Математика Конус

Конус

Подготовила Лебедева Евгения 21НК

Конус это…

• Конус — геометрическое тело в евклидовом пространстве, которое можно получить путем объединения каждого луча, который исходит из одной точки (вершина конуса) и которые проходят через плоскую поверхность. Бывает, конусом называется часть тела, которая имеет ограниченный объём и которая получена путем объединения каждого отрезка, которые соединяют вершину и точки плоской поверхности. Последняя, в таком случае, является основанием конуса, а конус называется опирающимся на данное основание.
• Когда основание конуса является многоугольником – это уже пирамида.

История

• Конус– сосновая шишка. Конус знаком людям с глубокой древности. В 1906 году была обнаружена книга «О методе», написанная Архимедом (287-212 гг. до н. э.), в этой книге дается решение задачи об объеме общей части пересекающихся цилиндров. Архимед говорит, что это открытие принадлежит древнегреческому философу Демокриту (470-380 гг. до н.э.), который с помощью данного принципа получил формулы для вычисления объема пирамиды и конуса.

• Конус называется прямым, если прямая, которая соединяет вершину конуса с центром основания, перпендикулярна плоскости основания.

• Высотой конуса называется перпендикуляр, опущенный из его вершины на плоскость основания.

• Сечение конуса плоскостью, проходящей через образующую конуса и перпендикулярная осевому сечению, проведённому через эту образующую, называется касательной плоскостью конуса.
• Плоскость, перпендикулярная оси конуса, пересекает конус по кругу, а боковую поверхность – по окружности с центром на оси конуса.

• Плоскость, перпендикулярная оси конуса отсекает от него меньший конус. Оставшаяся часть называется усечённым конусом.

• Объём конуса равен трети произведения высоты на площадь основания. Таким образом, все конусы, опирающиеся на данное основание и имеющие вершину, находящуюся на данной плоскости, параллельной основанию, имеют равный объём, поскольку их высоты равны.

V=⅓SH

V=⅓πR²H

где S — площадь основания, H — высота.

• Площадь боковой  поверхности конуса можно найти по формуле:

S бок  = πRl,

где R – радиус основания, l – длина образующей.

• Площадь полной поверхности конуса находится по формуле:

S кон  = πRl + πR 2 ,

где R – радиус основания, l – длина образующей.

• Объём кругового конуса равен

V = 1/3 πR 2 H,

где R – радиус основания, Н – высота конуса

• Площадь боковой поверхности усеченного конуса можно найти по формуле:

S бок  = π(R + r)l,

где R – радиус нижнего основания, r – радиус верхнего основания, l – длина образующей.

• Площадь полной поверхности усеченного конуса можно найти по формуле:

S кон  = πR 2  + πr 2  + π(R + r)l,

где R – радиус нижнего основания, r – радиус верхнего основания, l – длина образующей.

• Объём усечённого конуса можно найти следующим образом:

V = 1/3 πH(R 2  + Rr + r 2 ),

где R – радиус нижнего основания, r – радиус верхнего основания, Н – высота конуса.

Конус в жизни