Министерство образования Российской Федерации
Муниципальное общеобразовательное учреждение
«Средняя общеобразовательная школа №3 г. Свирска»
«В мир поиска!
В мир творчества!
В мир науки!»
Математика в стране сказок
Выполнила: Батуева Екатерина
Ученица 6 «Б» класса
Руководитель: Купуржанова Л.Н.
1. Введение.
2. Основная часть.
Задачи.
—В стране великанов
—Рост удава
—«Закон природы»
— Расту или уменьшаюсь?
—История про ослика
—Бег по кругу
—С одной стороны, с другой стороны…
—Задача Гомера
3. Заключение.
Хорошие книги можно читать по разному: «залпом», едва поспевая за увлекательно разворачивающимся сюжетом или медленно, наслаждаясь красотой авторского слога. А еще можно читать глазами математика, замечая и анализируя забавные ситуации, в которые попадают персонажи. Это не только увлекательное, но и весьма
поучительное занятие!
Введение
Издавна все дети любят сказки. И самое интересное, что, хотя сказки пишутся для детей, их любят и знают взрослые. Конечно, сочинять сказки может только необыкновенный человек. Для этого нужно иметь не только богатую фантазию, но и чувство юмора, и, самое главное, многое знать. Иногда мы даже не задумываемся и просто не обращаем внимания на то, как много математических задач, употребляют авторы в своих сказках. Использование математики в создании сказочного сюжета позволяет создать необыкновенные превращения, удивительные приключения. Математика окружает нас. Еще Г. Галилей, великий итальянский физик, механик, астроном сказал «Природа говорит языком математики: буквы этого языка – круги, треугольники, и иные математические фигуры». Почти каждый видел репродукцию картины талантливого художника Богданова-Бельского «Устный счет в народной школе С.А. Рачинского». На доске написан пример, над которым размышляют учащиеся:
10 2 +10 2 + 10 2 + 10 2 + 10 2 + 10 2 / 365
Когда читаешь сказки, непременно вспоминаются строки А.С. Пушкина:
Сказка ложь, да в ней намек!
Добрым молодцам урок.
В стране великанов
Наш разговор пойдет о том, как отразил в своих произведениях идею подобия Джонатан Свифт. Вспомним один из эпизодов удивительного путешествия Лемюэля Гулливера в Бробдингнег.
Помните ли вы, как герой романа определил размеры страны великанов? Дадим ему слово: «Город расположен по обоим берегам пересекающейся реки. Он тянется в длину на три глюнглюнга (что составляет пятидесяти четырех английских миль), а в ширину два с половиной глюнглюнга. Я лично произвел эти измерения на карте, составленной по приказанию короля и нарочно для меня разложенной на земле, где она занимала пространство в сто футов. Разувшись, я пошел несколько раз по диаметру окружности карты, сосчитал число моих шагов и бед труда определил по масштабу протяжение города».
Можете ли вы объяснить, на чем основан описанный Гулливером способ измерения и как в данном случае используется идея подобия?
Решение:
Карта — плоское, уменьшенное во много раз изображение города. Ее масштаб играет роль коэффициента подобия. Измерив по карте протяженность города в разных направлениях и величин ее в указанное в масштабе число раз, можно легко вычислить истинные размеры города.
Как измерить рост удава?
Мнение «специалистов»
Несколько любопытных примеров, иллюстрирующих геометрические законы, можно найти в сказке Г.Остера «Зарядка для хвоста». Помните веселую компанию: мартышку, попугая, слоненка и удава? С ними произошло немало забавных историй. Для нас представляют интерес две из них.
Одна история о том, как главные герои измеряли рост удава. Оказалось, что он составляет 38 попугаев, 5 мартышек или 2 слоненка. «А в попугаях-то я гораздо длиннее», — заключил удав. Ну как тут не усомниться в правильности его вывода? Если рост удава постоянен, то почему попугай, мартышка и слоненок получили разные результаты? И, кстати, прав ли был попугай, когда на вопрос мартышки «А чем еще можно измерять рост?» ответил: «Всем!»?
