Координатный метод
Геометрия 9класс
Содержание
- Координаты точки
- Расстояние между точками
- Уравнение окружности
- Координаты середины отрезка
- Уравнение прямой
- Заключение
Координаты точки
y
Говорят, что на плоскости задана прямоугольная система координат , если через некоторую точку О плоскости проведены две взаимно перпендикулярные прямые, на каждой из которых выбрано направление (которое на рисунке отмечается стрелкой) и одна и та же единица измерения отрезков. Точка O называется началом координат , а прямые с выбранными на них направлениями – осями координат . Одна из осей координат называется осью абсцисс , а другая – осью ординат . Ось абсцисс обозначается Ox , а ось ординат – Oy .
1
x
O
1
Прямоугольная система координат:
- O – начало;
- Ox – ось абсцисс;
- Oy – ось ординат;
- Ox ┴ Oy
- на осях выбран масштаб (единичный отрезок)
y
Положительные
полуоси
1
x
O
1
Отрицательные
полуоси
Для каждой из осей определены два противоположных луча с началом в точке O . Луч, направление которого совпадает с направлением координатной оси, называется положительной полуосью , а другой – отрицательной полуосью .
Y
абсцисса
M (x; y)
y
ордината
1
X
O
x
1
Если на плоскости задана прямоугольная система координат, то в этой системе координат каждой точке M плоскости соответствует упорядоченная пара чисел x , y . Эта пара чисел называется координатами точки M . Первая координата называется абсциссой , вторая – ординатой .
Пусть M 1 и M 2 – точки пересечения осей координат Ox и Oy с прямыми, проходящими перпендикулярно им через точку M соответственно. Тогда координаты x , y точки M определяются следующим образом:
- x = OM 1 , если точка M 1 принадлежит положительной полуоси; x = 0 , если M 1 совпадает с точкой O ; x = – OM 1 , если точка M 1 принадлежит отрицательной полуоси; y = OM 2 , если M 2 принадлежит положительной полуоси; y = 0 , если M 2 совпадает с точкой О ; y = – OM , если точка M 2 принадлежит отрицательной полуоси.
- x = OM 1 , если точка M 1 принадлежит положительной полуоси;
- x = 0 , если M 1 совпадает с точкой O ;
- x = – OM 1 , если точка M 1 принадлежит отрицательной полуоси;
- y = OM 2 , если M 2 принадлежит положительной полуоси;
- y = 0 , если M 2 совпадает с точкой О ;
- y = – OM , если точка M 2 принадлежит отрицательной полуоси.
y
M
M 2
1
O
x
M 1
1
Координаты точки M записываются в скобках после обозначения точки: M (x; y) (на первом месте записывается абсцисса, на втором записывается ордината).
Если точка M лежит на оси Ox , то она имеет координаты (x; 0) , если M лежит на оси Oy , то ее координаты – (0; y) .
y
y
M (0; y)
1
1
M (x; 0)
x
O
O
x
1
1
Расстояние между точками
Рассмотрим вопрос о нахождении расстояния между точками, если известны их координаты. Пусть на плоскости выбрана прямоугольная система координат и известны координаты точек A и B в этой системе координат: A ( x 1 ; y 1 ) и B ( x 2 ; y 2 ) . Тогда расстояние d ( A , B ) = AB между точками A и B можно найти по формуле
y
A (x 1 ; y 1 )
y 1
B ( x 2 ; y 2 )
y 2
O
x
x 1
x 2
Докажем формулу для случая, когда и , т. е. когда отрезок AB не параллелен ни одной из координатных осей. Пусть C – точка пересечения прямых l 1 и l 2 , которые проходят через точки A , B соответственно и параллельны осям Oy , Ox . Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC . Длины сторон AC и BC равны: AC = , BC = . Тогда по теореме
Пифагора
или
l 1
y
A
l 2
C
B
x
O
Заметим, что формула верна и для случаев:
а) х 1 = х 2 , y 1 y 2 (отрезок параллелен оси Oy , рисунок 1);
б) х 1 х 2 , у 1 = у 2 (отрезок параллелен оси Ox , рисунок 2);
в) х 1 = х 2 , у 1 = у 2 (точки A и B совпадают).
В случае а) d (A, B) = AB = .
В случае б) d (A, B) = AB = .
Если точки A и B совпадают, то d (A, B) = 0 .
y
y
A ( x; y 1 )
B ( x 2 ; y )
y 1
A ( x 1 ; y )
O
x
y 2
x 1
x 2
B ( x; y 2 )
x
Рис. 2
O
x
Рис. 1
Рассмотрим пример.
