Матрицы. Линейные операции над матрицами.

Элементы линейной алгебры.

Лекция 1. Матрицы. Линейные операции над матрицами.

Произведение матриц

Лекция 1. Матрицы. Линейные операции над матрицами. Произведение матриц.

1.1 Основные понятия

Определение 1. Числовой mn матрицей называется множество чисел, образующих прямоугольную таблицу, которая содержит m строк и n столбцов.

Обозначение: А = , В =

Для любого элемента матрицы превый индекс i – номер строки, второй индекс j – номер столбца.

mn – порядок матрицы (размер)

Определение 2. Если число строк матрицы равно числу столбцов (m = n), то матрица называется квадратной матрицей n- го порядка.

Определение 3. Если число строк матрицы не равно числу столбцов (mn), то матрица называется прямоугольной.

Например, матрица А = - квадратная матрица втотого порядка (содержит две строки и два столбца).

Матрица В = - прямоугольная матрица порядка 32 (содержит три строки и два столбца)

Рассмотрим квадратную матрицу n – го порядка:

А =

Определение 4. Диагональ, содержащую элементы , называют главной диагональю, а диагональ, содержащую элементы , называют побочной (вспомогательной)

Определение 5. Матрица, у которой отличны от нуля только элементы, находящиеся на главной диагонали, называется диагональной матрицей.

Например, А = , В =

Определение 6. Если в диагональной матрице все элементы равны единице, то матрица называется единичной матрицей.

Например, Е = - единичная матрица 3 – го порядка

Определение 7. Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой матрицей.

Например, А = - нулевая матрица 2 – го порядка.

Определение 8. Две матрицы А и В называются равными, если они имеют одинаковый порядок и их соответствующие элементы равны.

Определение 9. Если в матрице типа mn, имеющей вид А = переставить строки со столбцами, то получим матрицу типа nm, котрорю называют транспонированной и обозначают:

А^Т =

Например, В = , В^Т =

1. Действия над матрицами

Определение 10. Суммой двух матриц А и В одного порядка называется матрица, обозначаемая А+В, каждый элемент которой равен сумме соответствующих элементов матриц А и В.

Например, А = и В =

А + В = + = =

Аналогично определяется разность двух матриц.

Например, А = и В =

А - В = - = =

Определение 11. Произведение матрицы А на число k называется матрица, обозначаемая kA, каждый элемент которой равен произведению соответствующего элемента матрицы А на число k.

Например, А =

-5А=-5==

Рассмотрим матрицу А порядка mn и матрицу В порядка nk, то есть число столбцов первой матрицы должно совпадать с числом строк во второй матрице.

Определение 12. Произведением матрицы А на матрицу В называется матрица АВ порядка mk, у которой каждый элемент равен сумме произведений элементов i – ой строки матрицы А на соответствующие элементы j – го столбца матрицы В.

Получение элемента с схематично изображается так:

Если матрицы А и В квадратные одного размера, то произведения АВ и ВА всегда существуют, но АВ ВА.

Например, А = , В = . Найти АВ и ВА, если существуют.

Произведение АВ не определено, так как число столбцов матрицы А (3 столбца) не равно числу строк матрицы В (2 строки).

Произведение ВА определено, так как число столбцов матрицы В (2 столбца) равно числу строк матрицы А (2 строки).

В
А=

Задания.

1. Выполнить действия с матрицами:

Ответ:

П
роверка в Mathcad:

1. Выполнить действия с матрицами:

Ответ:

Проверка в Mathcad: