Стереометрия
Метод координат
в задачах № 14 ЕГЭ
Координаты точки в декартовой системе координат
Координаты вектора
=
Координаты середины отрезка
Угол между прямыми
- направляющий вектор прямой а
- направляющий вектор прямой b
- угол между прямыми
Уравнение плоскости, проходящей
через три заданных точки
-нормальный
вектор плоскости
Уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору
-нормальный
вектор плоскости
, где
Уравнение плоскости
, где
Если плоскость проходит через начало координат, то d=0
Если плоскость пересекает оси координат в точках А, В, С, то
уравнение плоскости в отрезках
Угол между прямой и плоскостью
- направляющий вектор прямой
- нормальный вектор плоскости
Угол между плоскостями
Вектор нормали плоскости
Вектор нормали плоскости
Расстояние от точки до плоскости
Расстояние между параллельными плоскостями
Задача 1
В единичном кубе найдите угол между прямыми AE и BF, где Е – середина ребра , а F – середина ребра
Решение (1 способ)
К - середина
По теореме косинусов для
Решение (2 способ)
Задача 2
В правильной треугольной призме все ребра которой равны 1, найдите косинус угла между прямыми AD и CE , где D и E - соответственно середины ребер и
Решение.
Координаты правильной треугольной призмы
Решение.
Задача 3 В правильной шестиугольной призме все ребра которой равны 1, найдите косинус угла между прямыми и
Решение.
Координаты правильной шестиугольной призмы
Решение.
Задача 4 В правильной четырехугольной пирамиде SABCD , все ребра которой равны 1 , отмечены точки Е и F – середины сторон SB и SC соответственно. Найдите угол между прямыми AE и BF .
Решение.
Координаты правильной четырехугольной пирамиды
Решение.
Е - середина SB
F - середина SC
Задача 5 Составить уравнение плоскости, проходящей через точки А(-2;3;5), В(4;-3;0), С(0;6;-5) и найти координаты вектора нормали.
Решение.
Задача 6 В правильной четырехугольной пирамиде SABCD , все ребра которой равны 1 , найдите угол между прямой DE, где Е - середина апофемы SF грани ASB и плоскостью ASC
Решение.
- вектор нормали плоскости
- направляющий вектор прямой
- вектор нормали плоскости
- направляющий вектор прямой DE
Задача 7 В правильной четырехугольной пирамиде SABCD , все ребра которой равны 1 , найдите расстояние от середины ребра ВС до плоскости SCD
Решение.
Решение.
Задача 8 В единичном кубе найдите угол между плоскостями и , где Е – середина ребра , а F – середина ребра
Решение.
Уравнение плоскости
Вектор нормали плоскости
Уравнение плоскости
Вектор нормали плоскости
Задачи для самостоятельного решения
- В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD с основанием
ABCD точка М – середина ребра SA, точка К – середина ребра SC.
Найдите угол между плоскостями МВК и АВС, если АВ=4, SC=7.
2. Основанием пирамиды SABC является равносторонний треугольник ABC, сторона которого равна 2√2. Боковое ребро SC перпендикулярно плоскости основания и равно 1. Найдите угол между скрещивающимися прямыми, одна из которых проходит через точку S и и середину ребра ВC, а другая проходит через точку C и середину ребра AB.