Метод решения задач на смеси и сплавы

Изучение понятия «концентрация».

Перед тем, как приступить к изучению различных способов решения задач на смеси, сплавы- рассмотрим некоторые основные допущения:

- все получающиеся сплавы или смеси однородны.

-при решении этих задач считается, что масса смеси нескольких веществ равна сумме масс компонентов, что отражает закон сохранения массы.

Определение. Процентным содержанием (концентрацией) вещества в смеси

называется отношение его массы к общей массе всей смеси.

Это отношение может быть выражено либо в дробях, либо в процентах. Например, если мы в 120 г воды добавим 30 г поваренной соли , то общая масса раствора станет 150 г, а концентрация соли в растворе 30:150= 0,2 - дробью или 20%. Оба ответа приемлемы.

Иногда концентрация может быть определена и по объёму. Например, если в смеси из 20 куб.м находится 5 куб.м вещества «а», то его объёмная концентрация равна 5:20=0,25 – в дробях или 25%. Но, как показывает практика, не всегда сумма объёмов смешиваемых веществ равна объёму их смеси. Поэтому чаще всего мы будем находить процентное содержание по массе.

Концентрация – это безразмерная величина. Сумма массовых долей всех компонентов, составляющих смесь, очевидно, равна единице.

Этапы решения задач:

Для начала определим, что такое задача:

1. Задача – это требование или вопрос, на который надо найти ответ, опираясь или учитывая те условия, которые в ней указаны.

2. Любая задача состоит из трёх частей: условие, объект, требование (вопрос) задачи.

3. Приступая к решению какой-либо задачи, надо её внимательно изучить, установить, в чем состоят её требования, каковы условия, исходя из которых надо её решать. Всё это называется - анализом задачи.

Весь процесс решения задачи можно разделить на восемь этапов:

1-й этап: анализ

2-й этап: схематическая запись

3-й этап: поиск способа решения

4-й этап: осуществление решения

5-й этап: проверка решения

6-й этап: исследование задачи

7-й этап: формулировка ответа

8-й этап: анализ решения.

Но чтобы решить задачу, нужно определить её вид и тип. По отношению к теории существует два вида задач: стандартные и нестандартные.

Сначала рассмотрим стандартный вид. Это задачи, для которых имеются общие правила и положения, определяющие точную программу их решения. Сам процесс решения имеет следующие особенности:

1. Анализ сводится к установлению вида, к которому относится задача.

2. Поиск решения состоит в составлении последовательности шагов решения задач этого вида.

3. Само решение стандартной задачи состоит в применении этой общей программы к её условиям.

Но всё-таки, чтобы правильно решать такие задачи, в первую очередь надо определить её вид.

Теперь рассмотрим нестандартные задачи. Исходя из определения стандартных задач, для них не имеется общих правил и положений. Процесс решения любой нестандартной задачи состоит в последовательном применении двух основных операций:

1) переформулировка нестандартной задачи к другой, ей эквивалентной, но уже стандартной.

2) разбиение нестандартной задачи на несколько стандартных подзадач.

Подробнее рассмотрим задачи на смеси и сплавы.

Довольно часто приходится смешивать различные жидкости, порошки, разбавлять что-либо водой или наблюдать испарение воды. В задачах такого типа эти операции приходится проводить мысленно и выполнять расчёты.

Задача 1. Имеется два сплава меди и свинца. Один сплав содержит 15% меди, а другой 65% меди. Сколько нужно взять каждого сплава, чтобы получилось 200г сплава, содержащего 30% меди?

Изобразим каждый из сплавов в виде прямоугольника, разбитого на два фрагмента (по числу составляющих элементов). Кроме того, на модели отобразим характер операции – сплавление, поставим знак «+» между первым и вторым прямоугольниками. Поставив знак «=» между вторым и третьим прямоугольниками, мы тем самым показываем, что третий сплав получен в

результате сплавления первых двух. Полученная схема имеет следующий вид:

Теперь заполняем получившиеся прямоугольники в соответствии с условием задачи:

1. Над каждым прямоугольником («маленьким») указываем соответствующие компоненты сплава. При этом обычно бывает достаточно использовать первые буквы их названия (если они различны). Удобно сохранять порядок соответствующих букв.

2. Внутри прямоугольников вписываем процентное содержание (или часть) соответствующего компонента. Понятно, что если сплав состоит из двух компонентов, то достаточно указать процентное содержание одного из них.

3. В этом случае процентное содержание второго компонента равно разности 100% и процентного содержания первого.

4. Под прямоугольником записываем массу (или объем) соответствующего сплава (или компонента).

Рассматриваемый в задаче процесс можно представить в виде следующей модели- схемы:

медь

свинец

медь

свинец

свинец

медь

65%

=

+

30%

15%

200г

Решение.

1-й способ. Пусть хг – масса первого сплава. Тогда, (200-х)г – масса второго сплава. Дополним последнюю схему этими выражениями. Получим следующую схему:

Сумма масс меди в двух первых сплавах (то есть слева от знака равенства) равна массе меди в полученном третьем сплаве (справа от знака равенства):

Решив это уравнение, получаем х=140. При этом значении х выражение 200-х=60. Это означает, что первого сплава надо взять140г, а второго-60г.

Ответ:140г. 60г.

2-й способ. Пусть х г и у г – масса соответственно первого и второго сплавов, то есть пусть исходная схема имеет вид:

Легко устанавливается каждое из уравнений системы двух линейных уравнений с двумя переменными:

Решение системы приводит к результату: Значит, первого сплава надо взять 140 г, а второго-60 г.

Ответ: 140г,60г.

Задача 2. В 4кг сплава меди и олова содержится 40% олова. Сколько килограммов олова надо добавить к этому сплаву, чтобы его процентное содержание в новом сплаве стало равным 70%?

Решение: Пусть х кг – искомое количество олова. Тогда масса полученного

сплава равна ( 4+х) кг. Составим схему и внесем эти выражения на схему:

Составим уравнение, подсчитав массу олова слева и справа от знака равенства на схеме. Получаем уравнение: (1), корнем которого служит

Отметим, что уравнение можно составить и на основе подсчета массы меди слева и справа от знака равенства. Для этого понадобится знать процентное содержание меди в данном и полученном сплавах. Внесем эти данные в схему:

В этом случае получаем следующее уравнение:

(2).

Уравнение (1) равносильно уравнению (2). В этом легко убедиться, решив последнее уравнение. Его корень равен 4. Обычно решают то уравнение, которое проще. В нашем случае разница не так заметна. Вместе с тем, второе уравнение содержит переменную только в одной (правой) части, и его обе части сразу можно разделить на 0,3. Поэтому предпочтение можно отдать второму уравнению.

Ответ:4кг.

Задача 3. К некоторому количеству сплава меди с цинком, в котором эти металлы находятся в отношении 2:3, добавили 4 кг чистой меди. В результате получили новый сплав, в котором медь и цинк относятся как 2:1. Сколько килограмм нового сплава получилось?

Решение.

Прежде чем составлять схему, уточним, что в первом сплаве медь составляет , а в полученном сплаве - . Обозначим массу полученного сплава х кг, и, внеся указанные части в соответствующие фрагменты схемы, получаем:

Нетрудно составить уравнение, подсчитав количество меди слева от знака

неравенства, и приравняв его к количеству меди, справа от него. Получаем

уравнение: Решив его, получаем искомое значение: х=9.

Замечание. Можно было составить уравнение на основе подсчета массы

цинка в обеих частях неравенства. Для этого внесем в схему необходимые данные:

1)если в первом сплаве медь составляет часть , то цинк – ;

2) если в полученном сплаве медь составляет часть , то цинк – .

Уравнение в этом случае имеет вид: Это уравнение равносильно предыдущему.

Ответ х=9кг.

Задача 4. Имеются три смеси, составленные из трех элементовA, B и С. В первую смесь входят только элементы А и В в весовом отношении 1:2, во вторую смесь входят только элементы В и С в весовом отношении 1:3, в третью смесь входят только элементы А и С в весовом отношении 2:1. В каком отношении нужно взять эти смеси, чтобы во вновь полученной смеси элементы А, В и С содержались в весовом отношении 11:3:8?

Решение.

Предшествующая работа позволяет школьникам без проблем составить одну из схем, где за х единиц веса, у единиц веса и z единиц веса обозначены соответственно вес первой, второй и третьей смеси.

Вторая схема может иметь вид:

Подсчет и уравнивание веса любых двух из трех компонентов рассматриваемых смесей приводит к системе двух уравнений с тремя переменными. Если рассмотрим компоненты А и В, то система имеет вид:

Решение этой системы может вызвать затруднения у школьников: количество уравнений (их два) меньше числа переменных (их три). Навести на решение поможет правило: составить выражение, значение которого надо найти по вопросу задачи. Это выражение имеет вид: x:y:z. Значит, для ответа на вопрос задачи совсем не обязательно находить значение каждой из переменных. Достаточно найти два отношения x:y и y:z или x:y и z:y. Для нахождения двух последних отношений разделим левую и правую части каждого уравнения на у (у≠0).Получаем систему:

Теперь система имеет два уравнения и две переменных: Целесообразно для удобства записей ввести новые переменные: Теперь система принимает вид:

В результате решения системы получаем: это означает,

что следовательно, искомое отношение имеет вид: x:y:z=3:4:15.

Ответ:3:4:15.

Задача 5. Имеется два сплава золота и серебра: в одном массы этих металлов находятся в отношении 2:3, а в другом – в отношении 3:7. Сколько килограммов нужно взять от каждого сплава, чтобы получить 8 кг нового сплава, в котором золото и серебро находились бы в отношении 5:11?

Решение:

Золото серебро Золото серебро золото серебро

Х кг ( 8-х) кг 8 кг

Условно разделим сплав на золото и серебро.

Пусть х кг масса куска, взятого от первого сплава. Тогда масса куска, взятого от

второго сплава (8 – х) кг.

Масса золота в первом куске

Масса золота во втором куске

Масса золота в новом сплаве

Получим уравнение

1 кг нужно взять от первого сплава.

8 – 1 = 7 (кг) – от второго сплава.

Ответ: 1кг; 7 кг.

Задача 6. Имеются два слитка сплава серебра и олова. Первый слиток содержит 360г серебра и 40г олова, а второй слиток – 450г серебра и 150г олова. От каждого слитка взяли по куску, сплавили их и получили 200г сплава, в котором оказалось 81% серебра. Определите массу (в граммах) куска, взятого от второго слитка.

Решение:

Серебро олово серебро олово серебро олово

Х 200-х 200

Первый слиток имеет вес 400 г, второй – 600 г.

серебра в первом слитке (соответственно и в первом куске).

серебра во втором слитке (соответственно и во втором куске).

Пусть х г масса куска, взятого от первого слитка, а (200-х)г – от второго.

0,9х (г) – серебра в первом куске;

0,75(200-х) (г)- серебра во втором, тогда получим уравнение

0,9х +0,75(200-х)=0,81*200

0,9х+150-0,75х=162

0,15х=12

Х=80г от первого куска, тогда 200-80=120 г от второго.

Ответ: 120 грамм.

Задача 7. Для консервирования 10 кг баклажан необходимо 0,5 л столового уксуса (10 % раствор уксусной кислоты). У хозяйки имеется уксусная эссенция (80 % раствор уксусной кислоты), из которой она готовит уксус, добавляя в нее воду. Сколько миллилитров уксусной эссенции понадобится хозяйке для консервирования 20 кг баклажан?

Решение.

Для консервирования 20кг баклажан понадобится 1л или 1000мл столового уксуса (10% раствор уксусной кислоты). Для получения его из х мл уксусной

эссенции (80% раствор уксусной кислоты) необходимо добавить воду, тогда схема для решения задачи имеет вид:

Составим уравнение, подсчитав количество уксусной кислоты слева от знака неравенства, и приравняем его к количеству уксусной кислоты справа от него. Получаем уравнение

Значит, для приготовления 500мл маринада понадобится 125мл уксусной эссенции (80% раствор уксусной кислоты).

Ответ:125мл.

Задача 8. Свежие абрикосы содержат 80 % воды по массе, а курага (сухие

абрикосы) – 12 % воды. Сколько понадобится килограммов свежих абрикосов, чтобы получить 10 кг кураги?

Решение.