Пусть необходимо вычислить площадь квадрата ABCD , две вершины которого имеют координаты A (8; 8) и B (5; 5) . Площадь квадрата равна квадрату длины стороны.
Следовательно, S ABCD = AB ² . Для вычисления длины стороны AB воспользуемся формулой расстояния между двумя точками
Таким образом, площадь квадрата S ABCD = AB = 18 кв. ед .
Ответ: 18 кв. ед.
Уравнение окружности
Рассмотрим вопрос об уравнении
окружности.
Уравнение с двумя переменными называется уравнением фигуры , если ему удовлетворяют координаты любой точки этой фигуры и не удовлетворяют координаты точек, не принадлежащих данной фигуре.
Составим уравнение окружности с центром в точке O ( x 0 ; y 0 ) и радиусом R .
Пусть точка M ( x; y ) принадлежит окружности. Тогда в силу определения окружности СM = R . Следовательно, квадрат расстояния между точками С и M равен квадрату радиуса:
( x – x 0 ) 2 + ( y – y 0 ) 2 = R 2 .
y
M ( x; y )
C
y 0
O
x 0
x
Пусть точка M 1 ( x 1 ; y 1 ) не принадлежит окружности, тогда СM 1 ≠ R , а значит, ( x – x 1 ) 2 + ( у – у 1 ) 2 ≠ R 2 , т. е. если точка не принадлежит окружности, то еe координаты не удовлетворяют уравнению
( x – x 0 ) 2 + ( у – у 0 ) 2 = R 2 .
Таким образом, уравнение
( x – x 0 ) 2 + ( у – у 0 ) 2 = R 2
есть уравнение окружности с центром в точке С ( x 0 ; y 0 ) и радиусом R .
Заметим, что если центр окружности совпадает с началом системы координат, то уравнение окружности имеет вид
x 2 + y 2 = R 2 .
y
R
x
O
y
Задача . Составьте уравнение фигуры на плоскости, состоящей из всех точек, сумма квадратов расстояний которых от точек A ( –6; 0 )
и B ( 6; 0 ) равна 104.
Решение.
M
A
B
x
O
1) Пусть M ( x; y ) – точка, принадлежащая фигуре, уравнение которой необходимо составить. Тогда по условию задачи AM 2 + BM 2 = 104 .
2) Воспользуемся формулой для нахождения расстояния между точками, координаты которых известны. Получаем:
3) По условию задачи (x + 6) 2 + y 2 + (x – 6) 2 + y 2 = 104. После упрощения получаем x 2 + y 2 = 16.
Если точка M ( x; y ) не принадлежит фигуре, о которой идет речь в задаче, то AM 2 + BM 2 ≠ 104 , а значит, координаты точки M ( x; y ) не удовлетворяют уравнению x 2 + y 2 = 16. Таким образом, уравнение фигуры имеет вид x 2 + y 2 = 16 и фигура является окружностью с центром в начале координат и радиусом 4.
Координаты середины отрезка
Рассмотрим вопрос о вычислении координат середины отрезка, если известны координаты концов этого отрезка.
Пусть A ( x 1 ; y 1 ) и B ( x 2 ; y 2 ) – произвольные точки плоскости, а точка C ( x 0 ; y 0 ) – середина отрезка AB . Найдем координаты х 0 и y 0 .
Найдем координату x 0 .
1) Пусть отрезок AB не параллелен оси Oy , т. е. x 1 ≠ x 2 . Проведем через точки A , B и C прямые, параллельные оси Oy , которые пересекают ось Ox в точках A 1 ( x 1 ; 0 ) , B 1 ( x 2 ; 0 ) и C 0 ( x 0 ; 0 ) соответственно. Тогда по теореме Фалеса точка C 0 ( x 0 ; 0 ) – середина отрезка A 1 B 1 , т. е. A 1 C 0 = C 0 B 1 или |x 0 – x 1 | = |x 0 – x 2 | . Отсюда следует, что либо x 0 – x 1 = x 0 – x 2 , либо x 0 – x 1 = –(x 0 – x 2 ) . Так как x 1 ≠ x 2 , то первое равенство невозможно, а значит, верно второе равенство, из которого получаем, что
y
A
C
B
O
x
A 1
C 0
B 1
y
2) Пусть отрезок AB параллелен оси Oy , т. е. x 1 = x 2 . В этом случае все точки A 1 , B 1 , C 0 имеют одну и ту же абсциссу, а следовательно, формула
верна и в этом случае (рис. 1).
