Методическая разработка по алгебре на тему "Линейные уравнения"

ШАЙДУЛЛОВА АЛЬФИЯ МУХЛИСУЛЛОВНА УЧИТЕЛЬ МАТЕМАТИКИ ШКОЛЫ №57 г. КАЗАНИ

Линейные уравнения

Устные

упражнения

Теоретический

материал.

Задачи

Самостоятельная

работа

ЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Определение. Уравнение вида ах=в,

х -переменная,

а и в – некоторые числа,

называется

линейным уравнением

с одной переменной.

5х=8,

4х-15=х+15,

2х+3=2х+8,

2х+5=2(х+1)+11.

Корнем уравнения называется значение переменной, при котором уравнение обращается в верное равенство.

Решить уравнение – значит найти все его корни или доказать, что корней нет.

Линейное уравнение ах=в , имеет

1) Один корень, при а ≠0, х=в/а;

2)Не имеет корней, при а=0, в≠0;

3)Бесконечно много решений, при а=0, в=0

0х=0.

При решении уравнений используются следующие свойства.

Если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую, изменив его знак,

то получится уравнение, равносильное данному;

Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильному данному.

Устная работа 1

• Является ли число 7 корнем уравнения

2х-5=х+2

• Приведите пример уравнения, равносильного уравнению

5х-4=6

• Является ли корнем уравнения

х 2 -1=0 число

-2, -1, 0, 1, 2.

• Равносильны ли уравнения

а) -3(х-5)=11 и 3(х-5)=-11,

б) 2х-1=17 и 2х=17-1 ?

да

5х=10

-1, 1

да

нет

Устная работа 2

1. Составить линейное уравнение, корнем которого является число

а) 3, б) 0.

2. Найдите корень уравнения

а) 7х=-14

б) –х=4

в) 0,3х=9

г) 3х=0

3. Решите уравнение

а) 5х-3х=4

б) 15х-15х=0

в) 6х-6х=7

6х-1=17

5х=0

-2

-4

10

0

2

х-любое число

нет корней

Устная работа 3

1. Решите уравнение

а) -8х=-24, в)9х-11=20,

б)-2х=-14, г)8х+3=8х+7.

2. При каких значениях а уравнение ах=8,

1)имеет корень, равный -4, 0, 1/7,

2)не имеет корней,

3)имеет отрицательный корень?

3. Выразите каждую из букв, входящих в формулу, через остальные:

а) Vt=S;

б) mq=P;

в) m=pV

Устная работа 4

1.Решите уравнение

а) 0,5х+0,15=0,

б) 7х-4=х-16,

в) 1,3 p -11=0,8 p +5.

2. Решит ь задачу.

У троих братьев оказалось вместе 9 карандашей.

У младшего на один карандаш меньше, а у старшего на один карандаш больше, чем у среднего. Сколько карандашей у каждого из братьев?

Устная работа 5

1.Составить уравнение по условию задачи

а) В одной бригаде на 5 рабочих больше, чем во второй. Сколько рабочих в каждой бригаде, если всего в двух бригадах 77 человек?

б)Длина прямоугольника в два раза больше ширины, а его периметр равен 138см. Найдите размеры прямоугольника.

2. Решите уравнение

а) 5-2х=0

б) х-8=-4х-9.

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ С ПОМОЩЬЮ УРАВНЕНИЙ

1.Обозначают некоторое неизвестное число буквой Х, используя условие задачи,

2.Составляют уравнение,

3.Решают это уравнение,

4.Истолковывают полученный результат в соответствии с условием задачи.

Задачи

1.В двух корзинах 16,8 кг помидоров.

В одной корзине в 2 раза больше помидоров, чем в другой.

Сколько килограммов помидоров

в каждой корзине?

2.Для компота нужно 2,7 кг смеси сухофруктов:8частей (по массе) сухих

яблок, 4 части урюка, 3 части изюма.

Сколько килограммов каждого из сухофруктов нужно взять?

Прикладные задачи

Задачи для социально-экономического профиля

Задача1.

При цене билета на футбольный матч в 450 руб. на стадион вместимостью 40 тыс. человек пришло 5 тыс. зрителей. При снижении цены билета до 200 руб. на матч с участием тех же команд число болельщиков увеличилось до 30 тыс. человек. Определите, какую цену на билет должна установить администрация стадиона , чтобы во время игры данных команд стадион был заполнен полностью.

РЕШЕНИЕ

На основе анализа статистических данных было установлено, что спрос на билеты задаётся линейной функцией.

п (тыс.) – количество купленных билетов

р – цена одного билета

Функция спроса на билеты имеет вид п = кр+в

р = 450, п = 5

Р = 200, п = 30.

450к + в = 5 к = -0,1

200к+ в = 30 в = 50.

Спрос на билеты описывает следующую функцию п = -0,1р + 50.

-0,1р + 50 = 40, п = 40, р = 100.

Ответ: 100руб.

Задача2.

Исследования рынка труда города М. показали, что на местном рынке труда низко квалифицированной рабочей силы функция спроса на труд имеет вид Р=5000-2п, а предложение труда характеризуется Р=1000+2п, где

п- размер ежемесячной зарплаты

Р – количество работников

Каковы равновесные значения зарплаты и численности работников на данном рынке труда?

Решение.

Равновесные значения заработной платы и уровня занятости на рынке труда низко квалифицированной рабочей силы найдём решив систему:

Р=5000-2п п=1000

Р=1000+2п Р=3000.

Следовательно, равновесный уровень заработной платы составляет 1000руб.

в месяц при численности

занятых 3000 человек.

Самостоятельная работа

Вариант А 1 Вариант А 2

1.Упростите выражения

а) (2а-3в)-(а-в), а) –(4в-а)+(5в-2а),

б) 5+2(х-1) б) 3+4(х-2).

2.Периметр прямоугольника 2. Периметр прямоугольника

равен 28см. Его длина больше равен 24см. Его ширина в 3 раза

ширины на 4см. Найдите длину меньше длины. Найдите длину

и ширину прямоугольника и ширину прямоугольника

3. Решите уравнения

а) 6х-10,2=4х-2,2, а) 8х-15,3=6х-3,3,

б)15-(3х-3)=5-4х, б)18-(6х+5)=4-7х,

в)2(х-0,5)+1=9, в)6(х+0,5)-3=9.

4.На первой полке в 3 раза больше 4. В первой корзине в 2 раза меньше

книг, чем на второй. Когда с первой яблок,чем во второй. Когда из

полки переставили на вторую 32 второй корзины переложили в

книги, на обеих полках книг стало первую 14 яблок, то в обеих

поровну. Сколько книг было на корзинах яблок стало поровну.

каждой полке первоначально? Сколько яблок было в каждой корзине первоначально?

Вариант Б 1 Вариант Б 2

1.Упростите выражения

а) 2а-(3в-а)+(3в-2а), а) 5х+(7у-х)-(3х+7у),

б) 6(а-2)-3(2а-5), б) 8(х-3)+4(5-2х).

2.Одна из сторон треугольника на 2см 2.Одна из сторон треугольника на 6см

меньше другой и в два раза меньше меньше другой и на 9см меньше третьей.

третьей. Найдите стороны треугольника, Найдите стороны треугольника

если его периметр равен 22см. если его периметр равен 33см

3. Решите уравнения

а)2х-4/7=0, а) 3х-6/11=0,

б)7(3х+1)-11х=2, б)4(2-4х)+6х=3,

в)11х=6-(4х+66), в)9х=5х-(72-2х).

4.В двух бригадах было одинаковое 4.В двух папках было одинаковое

количество рабочих. После того, как количество тетрадей. После того, как из

из первой бригады перевели во вторую второй папки переложили в первую 6

8 рабочих, в ней стало в 3 раза меньше тетрадей, в первой папке тетрадей стало

рабочих, чем во второй бригаде. в з раза больше, чем во второй.

