Метод рационализации

Метод рационализации

Цель исследовательской работы:

Изучение теоретического обоснования метода рационализации.

Задачи:

1. Изучить теоремы, которые позволяют заменять сложные выражения на более простые;

2. Рассмотреть примеры применения метода рационализации при решении логарифмических, показательных неравенств;

История метода рационализации

Метод рационализации неравенств известен около 50 лет, встречался под названиями:

• метод декомпозиции,
• метод замены множителей,
• обобщение метода интервалов.

• Метод рационализации позволяет перейти от неравенства содержащего сложные логарифмические и показательные выражения к равносильному ему рациональному неравенству.
• Метод используется при решении неравенств с переменным основанием логарифма и позволяет решать неравенства такого вида без перехода к равносильной совокупности систем, решение которой является достаточно трудоёмким и требующим большого количества времени.

Сведение логарифмического неравенства к системе рациональных неравенств

Рассмотрим логарифмическое неравенство вида

-некоторые функции.

где

Стандартный метод решения такого неравенства предполагает разбор двух случаев на области допустимых значений неравенства.

В первом случае , когда основания логарифмов удовлетворяют условию

знак неравенства меняется:

Во втором случае , когда основание удовлетворяет условию

знак неравенства сохраняется:

На первый взгляд – все логично, рассмотрим два случая и потом объединим ответы. Правда, при рассмотрении второго случая приходится на 90 процентов повторять выкладки из первого случая (преобразовывать, находить корни вспомогательных уравнений, определять промежутки монотонности знака). Возникает естественный вопрос – можно ли все это как-нибудь объединить, рационализировать?

Ответ на этот вопрос содержится в следующей теореме.

Теорема 1. Логарифмическое неравенство

равносильно следующей системе неравенств :

Частные случаи:

1.

2.

3.

4.

5 .

, h

Сведение показательного неравенства к системе рациональных неравенств

Теперь рассмотрим показательное неравенство вида

- некоторые функции.

И снова вспомним, что традиционное решение такого неравенства приводит к двум случаям . В первом основание степени положительно, но меньше единицы (знак неравенства меняется), во втором случае основание степени больше единицы (знак неравенства сохраняется).

Как и в случае с логарифмическим неравенством, имеется возможность значительно укоротить решение задачи, используя метод рационализации. Этот метод основан на следующей теореме.

Теорема 2. Показательное неравенство

равносильно следующей системе неравенств :

1.

3 .

4.

, Заметим также, вторая и третья строчки таблицы — следствия первой. " width="640"

• где f и g— функции от х,
• h— функция или число,
• V— один из знаков ≤, ,

Заметим также, вторая и третья строчки таблицы — следствия первой.

Примеры решения неравенств

1. Решите неравенство:

2. Решите неравенство:

+ - +

-5 -1

3. Решите неравенство:

-_ + -_ + х

0