геометрич фигуры – отработка навыков.

4. НА ОСНОВЕ ФРАГМЕНТА КОНСПЕКТА УРОКА ПО МАТЕМАТИКЕ ПРОАНАЛИЗИРУЙТЕ ЦЕЛЕСООБРАЗНОСТЬ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ.

Знакомство с числовыми выражениями (запись действия без ответа).

Могут быть буквенные, числовые или смешанные выражения.

Помогли ли слайды усвоить материал, целесообразно ли было использование презентации на уроке?

Рассказать целесообразность каждого слайда. (1- наименование темы и класс, 2- ... помогает

Тема сложная, слайды усложняют тему т.к. 3+4, а картинка 4+3.

Материал изображается по усложнению на слайдах или нет?

(1 задание на репродуктивную деят-ть (вопрос, ответ). Сказать крупно/мелко, цвет, размер, лишние картинки, 2 - перенос знаний в новую ситуацию.

5. ПОКАЖИТЕ ВОЗМОЖНОСТИ РЕАЛИЗАЦИИ ГРУППОВОЙ ФОРМЫ РАБОТЫ В ПРОЦЕССЕ УЧЕБНОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ УЧАЩИХСЯ НА ОСНОВЕ КОНСПЕКТА ФРАГМЕНТА УРОКА ПО МАТЕМАТИКЕ.

Разные группы получают одинаковое задание: «Вычислить площадь фигуры (отпечатка, оставленного обувью)» (каждая группа получает разные фигуры). Данное задание полностью обеспечивает взаимозависимость членов группы. При его выполнении ученики связаны: а) единым результатом — выполнить задание; б) общими ресурсами — один лист на группу; в) распределением ролей — каждый участник отвечает за свой участок работы, но согласует его с остальными; г) общей оценкой.

Работа в группах построена следующим образом: сильный ученик непосредственно отвечает на вопросы и руководит работой группы; слабый находит подтверждение его ответов в тексте; два других ученика работают следующим образом: один записывает ответы на лист бумаги, другой читает текст.

Обладая разной обучаемостью, интересами и работоспособностью, такие ученики дополняют друг друга. Сильные ученики в этом случае успевают не только сами выполнить свою часть работы, но и оказать помощь товарищам, наблюдать за их работой, предупредить появление у них ошибок. В результате они и сами глубже проникают в материал. Для того чтобы способствовать формированию адекватной самооценки каждого ученика и создать условия для его самоопределения, участники группы сами выбирают роли, в которых может побывать каждый член группы (лидером или исполнителем, или критиком).

Дети все делают сами, учитель только направляет.

6. КАКИЕ КЛЮЧЕВЫЕ КОМПЕТЕНЦИИ ФОРМИРУЮТСЯ У МЛАДШИХ ШКОЛЬНИКОВ В ПРОЦЕССЕ ИЗУЧЕНИЯ ТЕМЫ: МНОГОУГОЛЬНИК. ПЕРИМЕТР МНОГОУГОЛЬНИКА».

Компетенции – умения, которыми мл.школьник может хорошо пользоваться.

Предложенный фрагмент урока по изучению геометрического материала направлен на формирование и развитие у младших школьников следующих компетенций:

- умения работать самостоятельно без постоянного руководства учителя; умения осуществлять анализ геометрической фигуры, используя приобретенные ранее знания;

– умения обосновывать свои действия, делать простейшие логические выводы, мотивировать увиденное;

– сопоставлять и обобщать свойства геометрических фигур, овладевать знаковой системой (способом обозначения геометрических фигур буквами);

– умением выделять существенные признаки геометрической фигуры, моделировать и конструировать геометрические фигуры из совокупности фигур, разбивать множество геометрических фигур на классы;

– строить простейшие геометрические фигуры;

– видеть знакомые образы геометрических фигур в совокупности фигур и находить их по существенным признакам;

– читать геометрические чертежи с использованием буквенных и числовых обозначений;

– решать практические задачи по измерению длин отрезков, вычислять периметр многоугольника и находить площади прямоугольника, квадрата, фигур, составленных из прямоугольников, квадратов и др.

7. ПРОАНАЛИЗИРУЙТЕ ОСОБЕННОСТИ ИЗУЧЕНИЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ЛИНИИ, ПРЕДСТАВЛЕННОЙ В УЧЕБНИКАХ «МАТЕМАТИКА» СИСТЕМЫ ОБУЧЕНИЯ Л. В. ЗАНКОВА.

Геометрический материал занимает значительное место в программе по математике системы обучения Л.В.Занкова. Геометрическая линия усилена за счет того, что много времени отводится на изучение объемных фигур. В других комплектах этого нет.

Увеличение объема геометрического материала в начальных классах связанно с рассмотрением объемных фигур, что позволяет эффективно подготовить учеников к изучению систематического курса геометрии, который вызывает у школьников старшего звена существенные трудности.

Особое место в программе занимает знакомство с различными геометрическими фигурами, их сравнением, классификацией, выделением свойств, присущих той или фигуре. Увеличение объема геометрической составляющей объясняется не стремлением нагрузить сознание и память ребенка, а стремлением сформировать целостную систему признаков, которая позволит для каждого нового геометрического объекта дать его определение.

Одним из важных положений, используемых в данной методике, является самостоятельное выполнение детьми предлагаемых заданий. Последовательность заданий строится так, что ученики должны сами прийти к новому знанию в результате самостоятельной практической и интеллектуальной работы. Например, измерение длины. Первым этапом в изучении является знакомство с понятием «отрезок», затем предлагаются задания, в результате выполнения которых делается вывод, что отрезок – кратчайшее расстояние от одной точки до другой (основанием для такого вывода является простое восприятие при разборе различных ситуаций). Следующий шаг- сравнение отрезков. В процессе выполнения заданий дети убеждаются, что отрезки бывают различной длины и знакомятся с различными способами сравнения длин отрезков.

В первом классе учащиеся знакомятся с основным свойством прямой: через две точки можно провести одну и только одну прямую, ее бесконечностью и основным отличием отрезка от прямой – его ограниченностью.

Учебник знакомит учащихся с разными способами художественного изображения трехмерности (светотень, перспектива, искривление линий).

8. ПРОАНАЛИЗИРУЙТЕ ФРАГМЕНТ КОНСПЕКТА УРОКА ПО МАТЕМАТИКЕ С ТОЧКИ ЗРЕНИЯ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ МЕТОДА ПРОБЛЕМНОЙ СИТУАЦИИ ПРИ ОБЪЯСНЕНИИ НОВОГО МАТЕРИАЛА.

Проблемная ситуация – ситуация, при которой мл.школьник сталкивается с тем, что ему не хватает знаний, чтобы решить проблему.

Задачи учителя при реализации проблемной ситуации:

- не подсказывать ученикам, они отвечают сами.

- помочь правильно поставить проблему.

- организовать решение проблемной ситуации, направить.

При ведении данного урока «Деление с остатком» нужно подвести школьников к новому материалу.

Для этого нужно вызвать 5 учеников и раздать им 27 тетрадей. (Дети понимают, что осталось)

Затем делают примерные записи.

Т.е. дано задание, которое они не смогли сделать. И эту проблемную ситуацию они должны решить самостоятельно. Учитель лишь направляет вопросами.

Показать деление с остатком с различных позиций:

-практическая

-пример

-схематически

При этом дети должны усвоить, что остаток должен быть не больше делителя.

Формирование регулятивных УУД происходит, когда задается вопрос: Кто выполнил задание верно? (один разделил так, другой по-другому)

Важно следить, чтобы заданий было не слишком много для решения проблемной ситуации.

9. ПРОАНАЛИЗИРУЙТЕ ОТДЕЛЬНЫЕ ЭТАПЫ УРОКА С ТОЧКИ ЗРЕНИЯ РЕАЛИЗАЦИИ МЕЖПРЕДМЕТНЫХ СВЯЗЕЙ МАТЕМАТИКИ С ОКРУЖАЮЩИМ МИРОМ.

Реализация межпредметных связей математики и окружающего мира позволяет:

– целостно воспринимать учебные предметы естественно-научного цикла;

– глубже осознавать содержание учебных предметов в их взаимосвязи;

– овладевать общеучебными умениями и навыками, необходимыми в условиях учебной деятельности по любому предмету;

– более рационально и эффективно использовать учебное время;

– использовать исследовательский потенциал, интерес к познанию окружающего мира.

Природоведческая тематика представленного материала является «сквозной», что придает фрагменту урока целостный характер, усиливая междисциплинарные связи дисциплин математики и окружающего мира, и вместе с тем, является стимулом мотивации познавательного интереса. Вся система заданий объединена одной темой и нацелена на облегчение повторения ключевых тем и на развитие познавательного интереса на основе связи содержания учебного материала с жизненным опытом. Важно отметить, что задания такого рода позволяют воспитывать у учащихся способность воспринимать эстетическую красоту математических отношений, чувство меры, четкость, аккуратность, уважительное отношение к трудовой деятельности и ее результату.

Кроме того следует отметить, что использование межпредметных связей позволяет реализовать в данном фрагменте принцип систематичности и последовательности, который нашел свое отображение в определении имеющегося у обучаемых уровня знаний и их актуализации, доступности и привлекательности предлагаемого материала, выделении существенных аспектов изучаемого материала. Опираемся на жизненный опыт – потом переходим на математику.

10. ПРОАНАЛИЗИРУЙТЕ ВЫБОР ТЕМ, ПРЕДЛОЖЕННЫХ ДЛЯ РЕАЛИЗАЦИИ ПРОЕКТНОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ УЧЕНИКАМИ НАЧАЛЬНОЙ ШКОЛЫ.

Проектная деятельность – деятельность школьника, при которой он имеет знания, пропускает через себя и выдает свой результат.

В рамках темы изучения геометрической линии начального курса математики для организации проектной деятельности младших школьников можно предложить следующие направления исследования:

- Составьте книгу дидактических математических сказок, рассказывающих о каких-либо геометрических фигурах и об их свойствах.

- Составьте коллекцию геометрических орнаментов из прямоугольников, квадратов треугольников для их использования на уроках математики в 1 классе.

- Представьте макет старинного замка, созданный с использованием объемных геометрических тел.

В процессе изучения темы «Табличные случаи умножения однозначных чисел» можно предложить выполнить проект контрольной работы (составьте варианты 3-х заданий для контрольных работ, среди которых одно – на проверку вычислительных навыков, второе – решение задачи, третье – решение уравнения).

Для закрепления умения решать задачи, развития логического мышления, систематизации и обобщения материала по теме можно предложить выполнение проекта «Нестандартные задачи».

При изучении темы «Время. Единицы времени» можно предложить учащимся изучить различную познавательную литературу и составить «Ленту времени часов», подготовить презентацию о всевозможных видах часов от водяных до электронных, их появлении, о знаменитых часах ( Кремлевских часах, часах на башне Биг-Бен в Англии, Часах в Дубаи и др.)