Решение:
Конечно, удав ошибается. Его длина постоянна и выражается разными числами потому, что определяется с помощью трех различных единиц измерения. А вот попугай прав, по сути. Можно выбрать и другие единицы измерения длины.
Закон природы
Другая история том, как мартышка учила слоненка делать зарядку. Каждый раз, когда она командовала «Ноги вместе!», слоненок падал. Этой сценой заинтересовался проползавший мимо удав.
«— Сначала я ставлю ноги вместе, — рассказал слоненок. — А потом падаю. Хоть мне и не хочется.
— Ты ставишь их вместе все? — переспросил удав, который пока еще ничего не понял, но уже кое-что начал подозревать. — Ты ставишь вместе все четыре ноги?
—Да, — сказал слонёнок. — Все.
—Все черыре ноги ставить вместе нельзя! — воскликнул удав, который в глубине души считал себя большим специалистом по ногам.
— И тогда не падают? — спросил слоненок.
— Тогда стоят! — подтвердил удав».
Интересно, о каком таком «законе природы» говорит удав?
Решение:
Удав имеет в виду аксиому стереометрии: через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна. Опора на три точки обеспечивает устойчивое положение объекта на земле.
Расту или уменьшаюсь?
Об идее геометрического подобия в романах Д.Свифта мы уже говорили, с ней мы встречаемся и во многих сказках. Взять хотя бы «Дюймовочку» или «Мальчика-с-пальчик». И, конечно, не забудем о знаменитой сказке Льюиса Кэрролла Алиса в Стране чудес». Вспомните, какие превращения (математик сказал бы преобразования) постоянно происходили с главной героиней: то она вырастала до нескольких футов, то уменьшалась до нескольких дюймов, всегда оставаясь, впрочем, самой собой. А между тем «маленькая» и «большая» Алисы подобны с точки зрения геометрии.
Попробуйте сами проанализировать следующие эпизоды из книги.
«Алиса открыла ее [коробочку] — внутри был пирожок, на котором коринками было красиво написано: «СЪЕШЬ МЕНЯ!»...
Она откусила от пирожка и с тревогой подумала:
— Расту или уменьшаюсь? Расту или уменьшаюсь? Руку при этом Алиса на макушку, чтобы чувствовать, что с ней происходит»
Можно ли таким способом определить, как изменяется рост?
Если вы смогли объяснить, почему этот способ не годится, то легко ответите на другой вопрос.
Алиса откусила ещё кусочек и вскоре съела весь пирожок.
« — Я теперь раздвигаюсь, словно подзорная труба. Прощайте, ноги!
В эту минуту она как раз взглянула на ноги и увидела, как стремительно они уносятся вниз. Еще мгновение — и они скроются из виду.
— Бедные мои ножки! Кто же вас будет теперь обувать? Кто натянет на вас чулки и башмаки? Мне же до вас теперь, мои милые, не достать. Мы будем так далеко друг от друга, что мне будет совсем не до вас... Придется вам обходиться без меня».
Насколько обоснованы опасения девочки?
Решение:
Определить таким способом, как изменяется рост, невозможно, поскольку все части тела Алисы увеличиваются, или уменьшаются пропорционально (в одно и тоже число раз), при этом их положение относительно друг друга остается неизменным. По той же причине опасения Алисы по поводу излишней длины собственных ног не обоснованы.
Многоликая симметрия
Поговорим теперь о другом геометрическом преобразовании — симметрии.
Главный герой сказки Яна Бжехвы «Академия пана Кляксы» рассказал о весьма любопытном уроке... кляксописания. Этот предмет преподавался в академии с целью научить детей пользоваться чернилами. Но как пользоваться!
