СДЕЛАЙТЕ СВОИ УРОКИ ЕЩЁ ЭФФЕКТИВНЕЕ, А ЖИЗНЬ СВОБОДНЕЕ

Благодаря готовым учебным материалам для работы в классе и дистанционно

Скидки до 50 % на комплекты
только до 13.05.2025

Готовые ключевые этапы урока всегда будут у вас под рукой

Организационный момент

Проверка знаний

Объяснение материала

Закрепление изученного

Итоги урока

Математика. Построение графика линейной функции вида y = kx + b.

Категория: Математика

Нажмите, чтобы узнать подробности

Линейной функцией называется функция вида 

В уравнении функции число , которое мы умножаем на  называется коэффициентом наклона.

Например, в уравнении функции  ;

в уравнении функции    ;

в уравнении функции    ;

в уравнении функции    .

Графиком линейной функции является прямая линия.

1. Чтобы построить график функции, нам нужны координаты двух точек, принадлежащих графику функции.

Чтобы их найти, нужно взять два значения х, подставить их в уравнение функции, и по ним вычислить соответствующие значения y.

Например, чтобы построить график функции , удобно взять   и , тогда ординаты эти точек будут равны  и .

Получим точки А(0;2) и В(3;3). Соединим их и получим график  функции :

2. В уравнении функции  коэффициент  отвечает за наклон графика функции:

  • если , то график наклонен вправо
  • если  , то график наклонен влево

Коэффициент  отвечает за сдвиг графика вдоль оси :

  • если , то график функции  получается из графика  функции сдвигом на  единиц вверх вдоль оси 
  • если  , то график функции  получается из графика функции  сдвигом на  единиц   вниз вдоль оси 

На рисунке ниже изображены графики функций  

Заметим, что во всех этих функциях коэффициент  больше нуля, и все графики функций наклонены вправо. Причем, чем больше значение , тем круче идет прямая.

Во всех функциях  - и мы видим, что все графики пересекают ось OY в точке (0;3)

Теперь рассмотрим графики функций  

На этот раз  во всех  функциях коэффициент  меньше нуля, и все графики функций наклонены влево.

Заметим, что чем больше |k|, тем круче идет прямая. Коэффициент b тот же, b=3, и графики также как в предыдущем случае пересекают ось OY в точке (0;3)

Рассмотрим графики функций  

Теперь  во всех уравнениях функций коэффициенты  равны. И мы получили три параллельные прямые.

Но коэффициенты b различны, и эти графики пересекают ось OY  в различных точках:

График функции  (b=3) пересекает ось OY  в точке (0;3)

График функции  (b=0) пересекает ось OY  в точке (0;0) -  начале координат.

График функции  (b=-2) пересекает ось OY  в точке (0;-2)

Итак, если мы знаем знаки коэффициентов k и b, то можем сразу представить, как выглядит график функции .

Если  k<0 и b>0, то график функции  имеет вид:

Если  k>0 и b>0, то график функции  имеет вид:

Если  k>0 и b<0, то график функции  имеет вид:

Если  k<0 и b<0, то график функции  имеет вид:

Если  k=0 , то  функция  превращается в функцию    и ее график имеет вид:

Ординаты всех точек графика функции  равны 

Если b=0, то график функции  проходит через начало координат:

 Это график прямой пропорциональности.

3. Отдельно отмечу график уравнения . График этого уравнения представляет собой прямую линию, параллельую оси  все точки которой имеют абсциссу .

Например, график уравнения  выглядит так:

Внимание! Уравнение  не является функцией, так  как различным значениям аргумента соответствует одно и то же значение функции, что не соответствует определению функции.

4Условие параллельности двух прямых:

График функции  параллелен графику функции , если 

5. Условие перпендикулярности двух прямых:

График функции  перпендикулярен графику функции , если  или 

6. Точки пересечения графика функции  с осями координат.

С осью ОY. Абсцисса любой точки, принадлежащей оси ОY равна нулю. Поэтому, чтобы найти точку пересечения с осью ОY нужно в уравнение функции вместо х подставить ноль. Получим y=b. То есть точка пересечения с осью OY имеет координаты (0;b).

С осью ОХ: Ордината любой точки, принадлежащей оси ОХ равна нулю. Поэтому, чтобы найти точку пересечения с осью ОХ нужно в уравнение функции вместо y подставить ноль. Получим 0=kx+b. Отсюда . То есть точка пересечения с осью OX имеет координаты (;0):

Рассмотрим решение задач.

1. Постройте график функции , если известно, что он проходит через точку А(-3;2) и параллелен прямой y=-4x.

В уравнении функции   два неизвестных параметра: k и b. Поэтому в тексте задачи должны быть два условия, характеризующих график функции.

