Метод рационализации

Министерство образования и науки Республики Бурятия

Муниципальное автономное образовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа №5 г.Закаменск»

Школьная научно-практическая конференция «Шаг в будущее»

Секция «Алгебра»

Метод рационализации

Выполнила: Злыгостева Виктория

Ученица 11 «б» класса

Руководитель: Дашеева С.С.

Г. Закаменск

2017год

Содержание

1. Введение...............................................................................................

2. Сведение логарифмического неравенства к системе рациональных неравенств............................................................................................

3. Сведение показательного неравенства к системе рациональных неравенств............................................................................................

4. . Примеры решения неравенств методом рационализации.........

5. Заключение..........................................................................................

6. Литература...........................................................................................

I. Введение

Решение неравенств - важный раздел в математике. Успешное изучение математики невозможно без умения решать разнообразные неравенства, поэтому я решила взять в качестве темы научно-исследовательской работы один из способов решения неравенств – метод рационализации. Разбирая решения сложных неравенств, я увидела, что при решении применяется способ, сильно облегчающий решение. Решив, изучить его подробнее, я выяснила, что этот метод известен уже около 50 лет и в разных источниках фигурирует под названиями «метод декомпозиции», «метод замены множителей», «обобщенный метод интервалов», «метод рационализации». В школьной программе он не изучается, но его применение значительно облегчает решение заданий ЕГЭ задания №15, в частности логарифмических, показательных неравенств.

Цель исследовательской работы:

Изучение теоретического обоснования метода рационализации.

Задачи:

1. Изучить теоремы, которые позволяют заменять сложные выражения на более простые;

2. Рассмотреть примеры применения метода рационализации при решении логарифмических, показательных неравенств;

3. Найти примеры неравенств, которые могут быть решены методом рационализации.

Актуальность работы заключается в том, что данный метод позволяет успешно решать логарифмические и показательные неравенства задания №15 ЕГЭ по математике.

Здесь будет выводиться история переписки.

В основе методов решения рациональных неравенств лежит очевидный факт: непрерывная функция на отрезке между двумя нулевыми значениями не изменяет знак (положительна или отрицательна). Некоторые элементарные свойства многочленов, связанные с понятием кратного корня, позволяют быстро установить знак дробно-рациональной функции на каждом таком интервале монотонности. Заметим, что в общем случае требуется вычислять значения функции в «пробных» точках на каждом интервале, что более трудоемко.

Я рассмотрю примеры логарифмических и показательных неравенств, у которых основание, выражение под знаком логарифма, степень – многочлены. Оказывается, такие неравенства эффективно сводятся к дробно-рациональным или рациональным, причем (что важно, например, на ЕГЭ) полученные решения будут более компактными по сравнению с традиционными.

II. Сведение логарифмического неравенства к системе рациональных неравенств

Рассмотрим логарифмическое неравенство вида

, (1)

где - некоторые функции.

Стандартный метод решения такого неравенства предполагает разбор двух случаев на области допустимых значений неравенства.

В первом случае, когда основания логарифмов удовлетворяют условию

, знак неравенства меняется: .

Во втором случае, когда основание удовлетворяет условию , знак неравенства сохраняется: .

На первый взгляд – все логично, рассмотрим два случая и потом объединим ответы. Правда, при рассмотрении второго случая приходится на 90 процентов повторять выкладки из первого случая (преобразовывать, находить корни вспомогательных уравнений, определять промежутки монотонности знака). Возникает естественный вопрос – можно ли все это как-нибудь объединить, рационализировать?

Ответ на этот вопрос содержится в следующей теореме.

Теорема 1. Логарифмическое неравенство

равносильно следующей системе неравенств:

(2)

Доказательство. Начнем с того, что первые четыре неравенства системы (2) задают множество допустимых значений исходного логарифмического неравенства. Обратим теперь внимание на пятое неравенство. Если , то первый множитель этого неравенства будет отрицателен. При сокращении на него придется изменить знак неравенства на противоположный, тогда получится неравенство . Если же , то первый множитель пятого неравенства положителен, сокращаем его без изменения знака неравенства, получаем неравенство . Таким образом, пятое неравенство системы включает в себя оба случая предыдущего метода. Терема доказана.

Частные случаи:

, h

III. Сведение показательного неравенства к системе рациональных неравенств

Теперь рассмотрим показательное неравенство вида

(3)

Так же, как в предыдущем пункте, - некоторые функции.

И снова вспомним, что традиционное решение такого неравенства приводит к двум случаям. В первом основание степени положительно, но меньше единицы (знак неравенства меняется), во втором случае основание степени больше единицы (знак неравенства сохраняется).

Как и в случае с логарифмическим неравенством, имеется возможность значительно укоротить решение задачи, используя метод рационализации. Этот метод основан на следующей теореме.

Теорема 2. Показательное неравенство

равносильно следующей системе неравенств:

(4)

Нетрудно заметить, что система (4) аналогична системе (2) из теоремы 1 (правда, в ней нет требования положительности степеней). Доказательство теоремы 2 легко получить теми же рассуждениями, что и в теореме 1.

IV. Примеры решения неравенств методом рационализации

1.Решите неравенство:

Ответ:

2.Решите неравенство:

-5 -1

+ - +

Ответ:

2.Решите неравенство:

0

-_ + -_ + х

Ответ:

Заключение

В ходе проделанной работы мне удалось изучить нестандартные методы решения сложных логарифмических и показательных неравенств. Это: равносильные переходы и обобщённый метод интервалов, метод рационализации, нестандартная подстановка, задания с ловушками на ОДЗ. В школьной программе эти методы отсутствуют.

Литература.

1. Дорофеев Г.В. Обобщение метода интервалов. Математика в школе.1989г, №3.

2. Яковлев И.В. Материалы по математике. MathUs.ru

3. Интернет-ресурсы, сайт «Решу ЕГЭ».

4. Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Интернет – ресурс: http://alexlarin.net/ege/2017/

5. ЕГЭ-2017: Математика: самое полное издание типовых вариантов / авт.-сост. И.В. Ященко, И.Р. Высоцкий; под ред. А.Л. Семенова, И.В. Ященко. – М.: АСТ: Астрель, 2016. -123 с. – (Федеральный институт педагогических измерений).

6. Экзаменационные задания: http://alexlarin.net