Математические предложения
Рассматриваемые в математике истины формируются в виде предложений. Главнейшими из них являются определения, теоремы и аксиомы.
Определением называют предложение, в котором разъясняется смысл нового понятия.
Теорема есть предложение, справедливость которого устанавливается путём некоторого рассуждения, называемого доказательством.
Аксиомой называют истину, принимаемую без доказательства. Следствием называют непосредственный вывод из аксиомы или теоремы. Леммой называют подготовительное предложение, вводимое для доказательства последующего.
Признаком называют показатель, примету, знак, по которым можно узнать, определить что-либо.
Следствие, лемма и признак — теоремы. Гипотеза — научное предположение, выдвигаемое для объяснения каких-либо явлений; вообще — предположение, требующее под- тверждения (доказательства истинности или ложности).
Формула - представление связей, отношений, существующих между предметами (явлениями, процессами) при помощи знаков (символов) объеденяемых определенными операциями.
Лемма - вспомогательная теорема, применяемая в ходе логических умозаключений в целях обоснования истинности другой теоремы.
Доказательство - логическое действие, в прцессе которого истинность какой-либо мысли обосновывается с помощью других мыслей истинность, которых установлена ранее.
Вот примеры аксиом из курса геометрии:
- 1.Какова бы ни была прямая, существуют точки, принадлежащие прямой, и точки, не принадлежащие прямой.
- 2.Через любые две точки можно провести прямую и только одну.
- 3.Прямая разбивает плоскость на две полуплоскости. И т. д.
Эти аксиомы указывают свойства понятий: «точка», «прямая», «плоскость» — и отношений между ними: «принадлежит», «разбивает» — и служат косвенными определениями всех этих понятий. А именно: мы называем точками, прямыми, плоскостями и их отношениями: принадлежит, разбивает — такие объекты и их отношения, которые удовлетворяют этим и всем другим аксиомам геометрии.
В школьной арифметике и алгебре обычно аксиомы в явном виде не формулируются, но, конечно, они имеются и там. Вот примеры аксиом, которыми вы всегда пользуетесь в своих рассуждениях:
- 1.Единица есть натуральное число, предшествующее всем другим натуральным числам.
- 2.За каждым натуральным числом непосредственно следует в натуральном ряду еще одно натуральное число.
- 3.Всякое число равно самому себе.
- 4.Если число а равно b, то и b равно а.
- 5. Если а равно b и b равно с, то а равно с. И др.
Эти аксиомы косвенно определяют (характеризуют) исходные понятия: число, единица, натуральное число — и отношения между ними: предшествует, следует, равенство и др.
Что касается важнейших свойств понятий, не являющихся основными, для которых введено какое-то логическое определение, то в математике все эти свойства доказываются, т. е. выводятся как логические следствия из определений, аксиом и ранее доказанных свойств.
Индукция - форма мышления, посредством которой мысль наводится на какое-либо общее правило, общее положение, присущее всем конкретным объектам какого либо класса.
Дедукция - такая форма мышления, когда новая мысль выводится чисто логическим путем из предшествующих мыслей. Такая последовательность мыслей называется выводом, а каждый компонент этого вывода является либо ранее доказанной мыслью либо аксиомой, либо гипотезой.
Дедуктивное доказательство - одна из форм доказательств, когда тезис, являющийся каким-либо единичным или частным суждением, подводится под общее правило.
Всякое доказательство состоит из трех частей:
тезис, доводов, демонстраций.
Правила доказательства:
1. Тезис и аргументы должны быть суждениями ясными и определенными.
2. Тезис должен оставаться одним и тем же на продолжении всего доказательства.
3. Тезис не должен содержать в себе логического противоречия.
4. Тезис, который нужно доказать, не должен находиться в логическом противооречии с высказанными ранее суждениями.
5. Доводы приводимые в подтверждение тезиса, не должны противоречить друг другу.
6. Приведение к абсурду. Истинность того или иного тезиса можно обосновать, доказав ложность пртивоположного тезиса.
7. Тезис и доводы должны быть обоснованны фактами.
8. Доказательство должно быть полным.
9. Доводы приводимые в подверждение истинности тезиса, должны являться достаточными для данного тезиса.
10. Доводы приводимые в доказательстве истинности тезиса сами должны быть истинными.
11. Доводы должны быть суждениями, истинность которых доказана самостоятельно независимо от тезиса.
ПРИМЕЧАНИЕ: Тезис - мысль или положение, истинность которого требуется доказать.
1 484 547
6 
