Математика. Рациональные уравнения и алгоритмы их решения.

Рациональные уравнения

Рациональное выражение — это алгебраическое выражение, составленное из чисел и переменной xс помощью операций сложения, вычитания, умножения, деления и возведения в степень с натуральным показателем.

Если r(x) — рациональное выражение, то уравнение r(x)=0 называют рациональным уравнением.

Уравнения высших степеней

,

где, коэффициенты; показатель степени уравнения; неизвестная переменная. Приемы их решения замена переменной и разложение на множители.

1. Биквадратное уравнение. ; , замена переменной.

;

2. Уравнение вида .

Если , то , замена переменной.

3.Возвратные уравнения.

a);

|;

,  , замена переменной.

, , ; 

получаем квадратное уравнение. находим корни, решаем уравнения. b) ;

, замена переменной.

4. Однородные уравнения.

.

|;

, замена переменной.

Если , то рассматривается случай, когда .

5. Уравнение вида .

Если уравнение можно записать в виде , то среди корней этого уравнения содержится корень уравнения .

6. Уравнение вида 

замена переменной. Тогда уравнение примет вид.

Дробно – рациональные уравнения.

1. Уравнения вида .

, замена переменной. Уравнение примет вид

.

1. Метод разложения на сумму выражения вида 

, .

Методом неопределенных коэффициентов находим: 

1. Выделение полного квадрата.

в уравнений выделяем полный квадрат. Тогда :

,  замена переменной.

Пример 1. Решить уравнение:.

Решение. ,

Ответ: 

Пример 2. Решить уравнение: . Ответ: {-3; -1;1; 3 }.

Пример 3. Решить уравнение: .

Решение.  |

, ,; ,

. ; Решаем следующие два уравнения:  и .

Ответ: 

Пример 4. Решить уравнение: .

Решение.  |

, ,

; , ;

, ;, ;

Ответ:, .

Пример 5. Решить уравнение:

Решение. |;

, , , ;

; 

Ответ:.

Пример 6. Решить уравнение: .

Решение. .

;

Ответ:.

Пример 7. Решить уравнение: 

Решение. После проверки убеждаемся, что 0 не является корнем. В каждой дроби числитель и знаменатель делим на  .

., замена переменной. ,.

, , .

Ответ: .

Пример 8. Решить уравнение: .

Решение..

=0, , .

, . Жауабы: {-4+

Пример 9. Решить уравнение: 

Решение. 

Ответ: 

Пример 10. Решить уравнение.

Решение._{после приведения подобных членов, получаем:}

Ответ: 

Пример 11.Решить уравнение: 

Решение.

_{Задания для самостоятельного выполнения}

_{Решите уравнения:}

1. .

2. .

3. . Ответ: 1; 2.

4. . Ответ: .

5. . Ответ: .

6. . Ответ: 3; 4.

7. . Ответ:.

5