Линейной функцией называется функция вида 
В уравнении функции число
, которое мы умножаем на
называется коэффициентом наклона.
Например, в уравнении функции
;
в уравнении функции
;
в уравнении функции
;
в уравнении функции
.

Графиком линейной функции является прямая линия.
1. Чтобы построить график функции, нам нужны координаты двух точек, принадлежащих графику функции.
Чтобы их найти, нужно взять два значения х, подставить их в уравнение функции, и по ним вычислить соответствующие значения y.
Например, чтобы построить график функции
, удобно взять
и
, тогда ординаты эти точек будут равны
и
.
Получим точки А(0;2) и В(3;3). Соединим их и получим график функции
:

2. В уравнении функции
коэффициент
отвечает за наклон графика функции:
- если

, то график наклонен вправо
- если

, то график наклонен влево
Коэффициент
отвечает за сдвиг графика вдоль оси
:
- если

, то график функции
получается из графика функции
сдвигом на
единиц вверх вдоль оси 
- если

, то график функции
получается из графика функции
сдвигом на
единиц вниз вдоль оси 
На рисунке ниже изображены графики функций
;
;


Заметим, что во всех этих функциях коэффициент
больше нуля, и все графики функций наклонены вправо. Причем, чем больше значение
, тем круче идет прямая.
Во всех функциях
- и мы видим, что все графики пересекают ось OY в точке (0;3)
Теперь рассмотрим графики функций
;
;


На этот раз во всех функциях коэффициент
меньше нуля, и все графики функций наклонены влево.
Заметим, что чем больше |k|, тем круче идет прямая. Коэффициент b тот же, b=3, и графики также как в предыдущем случае пересекают ось OY в точке (0;3)
Рассмотрим графики функций
;
; 

Теперь во всех уравнениях функций коэффициенты
равны. И мы получили три параллельные прямые.
Но коэффициенты b различны, и эти графики пересекают ось OY в различных точках:
График функции
(b=3) пересекает ось OY в точке (0;3)
График функции
(b=0) пересекает ось OY в точке (0;0) - начале координат.
График функции
(b=-2) пересекает ось OY в точке (0;-2)
Итак, если мы знаем знаки коэффициентов k и b, то можем сразу представить, как выглядит график функции
.
Если k<0 и b>0, то график функции
имеет вид:

Если k>0 и b>0, то график функции
имеет вид:

Если k>0 и b<0, то график функции
имеет вид:

Если k<0 и b<0, то график функции
имеет вид:

Если k=0 , то функция
превращается в функцию
и ее график имеет вид:

Ординаты всех точек графика функции
равны 
Если b=0, то график функции
проходит через начало координат:

Это график прямой пропорциональности.
3. Отдельно отмечу график уравнения
. График этого уравнения представляет собой прямую линию, параллельую оси
все точки которой имеют абсциссу
.
Например, график уравнения
выглядит так:
Внимание! Уравнение
не является функцией, так как различным значениям аргумента соответствует одно и то же значение функции, что не соответствует определению функции.

4. Условие параллельности двух прямых:
График функции
параллелен графику функции
, если 
5. Условие перпендикулярности двух прямых:
График функции
перпендикулярен графику функции
, если
или 
6. Точки пересечения графика функции
с осями координат.
С осью ОY. Абсцисса любой точки, принадлежащей оси ОY равна нулю. Поэтому, чтобы найти точку пересечения с осью ОY нужно в уравнение функции вместо х подставить ноль. Получим y=b. То есть точка пересечения с осью OY имеет координаты (0;b).
С осью ОХ: Ордината любой точки, принадлежащей оси ОХ равна нулю. Поэтому, чтобы найти точку пересечения с осью ОХ нужно в уравнение функции вместо y подставить ноль. Получим 0=kx+b. Отсюда
. То есть точка пересечения с осью OX имеет координаты (
;0):

Рассмотрим решение задач.
1. Постройте график функции
, если известно, что он проходит через точку А(-3;2) и параллелен прямой y=-4x.
В уравнении функции
два неизвестных параметра: k и b. Поэтому в тексте задачи должны быть два условия, характеризующих график функции.
а) Из того, что график функции
параллелен прямой y=-4x, следует, что k=-4. То есть уравнение функции имеет вид 
б) Нам осталось найти b. Известно, что график функции
проходит через точку А(-3;2). Если точка принадлежит графику функции, то при подстановке ее координат в уравнение функции, мы получим верное равенство:
отсюда b=-10
Таким образом, нам надо построить график функции 
Точка А(-3;2) нам известна, возьмем точку B(0;-10)
Поставим эти точки в координатной плоскости и соединим их прямой:

2. Написать уравнение прямой, проходящей через точки A(1;1); B(2;4).
Если прямая проходит через точки с заданными координатами, следовательно, координаты точек удовлетворяют уравнению прямой
. То есть если мы координаты точек подставим в уравнение прямой, то получим верное равенство.
Подставим координаты каждой точки в уравнение
и получим систему линейных уравнений.

Вычтем из второго уравнения системы первое, и получим
. Подставим значение k в первое уравнение системы, и получим b=-2.
Итак, уравнение прямой
.