Координата y 0 точки C 0 находится аналогично. В этом случае рассматриваются прямые, параллельные оси Oх (рис. 2 ), а соответствующая формула имеет вид
A
C
B
x
O
Рис. 1
y
A
C
B
O
x
Рис. 2
y
A ( x 1 ; y 1 )
y 1
C ( x 0 ; y 0 )
y 0
B ( x 2 ; y 2 )
y 2
x 2
x 1
O
x 0
x
Середина C отрезка AB , где A ( x 1 ; y 1 ) , B ( x 2 ; y 2 ) :
Задача. Концами отрезка служат точки A ( –8; –5 ) , B ( 10; 4 ) . Найдите координаты точек C и D , которые делят отрезок AB на три равные части.
Решение.
Пусть точки C и D имеют координаты ( x C ; y C ) и ( x D ; y D ) .
1) Найдем абсциссы точек C и D .
Так как точка C – середина отрезка AD , то выполняется равенство
так как точка D – середина отрезка CB , то
Решив систему 2x C = x D – 8 ,
2x D = 10 + x C ,
находим x C = –2 , x D = 4 .
2) Найдем ординаты точек С и D .
Для нахождения ординат точек С и D воспользуемся равенствами
Решив систему
2y C = y D – 5 ,
2y D = y C + 4 ,
находим y C = –2 , y D = 1 .
Ответ: C ( –2; –2 ), D ( 4; 1 ).
Уравнение прямой
l
y
Выведем уравнение прямой, проходящей через две точки, координаты которых известны.
Пусть на плоскости дана прямая l и выбрана прямоугольная система координат. Рассмотрим две различные точки A ( x 1 ; y 1 ) и B ( x 2 ; y 2 ) такие, что прямая l является серединным перпендикуляром для отрезка AB .
M
A
B
O
x
1) Если точка M ( x; y ) лежит на прямой l , то AM = BM . Следовательно, координаты точки M удовлетворяют уравнению
( x – x 1 ) 2 + ( y – y 1 ) 2 = ( x – x 2 ) 2 + ( y – y 2 ) 2 ,
которое после преобразования принимает вид
ax + by + c = 0 ,
где a = 2 ( x 1 – x 2 ) , b = 2 ( y 1 – y 2 ) , c = x 2 2 + y 2 2 – x 1 2 – y 1 2 . Заметим, что хотя бы один из коэффициентов a , b уравнения ax + by + c = 0 не равен нулю, т. к. точки A и B различные, а значит, хотя бы одна из разностей x 1 – x 2 , y 1 – y 2 не равна нулю.
Таким образом, если точка M лежит на прямой l , то ее координаты удовлетворяют уравнению ax + by + c = 0 , где коэффициенты a и b одновременно не равны нулю.
y
l
2) Если точка M ( x; y ) не лежит на прямой l , то AM ≠ BM и AM 2 ≠ BM 2 , а следовательно, координаты точки M не удовлетворяют уравнению ax + by + c = 0 .
M
A
B
O
x
Таким образом, уравнением прямой в прямоугольной системе
координат является уравнение первой степени
ax + by + c = 0 ,
где a и b одновременно не равны нулю.
- Если a = 0 , то y = c 1 – прямая || Ox .
- Если b = 0 , то y = c 2 – прямая || Oy .
- Если с = 0 , то прямая проходит через O ( 0; 0 ) .
Задача. Дан равнобедренный прямоугольный треугольник ACB с
прямым углом при вершине C . Найдите множество точек M плоскости, для каждой из которых выполняется условие AM 2 + BM 2 = 2CM 2 .
Решение.
Рассмотрим систему координат, начало которой совпадает с вершиной C , а вершины A и B расположены на осях Ox и Oy , как показано на рисунке. Если катет данного треугольника равен a , тогда ( 0; 0 ) , ( a; 0 ) , ( 0; a ) – координаты точек C , A и B в выбранной системе координат соответственно. Пусть ( x; y ) – координаты точки M , принадлежащей искомому множеству точек.
y
B
A
x
C
Воспользуемся формулой для нахождения расстояния между точками, если известны их координаты:
По условию задачи AM 2 + BM 2 = 2CM 2 , следовательно,
( x – a ) 2 + y 2 + x 2 + ( y – a ) 2 = 2 ( x 2 + y 2 ) .
Отсюда получаем уравнение x + y – a = 0 .
Если точка M ( x; y ) не принадлежит искомому множеству точек, то
AM 2 + BM 2 ≠ 2CM 2 , а значит, координаты точки M не удовлетворяют
уравнению x + y – a = 0 . Таким образом, x + y – a = 0 есть уравнение
искомого множества точек и это множество есть прямая, на которой
лежит гипотенуза AB данного треугольника.
Заключение
Суть координатного метода заключается в том, что введение системы координат позволяет записать условие задачи в координатах и решать еe, используя знания по алгебре.