Математические задачи Древней Руси

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

«Лицей» города Абакана

Математические задачи Древней Руси

Абакан 2017

Содержание 2

Введение 3

1. Возникновение систем счисления 4

2. Способы счета на Руси 4

3. Развитие систем счисления на Руси 5

4. Старинные задачи 7

5. Задачи с дробными числами. 9

Заключение 13

Список используемой литературы 14

С детского сада мы начинаем изучать числа, буквы русского языка, никогда не задумываясь, откуда они взялись, кто их придумал. Недавно я задалась вопросом, а как писали числа и считали раньше? С чего начиналась математика? Какие задачи решали наши предки? Эти вопросы всегда волновали меня. Поэтому я решилась на поиски первой системы счисления и исследование методов и способов решения задач Древней Руси.

Цель работы: создание мини-сборника математических задач Древней Руси.

Предмет исследования: задачи Древней Руси.

Объект исследования: математические знания Древней Руси.

Для реализации поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

• изучить историю возникновения науки математики в Древней Руси;

• показать значимость древнерусских математических задач;

• составить мини-сборник древнерусских математических задач;

• оценить эффективность применения древнерусских математических задач на внеурочном занятии математики

Практическая значимость: эти знания можно использовать на уроках истории и математики в младших, а также пятых и шестых классах.

Актуальность: знание истории математики помогает лучше ее познать и изучить.

С древнейших времён перед людьми стояла проблема обозначения числовой информации.

Маленькие дети показывают свой возраст на пальцах. Лётчик сбил самолёт, ему за это рисуют звёздочку, Робинзон Крузо считал дни зарубками.

Числом обозначали некоторые реальные объекты, свойства которых были одинаковы. Когда мы что-то считаем или пересчитываем, мы как бы обезличиваем предметы, т.е. подразумеваем, что их свойства одинаковы. Но самым главным свойством числа является наличие объекта, т.е. единица и его отсутствие, т.е. ноль.

Сначала люди  просто различали ОДИН предмет перед ними или нет. Если предмет был не один, то говорили МНОГО.

Первыми понятиями математики были "меньше",  "больше",  "столько же". Если одно племя меняло пойманных рыб на сделанные людьми другого племени каменные ножи, не нужно было считать, сколько принесли рыб и сколько ножей. Достаточно было положить рядом с каждой рыбой по ножу, чтобы обмен между племенами состоялся.

Счет появился тогда, когда человеку потребовалось сообщать своим соплеменникам о количестве найденных им предметов.

И, так как многие народы в древности не общались друг c другом, то у разных народов возникли разные системы счисления и представления чисел и цифр.

Одним из способов счета на Руси были пальцы. Чтобы считать на ногах люди ходили босиком. С их помощью можно было считать от 1 до 10, а по суставам и до 12. Пальцевой счет сохранился кое-где и поныне. Например, на крупнейшей мировой хлебной бирже в Чикаго предложения и запросы, как и цены объявляются маклерами на пальцах без единого слова.

Запоминать большие числа было трудно, поэтому к «счетной машине» рук и ног стали добавлять различные приспособления. Появилась потребность в записи чисел. Люди стали делать зарубки на дощечках, глине, камнях, делали узелки на веревках.

Чем больше зерна собирали люди со своих полей, чем многочисленнее становились их стада, тем числа более высокого порядка становились им нужны.

 Единичная запись для таких чисел была громоздкой и неудобной, поэтому люди стали искать более компактные способы обозначать большие числа.

В старину на Руси широко применялись системы счисления, напоминающие систему счисления Древнего Египта.

  С их помощью сборщики податей заполняли квитанции об уплате подати (ясака) и делали записи в податной тетради.

В IX веке монахами братьями Кириллом и Мефодием была создана новая нумерация, кириллическая, вместе со славянской алфавитной системой для перевода священных библейских книг. Эта форма записи чисел получила большое распространение в связи с тем, что имела полное сходство с греческой записью чисел. До XVII века эта форма записи чиcел была официальной на территории современной России, Белоруссии, Украины, Болгарии, Венгрии, Сербии и Хорватии. До сих пор в православных церковных книгах используется эта нумерация.

Записывались цифры числа начиная с больших значений и заканчивая меньшими, слева направо. Если десятков, единиц, или какого-то другого разряда не было, то его пропускали. Интереснее всего записывались числа второго десятка. Для того чтобы не перепутать буквы и цифры, использовались титла - горизонтальные черточки над числами. Для обозначения больших, чем 900 чисел использовались специальные значки, добавляемые к букве.

Кириллическая нумерация использовалась до 1704 года и была заменена Петром I во время денежной реформы на арабскую или десятеричную позиционную систему. К ней в 1985 году была добавлена метрическая система мер, используемая до настоящего времени.

Так же я провела опрос среди подростков 13-16 лет на тему:

1. Какими цифрами мы пользуемся в современном мире?

2. Где появились цифры, которыми пользуемся в современном мире? В опросе приняли участие 25 подростков.

На первый вопрос большинство ответило правильно. Мы пользуемся арабскими цифрами.

На второй вопрос большинство дало неверный ответ. На самом деле арабские цифры пришли к нам из Индии.

Рассмотрим особенности ряда математических задач Древней Руси и возможные способы их решения в современной практике решения задач.

В большинстве русских математических рукописей и печатных книг старого времени встречаются занимательные задачи. Такие задачи есть и в “Арифметике” Л. Ф. Магницкого.

Задача №1

“Некий человек нанял работника на год, обещав ему дать рублев и кафтан. Но тот, проработавмесяцев, восхотел уйти и просил достойной платы с кафтаном. Он же (хозяин) дал ему по достоинству расчет рублев и кафтан, и знать надлежит, какой цены оный кафтан был”.

Решение:

I способ.

Работник не получил 12 – 5 = 7 (руб.) за 12 – 7 = 5 (месяцев),

поэтому за один месяц ему платили 7:5 = 1,4 (руб.), а за 7 месяцев он получил 7 ·1,4 = 9,8 (руб.), тогда кафтан стоил 9,8 – 5 = 4,8 (руб.).

II способ.

Пусть x руб. — стоимость кафтана.

Алгебраическое решение задачи приводит к уравнению, применяя основное свойство пропорции.

(x + 12):12 = (x + 5):7

х = 4,8 . Итак, кафтан стоил 9,8 – 5 = 4,8 (руб).

Задача №2

Говорит дед внукам: «Вот вам 130 орехов. Разделите их на 2 части так, чтобы меньшая часть, увеличенная в 4 раза, равнялась бы большей части, уменьшенной в 3 раза». Как разделить орехи?

I способ.

Пусть x орехов в меньшей части.

Алгебраическое решение задачи приводит к уравнению

4х:1=(130-х):3

х = 10.

Итак, меньшая часть должна содержать 130:13=10 орехов,

а большая 130 — 10 = 120 орехов.

Задача №3

Двое ели сливы. Один сказал другому. «Дай мне свои две сливы, тогда будет у нас слив поровну»,— на что другой ответил: «Нет, лучше ты дай мне свои две сливы, — тогда у меня будет в два раза больше, чем у тебя». Сколько слив было у каждого?

I способ.

Так как передача двух слив уравнивает число слив у собеседников, то у одного из них на четыре сливы больше, чем у другого.

Если же человек, у которого слив меньше, две сливы отдаст человеку, у которого их больше, то разница увеличится до 8 слив.

Поскольку второй человек тогда будет иметь слив в два раза больше, то ясно, что у одного из них после передачи будет 8 слив, а у другого 16 слив.

Следовательно, до передачи двух слив у одного было 10 слив, а у другого было 14 слив.

I способ.

Пусть (x) слив было у первого собеседника, а (у) слив у второго.

Алгебраическое решение задачи приводит к системе уравнений

х + 2 = у – 2,

2(х - 2) = у+2.

х = 10, у = 14.

Исходя из решения системы уравнений, получаем, что до передачи двух слив у одного было 10 слив, а у другого было 14 слив.

Задача №4

Идет корабль по морю, на нем мужеска полу и женска 120 человек. Найму дали 120 гривен, мущины дали по 4 алтына, а женщины дали по 3 алтына с человека. Сколько мужеска полу было и женска порознь? (Гривна, гривенник – десять копеек, алтын равнялся трем копейкам).

I способ.

(1200-120*9):(12-9)=40 (мужчин)

120-40=80 (женщин)

Ответ: 40 мужчин, 80 женщин.

  В XV – XVI столетиях учение о дробях приобретает уже знакомый нам теперь вид и оформляется приблизительно в те самые разделы, которые встречаются в наших учебниках.

Следует отметить, что раздел арифметики о дробях долгое время был одним из наиболее трудных. Недаром у немцев сохранилась поговорка: «Попасть в дроби», что означало – зайти в безвыходное положение. Считалось, что тот, кто не знает дробей, не знает и арифметики.

В русских рукописных арифметиках XVII века дроби называли долями, позднее «ломаными числами». В старых руководствах находим следующие названия дробей на Руси:

В ходе развития математики было замечено, что самыми удобными для вычисления являются десятичные дроби. С XVII – XVIII в. они получили всеобщее распространение, особенно после создания и введения в большинстве стран метрической системы мер.

При сравнении дробей с одинаковыми знаменателями делили что-то целое на заданное количество частей и сравнивали нужное количество частей первой и второй дробей.

При сравнении дробей с одинаковыми числителями рассуждали так: чем на большее количество частей делим одно и тоже число, тем меньше получается дробь. В различных книжных пособиях я нашла интересные задачи, которые были использованы в различные исторические периоды.

Задача №1:

Решив все свои сбережения поделить поровну между всеми сыновьями, некто составил завещание. «Старший из моих сыновей должен получить 1000 рублей и восьмую часть остатка; следующий – 2000 рублей и восьмую часть нового остатка; третий сын – 3000 рублей и восьмую часть следующего остатка и т.д.»

Вопрос: Определите число сыновей и размер завещанного сбережения.
Решение: так как все сыновья получили поровну, то восьмая часть каждого нового остатка была на 1000 рублей меньше восьмой части предыдущего остатка, а, значит, весь новый остаток был на 8000 рублей меньше предыдущего. Так как по условию, все деньги были поделены полностью, то, когда младший сын получил по завещанию, кроме нескольких тысяч рублей, ещё восьмую часть остатка, этого остатка не оказалось. Но тогда предыдущий остаток 8000 рублей. Из него предпоследний сын получил восьмую часть, равную 1000 рублей, а остальные 7000 рублей получил младший сын, который, таким образом, был седьмым сыном: сыновей было семь, а завещанная сумма 49000 рублей.

Задача №2:

От числа одну восьмую

Взяв, прибавь ты к ней любую

Половину от трехсот,

И восьмушка превзойдёт

Не чуть-чуть – на пятьдесят

Три четвёртых. Буду рад,

Если тот, кто знает счёт,

Мне число то назовёт.

Решение: тот, кто знает счёт, составит уравнение

Ответ. 160.

Это интересно…

Изучая различную литературу, я решила составить подборку старинных математических задач и предложить одноклассникам.

В итоге мы выяснили, что счет палочками неудобен т.к. им нельзя было обозначать большие числа. К примеру, нельзя было посчитать большое стадо овец или коров, большое кол-во мешков с зерном и т.д. Поэтому ее заменили на Египетскую систему, но и это было неудобным из-за громоздкости записи, хотя эта система счисления и была удобна. Позже создали славянскую систему счисления и использовали ее из-за сильного сходства с греческой нумерацией. Использовали ее до тех пор пока Петр I не привез в Российскую Империю арабскую систему счисления, которую мы используем до сих пор.

Запись чисел в настоящее время разительно отличается от того, как начинали писать считать наши предки. Она перетерпела множество изменений и реформ. Я считаю, что мы должны это знать, помнить и уважать.

Проведенная работа интересна и познавательна и для любителей истории и для любителей математики. Я ближе познакомилась со старинным русским счетом, со старинными русскими задачами. Выявила связь между способами решения старинных математических задач и сопоставила древнерусские математические задачи с современной математикой. Анкетные данные показывают, что подрастающее поколение недостаточно знакомо со старинными системами счета, а значит актуальна тема исследования.

История математических задач – это история торговли, ремесел, сельского хозяйства и строительства, а в конечном итоге – это часть истории человечества. Подводя итог работы, прихожу к выводу об актуальности данной темы. Как появилась математика, как изменялась, что несла народам и как влияла на их жизнь? Это интересно и сегодня.

Плох тот народ, который не помнит,

Не ценит и не любит своей истории

В.М. Васнецов

1. [электронный ресурс] - http://wikii.ru/publ/obo _vsem/sistema_schislenija_ drevnej_rusi/28-1-0-2073

2. [электронный ресурс] - https://ru.wikipedia.org/wiki/Система_счисления

3. [электронный ресурс] - http://www.liveinternet.ru/ users/ 2614890/ post 212824386

4. [электронный ресурс] - http://www.docme.ru/doc/454676/schet-v-drevnej-rusi

5. [электронный ресурс] - http://www.hintfox.com/article/storija-vozniknovenija-chisel-i-sistemi-schislenija.html

6. [электронный ресурс] - https:// ru.wikipedia.org/ wiki/ Кириллическая _ система_счисления

7. [электронный ресурс] - http://number-systems.3dn.ru/index/slavjanskaja_sistema_schislenija/0-18

8. [электронный ресурс] - http://egyptopedia.info/s/1153-egipetskaya-sistema-schisleniya

9. [электронный ресурс] - http://edu.glavsprav.ru/info/nepozicionnyje-sistemy-schisleniya

10. [электронный ресурс] - http://www.bolshoyvopros.ru/questions/78782-gde-byli-pridumany-arabskie-cifry.html

11. [электронный ресурс] - http://fb.ru/article/138490/skolko-arabskih-tsifr-suschestvuet-na-segodnyashniy-den-istoriya-poyavleniya

14