При высыхании абрикос испаряется вода, количество сухого вещества не меняется. Схема для решения такой задачи имеет вид:

Составим уравнение, подсчитав количество сухого вещества в левой и правой части схемы:

0,2х=8,8

х=44.

Ответ:44кг.

Задача 9. Влажность сухой цементной смеси на складе

составляет 18%. Во время перевозки из-за дождей влажность смеси повысилась на 2%. Найдите массу привезенной смеси, если со склада было отправлено 400 кг.

Вода с.в вода вода с.в

400 кг х кг

Решение:

400*0,82= 0,8*х

328=0,8х

Х=410 кг

Ответ: 410 кг.

Анкетирование

В ходе научного исследования мной было проведено анкетирование учащихся 9-11 классов МБОУ «Гимназия №25» . Всего опрошено 92 человека. Всем предлагалось ответить на следующие вопросы:

1.Вызывают ли у Вас затруднения решение задач на концентрацию и совместную работу?

2.Знаете ли Вы способы решения данных задач?

Цель данного опроса:

Узнать степень подготовки учащихся по теме: «Решение текстовых задач на концентрацию, смеси, сплавы».

Результаты анкетирования:

- Все участники опроса испытывают затруднения при рассмотрении решений задач данного типа;

- Лишь 33 % из 92 опрошенных ознакомлены со способами решения данных задач.

Проанализировав результаты анкетирования, я пришла к выводу, что большая часть учащихся 9-11 класса, а именно 67 %, не может решать задачи на концентрацию , смеси и сплавы, и поэтому при встрече таких задач на ЕГЭ они могут потерять драгоценные для себя балы. По этой причине были проведены несколько ознакомительных занятий в 9-11х классах по теме: «Решение текстовых задач части «В» на ЕГЭ на концентрацию, смеси и сплавы». На данных занятиях учащимся были предложены задачи по этой теме, с помощью которых мной были раскрыты основные понятия, встречающиеся в задачах, и представлены основные формулы, необходимые для их решения, был проиллюстрирован общий алгоритм решения, а также наиболее наглядный и удобный способ записи условий таких задач.

Анкетирование учащихся-выпускников (Сентябрь 2012г).

Итоги тестирования учащихся 9-х классов в октябре-декабре 2012 и январь 2013 г по теме: «Задачи на смеси, сплавы»

Итоги тестирования учащихся 11-х классов в октябре-декабре 2012 и январь 2013 г по теме: «Задачи на смеси, сплавы»

Выводы

В ходе научного исследования мной были решены следующие цели и задачи:

1.Ознакомила учащихся со способами решений задач;

2.Провела выборочный анкетный опрос среди учащихся «Гимназия №25»;

3.Рассмотрела методы решения задач на смеси и сплавы ;

4.Выработала следующий алгоритм решения задач на смеси и сплавы:

1.Изучить условия задачи.

2.Выбрать неизвестные величины (их обозначают буквами х, у и т.д.), относительно которых составить уравнение или систему уравнений, этим, мы создаем математическую модель ситуации, описанной в условии задачи.

3.Используя условия задачи, определить все взаимосвязи между данными величинами.

4.Составить математическую модель задачи и решить ее.

5.Изучить полученное решение, провести критический анализ результата.

Таким образом, данная научная работа имеет практическое значение, так как может служить одним из способом решения задач на смеси и сплавы при подготовке к сдаче экзаменов.

Список литературы:

1.Галицкий М.Л Сборник задач по алгебре

2.Говоров В.М. Сборник задач для поступающих в вузы

3.Сикарский К.П. дополнительные главы по курсу математики.

4.Шабунин М.И. Математика для поступающих в Вузы

5.Шарыгин И.Ф. Решение задач. Факультативный курс по математики.

6. uztest.ru(сайт для подготовки к ЕГЭ)

7..Типовые тестовые задания/ Под ред. А. Л. Семенова, И. В. Ященко – Москва: Экзамен, 2012.

8. Алгебра 7класс. В двух частях.

Часть 1:Учебник для общеобразовательных учреждений.

Часть 2:Задачник для общеобразовательных учреждений.

Авторы: А.Г.Мордкович, Т.Н Мишустина, Е.Е.Тульчинская. М.Мнемозина, 2008год.