а) Из того, что график функции  параллелен прямой y=-4x, следует, что k=-4. То есть уравнение функции имеет вид 

б) Нам осталось найти b. Известно, что график функции  проходит через точку А(-3;2). Если точка принадлежит графику функции, то при подстановке ее координат в уравнение функции, мы получим верное равенство:

  отсюда b=-10

Таким образом, нам надо построить график функции 

Точка А(-3;2) нам известна, возьмем точку B(0;-10)

Поставим эти точки в координатной плоскости и соединим их прямой:

2. Написать уравнение прямой, проходящей через точки A(1;1); B(2;4).

Если прямая проходит через точки с заданными координатами, следовательно, координаты точек удовлетворяют уравнению прямой  . То есть если мы координаты точек подставим в уравнение прямой, то получим верное равенство.

Подставим координаты каждой точки в уравнение   и получим систему линейных уравнений.

Вычтем из второго уравнения системы первое, и получим . Подставим значение k в первое уравнение системы, и получим b=-2.

Итак, уравнение прямой .

Показать полностью

Просмотр содержимого документа
«Математика. Построение графика линейной функции вида y = kx + b.»

Тема «Построение графика линейной функции вида у= kx + b » Обучающее задание:  «Построить график функции у = - 2х + 3 » у= kx + b Автор презентации: Хартон М.

Тема «Построение графика

линейной функции вида

у= kx + b »

Обучающее задание:

«Построить график функции у = - 2х + 3 »

у= kx + b

Автор презентации:

Хартон М.

у х – независимая переменная, поэтому её значения выберем сами ; У – зависимая переменная, её значение получится в результате подстановки выбранного значения х в функцию. Результаты запишем в таблицу: У= - 2х+3 3 2 0 х у 1 выбираем сами - 1 3 х 0 Если х = 0, то у = - 2 · 0 + 3 =  3 . 2 1 Если х=2, то у = -2 · 2+3 = - 4+3= -1 . - 1 Точки (0;3) и (2; -1) отметим на координатной плоскости и проведем через них прямую.

у

х – независимая переменная, поэтому её значения выберем сами ;

У – зависимая переменная, её значение получится в результате подстановки выбранного значения х в функцию.

Результаты запишем в таблицу:

У= - 2х+3

3

2

0

х

у

1

выбираем

сами

- 1

3

х

0

Если х = 0, то у = - 2 · 0 + 3 = 3 .

2

1

Если х=2, то у = -2 · 2+3 = - 4+3= -1 .

- 1

Точки (0;3) и (2; -1) отметим

на координатной плоскости и

проведем через них прямую.

Задания для самостоятельного решения:  построить графики функций  (выполнять в тетради) 1.  у = 2х – 2 Ответ: 2. у = х + 2 Ответ: 3.  у = 4 – х  Ответ:  4.  у = 1 – 3х  Ответ: 5. Тест При сверке ответов обратите внимание:  точки, выбранные вами для построения прямой, могут быть другими, но расположение графиков обязательно должно совпадать

Задания для самостоятельного решения: построить графики функций (выполнять в тетради)

1. у = 2х – 2

Ответ:

2. у = х + 2

Ответ:

3. у = 4 – х

Ответ:

4. у = 1 – 3х

Ответ:

5. Тест

При сверке ответов обратите внимание:

точки, выбранные вами для построения прямой, могут быть другими,

но расположение графиков обязательно должно совпадать

Уберите точки, которые не принадлежат графику  функции у = 3 – 4х, щёлкнув по ним левой кнопкой мыши (-1; 7) (0;-3) (0; 3) (-3; 15) (3; 9) (1; 1) (-2; 5) (2; -5) (0,5; 1)

Уберите точки, которые не принадлежат графику функции у = 3 – 4х, щёлкнув по ним левой кнопкой мыши

(-1; 7)

(0;-3)

(0; 3)

(-3; 15)

(3; 9)

(1; 1)

(-2; 5)

(2; -5)

(0,5; 1)

Выберите линейную функцию, график которой изображен  на рисунке, щелкнув по прямоугольнику с правильным ответом у = 0,5х у = х - 2 у = х – 1 у = х +2 у = - х + 1 у = х + 2 у = 2х у = - х - 1 у = 2 – х Молодец! Подумай!

Выберите линейную функцию, график которой изображен на рисунке, щелкнув по прямоугольнику с правильным ответом

у = 0,5х

у = х - 2

у = х – 1

у = х +2

у = - х + 1

у = х + 2

у = 2х

у = - х - 1

у = 2 – х

Молодец!

Подумай!

Функция вида у = kx + b называется линейной . Графиком функции вида у = kx + b является прямая . Для построения прямой необходимы только две  точки , так как через две точки проходит единственная прямая.
  • Функция вида у = kx + b называется линейной .
  • Графиком функции вида у = kx + b является прямая .
  • Для построения прямой необходимы только две точки , так как через две точки проходит единственная прямая.
перейти к заданиям

перейти к заданиям

перейти к заданиям

перейти к заданиям

перейти к заданиям

перейти к заданиям

перейти к заданиям

перейти к заданиям


Скачать

Рекомендуем курсы ПК и ППК для учителей

Вебинар для учителей

Свидетельство об участии БЕСПЛАТНО!

Закрыть через 5 секунд
Комплекты для работы учителя