«Происходило это так: на большие листы белой бумаги ставилось несколько клякс, потом лист складывался вдвое, чтобы кляксы размазались. Из этих клякс возникали изображения птиц, зверей, людей и даже целые картины».
И здесь не обошлось без математики! Перед нами — замечательный наглядный пример осевой симметрии, иллюстрирующий, вероятно, самый простой способ построения симметричных рисунков.
А теперь попробуем проанализировать с точки зрения геометрии следуюший отрывок из сказки Г.-Х.Андерсена «Снежная королева»:
«Каждая снежинка казалась под стеклом куда больше, чем была на самом деле, и походила на роскошный цветок или десятиугольную звезду. Чудо что такое!
— Видишь, как искусно сделано! — сказал Кай. — Это куда интереснее настоящих цветов! И какая точность! Ни единой неправильной линии!»
Андерсен, конечно, был прав, сравнив снежинку с роскошным цветком и отметив «правильность» и точность ее линий. Но ошибся, сказав, что она похожа на десятиугольную звезду. Снежинка представляет собой ледяной кристалл в форме шестилучевой звездочки. Ее совершенный вид подченен строгим законом симметрии и является следствием внутреннего строения. В данном случае мы имеем дело с поворотной симметрией шестого порядка (кстати, достаточно распространенной среди цветов).
Еще Иоганн Кеплер объяснил, почему снежинки всегда имеют правильную шестиугольную форму. Оказывается, любая снежинка развивается из обладающего поворотной симметрией зародыша. Падая в атмосфере, он увеличивается в размерах, стремясь при этом сохранить первичную структуру. Непрерывно изменяющиеся условия роста (ветер, температура, влажность) позволяют каждой снежинке сохранить индивидуальность; в то же время из-за малых размеров зародыша эти условия остаются одинаковыми со всех шести сторон, способствуя сохранению ее симметрии.
По ту сторону зеркала
Ряд примеров из замечательной книги Л.Кэрролла «Алиса в Зазеркалье» иллюстрирует идею зеркальной симметрии. В зеркале все асимметричные предметы (а в более широком смысле любые асимметричные ситуации) предстают обращенными.
В сказке много таких отражений: чтобы приблизиться к Черной Королеве, Алиса идет в противоположном направлении; у короля два гонца, причем «один бежит туда, а другой - «оттуда»; пироги в Зазеркалье сначала раздают гостям, и только потом режут; чтобы перестала идти кровь из пальца, его надо уколоть булавкой и т. д.
А вспомните, как Белая Королева рассказывает Алисе о преимуществах жизни «в обратную сторону»! Например, для обитателей Зазеркалья «завтра никогда не бывает сегодня», а лучше всего им помнится то, что только случится через некоторое время. Целая глава в книге посвящена «зеркальным» близнецам Труляля и Траляля. Кстати, любимое выражение последнего «Задом наперед, совсем наоборот!» как нельзя лучше характеризует суть описанных превращений: зеркало изменяет последовательность, в которой расположены точки на прямой (события во времени), на обратную.
Главная героиня сказки В.Губарева «Королевство кривых зеркал» — девочка Оля, оказавшись по ту сторону зеркала, также попала в мир, в котором правое и левое поменялись местами. Пройдя сквозь волшебное стекло, она очутилась в отраженной прихожей. В ней все вещи были переставлены местами, а стрелки настенных часов двигались не вперед, а назад. К тому же Оля сразу столкнулась с собственным отражением по имени Яло (Яло — Оля наоборот). Внешне девочки не отличались друг от друга, но если первая была правшой, то вторая, как и следовало ожидать, оказалась левшой.
А сколько интересных опытов можно проделать с зеркалом! Вероятно, первый удачный эксперимент с зеркальной поверхностью провел герой античных сказаний Персей, когда обезглавил горгону Медузу: чтобы не окаменеть от ее взгляда, Персей смотрел не на саму Медузу, а на ее отражение в отполированном до блеска медном щите, что, собственно, и спасло ему жизнь.
Вы можете и сами поставить несколько экспериментов в поисках ответов на следующие вопросы. Каким будет отражение человека, стоящего зеркалу лицом? Боком? Почему, глядясь в два плоских зеркала, угол между которыми прямой, человек видит себя таким, каким его видят окружающие? А каким получится отражение, если ребро бразовавшегося двугранного угла займет горизонтальное положение? Наконец, как зависит число отражений от угла между зеркалами? Подробнее о свойствах зеркальной симметрии можно прочитать, например, в книге М.Гарднера «Этот правый, левый мир».
Заканчивая разговор о геометрических преобразованиях, предлагаю посмотреть глазами математика на следующий забавный эпизод из известной сказки
А.Милна «Винни-Пух и все-все-все»:
«Иа-Иа... однажды стоял на берегу ручья и понуро смотрел в воду на свое отражение.
— Душераздирающее зрелище, — сказал он, наконец. — Вот как это называется — душераздирающее зрелище.
Он повернулся и медленно побрел вдоль берега вниз по течению. Пройдя метров двадцать, он перешел ручей вброд и так же медленно побрел обратно по другому берегу. Напротив того места, где он стоял сначала, Иа-Иа остановился и снова посмотрел в воду.
— Я так и думал, — вздохнул он. — С этой стороны ничуть не лучше».
Решение:
А что же еще мог увидеть Иа-Иа? Выражаясь языком математики, отражения ослика в плоскости воды — это симметричные относительно середины отрезка, соединяющего начальную и конечную точку его пути, фигуры, а значит, они равны. Так что Иа-Иа прав- с этой стороны ничуть не лучше.
Бег по кругу
Вернемся к «Алисе в Стране чудес» и рассмотрим еще два эпизода из книги.
В огромную лужу слез, которую наплакала Алиса, нападали разные птицы и звери. Выбравшись из лужи, они стали искать способ быстрого высыхания. По предложению Додо было решено устроить бег по кругу.
«Сначала он нарисовал на земле круг. Правда, круг вышел не очень-то ровным, но Додо сказал:
— Правильность формы несущественна!
А потом расставил всех без всякого порядка по кругу. Никто не подавал команды — все побежали, когда захотели... Через полчаса, когда все набегались и просохли, Додо вдруг закричал:
— Бег закончен!
Все столпились вокруг него и, тяжело дыша, стали спрашивать:
-Кто же победил?
На этот вопрос Додо не мог ответить, не подумав, как следует…
Наконец, Додо произнес:
— Победили все! И каждый получит награды!»
Математика в этой истории могли бы заинтересовать три момента.
Во-первых, почему Додо расставил всех по кругу без всякого порядка? Почему бы для точек круга, а вернее окружности, не ввести отношение «лежать между» по аналогии с точками прямой? Если хотите, имеет ли смысл его вводить?
Во-вторых, что именно заставило как следует задуматься Додо? Иначе говоря, почему в беге покругу не оказалось проигравших, а были одни победители?
И, наконец, что имел в виду Додо, сказав о нарисованной на земле линии: «правильность формы несущественна»?
О каких свойствах окружности поведал нам математик Чарлз Людвидж Доджсон, представляющий этом эпизоде в образе Птицы Додо?
Решение:
Для точек окружности нет смысла вводить отношение «лежать между». Можно сказать, что все ее точки равноправны, как и точки любой другой замкнутой кривой, форма которой близка к окружности. А если учесть, что участники начали бег, когда захотели, да еще из разных точек, то Додо действительно было над чем призадуматься. Он принял мудрое решение, объявив победителями всех участников.
Найдя ответы на эти вопросы, легко понять, почему недоумевала Алиса после разговора с другой героиней сказки. Когда Алиса повстречалась Синей Гусеницей, между ними завязалась беседа, в ходе которой девочка пожаловалась на свой маленький рост.
