Математика. Уравнения tg х = а и ctg х = а . Примеры.

Из определения тангенса следует, что tg x может принимать любое действительное значение. Поэтому уравнение tg x = а имеет корни при любом значении а.

Уравнение tg x = а для любого a имеет на интервале  только один корень. Если , то корень заключён в промежутке ; если а < 0, то в промежутке . Этот корень называют арктангенсом числа a и обозначают arctg a

Определение Арктангенсом любого числа a называется такое число , тангенс которого равен а: , если  и 

Все корни уравнений вида tg(х) = а для любого a можно находить по формуле

Можно доказать, что для любого a справедлива формула Эта формула позволяет находить значения арктангенсов отрицательных чисел через значения арктангенсов положительных чисел.

Уравнение tgx=a

Уравнение tgx=a имеет решения x=arctga+πk,k∈Z

Что же такое arctga?

Арктангенс  в переводе с латинского означает дуга и тангенс. Это обратная функция.

arctga (арктангенс a) - это такое число из отрезка (−π2;π2), тангенс которого равен a.

Говоря иначе: arctga=x⇒tgx=a,x∈(−π2;π2)

Теорема. arctg(−a)=−arctga.

Уравнение ctgx=a

Уравнение ctgx=a имеет решения x=arcctga+πk,k∈Z

Что же такое arcctga?

arcctga (арккотангенс a) - это такое число из отрезка (0;π), котангенс которого равен a.

Говоря иначе: arcctga=x⇒ctgx=a,x∈(0;π)

Теорема. arcctg(−a)=π−arcctga

Пример: Решить уравнение tgx=2

Используем формулу x=arctga+πk,k∈Z и получаем ответ x=arctg2+πk,k∈Z

Пример 1: Вычислить arctg 1.

Решение.

Пусть arctg 1 = x.

Тогда tg x = 1,  при этом x ∈ (–π/2; π/2)

Следовательно: 

       π                       π x = —    при этом  — ∈ (–π/2; π/2)        4                       4

                            π Ответ: arctg 1 = —                             4

Пример 2: Решить уравнение tg x = –√3.

Решение.

Применяем формулу:

x = arctg (–√3) + πk

Решаем: arctg (–√3) = –arctg √3 = –π/3.

Подставляем: x = –π/3 + πk.

Пример 3: Вычислить arcctg (–1).

Решение.

Применяя формулу (2), обращайте внимание на знак а: он меняется на противоположный. В нашем примере –1 меняется на 1:

arcctg (–1) = π – arcctg 1 = π – π/4 = 3π/4.