Сколько рабочих было в каждой Сколько тетрадей было в каждой

бригаде первоначально? папке первоначально?

Вариант В 1 Вариант В 2

1.Упростите выражения

а) х-(2х+3)+(2-0,5х), а)1+(0,5х-3)-(1,5х-4),

б) 2+3(у-1/3)-2(0,5+у), б)1-4(1/2у+1)+(0,2-у).

2.Периметр треугольника АВС равен 2.Периметр треугольника АВС равен 21см

28см. Сторона ВС в 2раза больше стороны АВ в 2 раза меньше стороны ВС,

стороны АВ, а сторона АС на2см а сторона СВ на 4см больше стороны АС.

меньше стороны ВС. Найдите стороны треугольника.

Найдите стороны треугольника.

3. Решите уравнения

а)-(2х+0,1)=3(0,5-х), а)2(2,5х-1)=-(1,8-4х),

б)19х-(3х-4)=4(5х-1), б)10х-(2х-4)=4(3х-2),

в)4(0,25х-6)=8(0,125х+3), в)16(0,25х-1)=5(0,8х-3,2).

4.В первом бидоне в 5 раз больше 4. В двух пакетах было по 11 конфет.

молока, чем во втором. После того, После того, как из первого взяли в 3 раза

как из первого бидона перелили во больше конфет, чем из второго, в первом

второй 5 л, в первом бидоне стало пакете осталось в 4 раза меньше

в 3раза больше молока, чем во втором. конфет, чем во втором. Сколько

Сколько литров молока было в каждом конфет взяли из каждого пакета?

бидоне первоначально?

Проверка самостоятельной работы

С.р.

А 1

1а)

А 2

а-2в

1б)

2х+3

Б 1

-а+в

2

Б 2

а

4х-5

9;5

3а)

Х

3

В 1

4

9;3

3б)

В 2

-4

-1,5х-1

3в)

6

-13

5;7;10

-х+2

У

2/7

4

6;12;15

-9

4,5

-7у-2

6;12;10

96;32

2/11

1,5

-0,5

0,5

-4

1,6

28;56

5;10;6

2

-36

0,2

16

3

-

12

любое

50;10

9;3

Тесты 1

Вариант 1

1.Упростить выражение

(2а - 3в) - (а - в)

1) 3а - 4в, 2)а - 2в, 3)а + 2в

2.Решите уравнение

(х - 4)(1 + х) = 0

1)4; -1; 2) -4; -1; 3) 4;1.

3.Выразите из формулы p = переменную т

1) m = Vp ; 2) m = ; 3) m = ;

4. У Тани - а ромашек, у Мани - в ромашек, у Кати - с ромашек.

Когда Таня и Катя сложили свои ромашки вместе, оказалось,

что их в два раза больше, чем у Маши.

Составить формулу этой ситуации.

1) 2(а+с)=в , 2 ) а+с=2в , 3) а+с=в-2.

5. Решите уравнение

І х І =25 1) -25; 25; 2) 25; 3)-5; 5.

Вариант 2

1.Упростить выражение

- (4в - а) + (5в - 2а)

1) 3а + в, 2) 9в - 3а, 3) в - а.

2.Решите уравнение

(х + 3)(2 - х)=0

1)-3; -2; 2) -3; 2; 3) 3;-2.

3.Выразите из формулы p = переменную V

1) V = ; 2) V = mp ; 3) V = .

4. У Васи - т конфет, у Коли - п конфет, у Вити - к конфет.

Когда Вася и Коля сложили свои конфеты вместе, оказалось,

что их в три раза больше, чем у Вити.

Составить формулу этой ситуации.

1) т+п=к-3 , 2) т+п=3к , 3) 3(т+п)=к .

5. Решите уравнение

Іх І=49

1) 49; 2) -49; 49; 3)-7; 7.