«— Если вы не возражаете, сударыня, — отвечала—Алиса, — мне бы хотелось, хоть капельку подрасти. Три дюйма — такой ужасный рост!
— Со временем привыкнешь, — возразила Гусеница, сунула кальян в рот и выпустила дым в воздух.
Алиса терпеливо ждала, пока Гусеница не соблаговолит снова обратить на нее внимание. Минуты через две та вынула кальян изо рта, зевнула - раз, другой - и потянулась. Потом
она сползла с гриба и скрылась в траве, бросив Алисе на прощанье:
— Откусишь с одной стороны — подрастешь, другой — уменьшишься!
— С одной стороны чего? — подумала Алиса. — С другой стороны чего?
— Гриба, — ответила Гусеница, словно услышав вопрос, и исчезла из виду.
С минуту Алиса задумчиво смотрела на гриб, пытаясь определить, где у него одна сторона, где — другая; гриб был круглый, и это совсем сбило ее с толку».
Да, есть о чем призадуматься!
Решение:
Если бы Алиса знала о «равноправии» точек окружности, то не тратила бы время зря, пытаясь определить, где у гриба одна сторона, а где другая. У круглого гриба вообще нет сторон!
В мире легенд
Обратимся, наконец, к мифологии.
В «Одиссее» Гомера рассказывается о том, как жена главного героя Пенелопа объявила, что выйдет замуж за того, кто победит в состязании по стрельбе из лука. Его участники должны были выпустить стрелу из старого лука Одиссей таким образом, чтобы она пролетела сквозь ушки двенадцати одинаковых железных топоров, вознесенных в землю один за другим, т.е. расположенных в ряд. Как известно, это смог сделать только сам Одиссей.
Но всегда ли поставленная задача выполнима? Ведь выпущенная из лука стрела движется по параболе! Тогда почему с заданием удалось справиться Одиссею? Иначе говоря, при каком условии возможна описанная Гомером ситуация?
С красивыми древнегреческими легендами связано возникновение ряда классических математических задач. Вот одна из легенд, рассказывающая о том, как появилась задача об удвоении куба*. Царь Минос повелел изготовить памятник своему сыну. Архитекторы сделали памятник в форме куба. Однако царь остался недоволен его размерами и приказал удвоить объем. Не справившись с поставленной задачей, архитекторы обратились к ученым-геометрам, но и те не сумели помочь.
Возникнув в умах математиков, скорее всего, как обобщение задачи об удвоении квадрата (легко решаемой с помощью теоремы Пифагора), задача об удвоении куба оказалась значительно труднее, и только в ХIХ веке было доказано, что она неразрешима с помощью циркуля и линейки.
С именем Дидоны, основательницы и первой царицы Карфагена, связана задача на нахождение плоской фигуры с данным периметром, которая имела бы наибольшую площадь. Легенда гласит, что вынужденная бежать из родного города, Дидона вместе со своими спутниками оказалась в Африке. Царь берберов пообещал ей дать столько земли на берегу моря, сколько она сможет охватить шкурой быка. Хитроумная Дидона разрезала шкуру на узкие полоски, связала из них длинную веревку и отмерила с ее с помощью самый большой по площади участок земли, на котором в последствии и основала Карфаген. Какую же форму имел этот участок?
Ответ на этот вопрос легко следует из замечательного свойства круга, которое было хорошо известно древним грекам: из всех плоских фигур с одинаковым периметром (длиной границы) самой большой площадью обладает именно круг. Поэтому участок земли, отмеренный Дидоной, имел форму полукруга с центром, расположенным на берегу моря.
Вспомним еще один известный миф — о Кносском лабиринте и его страшном обитателе Минотавре. А ведь этот миф имеет свою привлекательность не только для историка, но и для математика, которому должна быть интересна задача
нахождение и вычисление кратчайшего пути по лабиринту. Этот путь представляет собой простую незамкнутую ломаную, изучение свойств которой — удел геометрии.