9. Алгебра 8класс. В двух частях.

Часть 1:Учебник для общеобразовательных учреждений.

Часть 2:Задачник для общеобразовательных учреждений.

Авторы: А.Г.Мордкович, Т.Н Мишустина, Е.Е.Тульчинская. М.:Мнемозина, 2008год.

10. Часть 1 Алгебра. Углубленное изучение. 8 класс.Учебник.

Автор: А.Г. Мордкович М.:Мнемозина, 2006год.

Часть 2 Алгебра. Углубленное изучение. 8 класс Задачник к учебнику А.Г.Мордковича.

Авторы: Л.И.Звавич, А.Р.Рязановский М.:Мнемозина, 2006год.

11. Алгебра 9 класс. В двух частях. Часть 1:Учебник для общеобразовательных

учреждений

Часть 2:Задачник для общеобразовательных учреждений.

Список Интернет ресурсов:

1."http://festival.1september.ru/"http://festival.1september.ru

2. "http://schoolmathematics.ru/"http://schoolmathematics.ru

3. "http://uztest.ru/"http://uztest.ru

http://www.alhimikov.net

4. "http://www.integral.edusite.ru/"http://www.integral.edusite.ru

ПРИЛОЖЕНИЕ.

1. Бронза – сплав меди и олова. В древности из бронзы отливали колокола, если в ней содержалось 75% меди. К куску бронзы 500кг и содержащему 72% добавили некоторое количество бронзы, содержащей 80% меди и получили бронзу, необходимую для изготовления колокола. Определите сколько добавили 80% бронзы.

Ответ:300кг.

1. В лаборатории изготовили 1кг 16% солевого раствора. Через неделю из этого раствора испарилось 200г воды. Какова стала концентрация соли в растворе?

Ответ:20%.

3.. Имеются два сплава, в одном из которых содержится 10%, а в другом – 20% меди. Сколько нужно взять первого и второго сплавов, чтобы получить 15 кг нового сплава, содержащего 14% меди?

Ответ: 9 кг и 6 кг.

4.Имеется 600г сплава золота и серебра содержащего золото и серебро в отношении 1:5 соответственно. Сколько грамм золота необходимо добавить к этому сплаву чтобы получить новый сплав содержащий 50% серебра.

Ответ:400г.

5.Имелось два слитка меди. Процент содержания меди в первом слитке на 40% меньше, чем во втором. После того как оба слитка сплавили, получился слиток, содержащий 36% меди. Найдите процентное содержание меди в каждом слитке, если в первом было 6 кг меди, а во втором — 12 кг.

Ответ:20% и 60%

6. Сколько чистого спирта нужно добавить к 735 г 16%-ного раствора йода и спирта, чтобы получить 10%-ный раствор?

Ответ:441г.

7. Смешали 30%-ный раствор соляной кислоты с ее 10%-ным раствором и получили 600 г 15%-ного раствора. Сколько граммов 30 % -ного раствора было взято?

Ответ:150г.

1. Имеются два слитка, состоящие из цинка, меди и олова. Известно, что первый слиток массой 150 кг содержит 40% олова, а второй массой 250 кг — 26% меди. Процентное содержание цинка в обоих слитках одинаково. Сплавив первый и второй слитки, получили сплав, в котором оказалось 30% цинка. Сколько килограммов олова содержится в полученном сплаве?

Ответ:170 кг.

9.Имеются два сплава, состоящие из меди, цинка и олова. Известно, что первый сплав содержит 25% цинка, а второй — 50% меди. Процентное содержание олова в первом сплаве в 2 раза меньше, чем во втором. Сплавив 200 кг первого сплава и 300 кг второго, получили новый сплав, в котором оказалось 28% цинка. Определите, сколько килограммов меди содержится в получившемся новом сплаве.

Ответ: 280 кг.

10. Сплав весит 2 кг и состоит из серебра и меди, причем вес серебра составляет 14 % веса меди. Сколько серебра в данном сплаве?

Ответ:0,25 кг.

11. Имелись два разных сплава меди, причем процент содержания меди в первом сплаве был на 40% меньше, чем во втором. После того как их сплавили вместе, получили сплав, содержащий 36% меди. Определите процентное содержание меди в обоих сплавах, если известно, что в первом ее 6 кг, а во втором — вдвое больше.