Решение:
Ясно, что стрела должна лететь по прямой. А это возможно, когда длина стрелы не превосходит расстояния между ушками соседних топоров. При выполнении этого условия любой стрелок, сумевший попасть в ушко первого топора, мог бы победить в устроенном Пенелопой состязании.
Блуждания по лабиринту
Надо сказать, что задача о прохождении лабиринта имеет давнюю историю. В древности считалось, что она вообще неразрешима. Человек, попавший в бесчисленные коридоры лабиринта, рисковал легко заблудиться и навсегда остаться них, если только ему не помогал выйти наружу случай. Вспомним, что и Тезей сумел благополучно покинуть лабиринт только благодаря волшебному клубку Ариадны. На самом деле выбраться можно из любого лабиринта: по крайней мере один выход находится там же, где и вход. А если серьезно, то при решении этой задачи можно прибегнуть, например, к правилу одной руки: весь лабиринт следует проходить, не отрывая от стены правой (или левой) руки.
Именно этим правилом попытался воспользоваться один из героев повести Джерома К.Джерома «Трое в лодке, не считая собаки» — Уильям Гаррис. Желая показать своему родственнику Хэмптон-Кортский лабиринт, Гаррис предварительно изучил его план и пришел к выводу, что лабиринт можно обойти за десять минут: надо только на каждой развилке поворачивать направо. Однако на деле все оказалось иначе. Излишняя самонадеянность героя стала причиной комичной ситуации, описанной Джеромом:
«Когда они вошли туда [в лабиринт], им попались навстречу люди, которые, по их словам, крутились там уже битый час и были сыты этим удовольствием по горло. Гаррис сказал им, что ничего не имеет против, если они последуют за ним:
мол, только что зашел в лабиринт, обойдет его, выйдет наружу.
Все выразили Гаррису искреннюю признательность, и пошли гуськом вслед за ним.
По дороге они подбирали других людей, блуждавших по лабиринту и жаждавших выбраться оттуда, пока все, находившиеся в лабиринте, не присоединились к процессии.
Гаррис честно поворачивал всякий раз направо, но конца пути не было видно…»
Даже оказавшись в центре лабиринта с планом руках, Гаррис не смог найти выход:
«Куда бы они ни направлялись, дорога неуклонно приводила их обратно к центру лабиринта. Это стало повторяться с такой регулярностью, что кое-кто из компании просто стоял там и дожидался, пока остальные покрутятся и вернутся к ним.
Наконец публика пришла в полное умоисступление и стала выкликать на помощь сторожа...
На беду, сторож оказался новичком, он вошел в лабиринт, но не сумел найти заблудившихся, а через некоторое время и сам заблудился…
Им пришлось дожидаться, пока после обеда не появился один из старых сторожей и не вывел их оттуда».
Почему же не сработало правило одной руки, к которому прибегнул Гаррис?
Решение:
Все дело в том, что оно не является универсальным. Им можно воспользоваться в том случае, когда внутренние стены лабиринта составляют непрерывное продолжение наружной стены, а лабиринт, в который попали герои этой истории, таким свойством, возможно, не обладал.
Математик и Козлик делили пирог.
Козлик скромно сказал:
- Раздели его вдоволь!
- Тривиально! – сказал Математик – позволь, я уж лучше его разделю поперек! –
Первым он ухватил первый кус пирога.
Но не плачьте, был тут, же наказан порок:
«Пи» досталось ему (А какой в этом прок?!),
А Козленку достались…
Рога!
Решение:
Математик разделил пирог пополам, то есть он поделил длину окружности на диаметр и в результате получил число «пи». (2 п r / d= п) Получается пример: пирога – пи = рога.
Человек, читающий что попало,
редко может похвастаться глубиной своих знаний.
Но не станет обременять свою память
мелкими подробностями, если на то нет
достаточно веских причин.
А. Конан Дюйль, «Этюд в багровых тонах
1 203
50 985 