Ответ:20% и 60%.

12.Два раствора, первый из которых содержал 800 г, а второй 600 г безводной серной кислоты, смешали и получили 10 кг нового раствора серной кислоты. Определите массу первого и второго растворов, вошедших в смесь, если известно, что процент содержания безводной серной кислоты в первом растворе на 10% больше, чем во втором.

Ответ:4кг и 6 кг.

13.Свежие грибы по весу содержат 90% воды, а сухие 12% воды. Сколько получится сухих грибов из 22 кг свежих?

Ответ:2,5 кг

14. Один сплав меди с оловом содержит эти металлы в отно­шении 2:3, другой — в отношении 3 : 7. В каком количестве надо взять эти сплавы, чтобы получить 12 кг нового сплава, в котором медь и олово были бы в

отношении 3:5?

Ответ: 9кг и 3кг.

15. 40% раствор серной кислоты разбавили 60% раствором, после чего добавили 5кг воды и получили раствор 20% концентрации. Если бы вместо 5кг воды добавили 5 кг 80% раствора серной кислоты, то получился бы 70% раствор. Сколько было 40% и 60% раствора серной кислоты?

Ответ: 1кг 40% и 2кг 60%..

16. В сосуд, содержащий 5 литров 12 процентного водного раствора некоторого вещества, добавили 7 литров воды. Сколько процентов составляет концентрация

получившегося раствора?

Ответ: 5%

17.Сколько литров воды нужно добавить в 2 л водного раствора, содержащего 60% кислоты, чтобы получить 20 процентный раствор кислоты?

Ответ: 4 л.

18. Смешали 4 литра 15 процентного водного раствора

с 6 литрами 25 процентного водного раствора этого же вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

Ответ: 21%

19. Сколько надо взять 5 процентного и 25 процентного раствора кислоты, чтобы получить 4 л 10 процентного раствора кислоты?

Ответ: 1 л, 3 л.

20. В сосуд емкостью 6л налито 4л 70% раствора серной

кислоты. Во второй сосуд той же емкости налито 3л 90% раствора серной кислоты. Сколько литров раствора нужно перелить из второго сосуда в первый, чтобы в нем получился 74% раствор серной кислоты? Найдите все допустимые значения процентного содержания раствора серной кислоты в 6л раствора в первом сосуде.

Ответ: 1;

21. Первый сплав содержит 10% меди, второй – 40% меди. Масса второго сплава больше массы первого на 3кг. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 30% меди. Найдите массу третьего сплава. Ответ дайте в килограммах.

Ответ: 9 кг.

22. Имеется два сплава золота и серебра: в одном массы этих металлов находятся в отношении 2:3, а в другом – в

отношении 3:7. Сколько килограммов нужно взять от каждого сплава, чтобы получить 8 кг нового сплава, в котором золото и серебро находились бы в

отношении 5:11?

Ответ: 1кг; 7 кг.

23. Имеется два сплава. Первый содержит 10% никеля, второй- 30% никеля. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой 200 кг, содержащий 25% никеля. На сколько килограммов масса первого сплава меньше массы второго?

Ответ: на 100 кг.

24. При смешивании 30 процентного раствора серной кислоты с10 процентным

раствором серной кислоты получилось 400 г 15 процентного раствора. Сколько граммов 30 процентного раствора было взято?.

Ответ:100 г.

25. Имеются два слитка сплава серебра и олова. Первый слиток содержит 360г серебра и 40г олова, а второй слиток – 450г серебра и 150г олова. От каждого слитка взяли по куску, сплавили их и получили 200г сплава, в котором оказалось 81% серебра. Определите массу (в граммах) куска, взятого от второго слитка.

Ответ: 120 г.

26. Первый раствор содержит 40% кислоты, а второй - 60% кислоты. Смешав эти растворы и добавив 5 л воды, получили 20 процентный раствор. Если бы вместо воды добавили 5 л 80 процентного раствора, то получился бы 70 процентный раствор. Сколько литров 60 процентного раствора кислоты было первоначально?

Ответ: 2 л.