Методическая разработка урока по теме: "Осевая и центральная симметрия"

Тема урока:

Математики о симметрии

Математик любит прежде всего симметрию

Максвелл Д.

Красота тесно связана с симметрией

Вейль Г.

Симметрия … является той идеей, посредством которой человек на протяжении веков пытался постичь и создать порядок, красоту и совершенство

Вейль Г .

Для человеческого разума симметрия обладает, по - видимому, совершенно особой притягательной силой

Фейнман Р

Точки А 1 и А 2 называются симметричными относительно

точки О, если О – середина отрезка А 1 А 2

А 1 О = ОА 2

Точка О – центр симметрии

N 1

А 2

M 1

О

О

Р

А 1

N

Свойство :

Фигуры, симметричные

относительно некоторой

точки, равны.

M

Q

Симметричность фигуры относительно точки

B

C

O

A

D

Определение

Фигура называется симметричной относительно точки , если для каждой точки фигуры симметричная ей точка также принадлежит этой фигуре.

Какие из данных фигур имеют центр симметрии?

Примерами фигур, обладающих центральной симметрией , являются окружность и параллелограмм

Окружность

• Параллелограмм

о

О

Примерами фигур, обладающих центральной симметрией

Правильный

шестиугольник

Параллелограмм

Окружность

о

О

Определение

Фигура называется симметричной относительно точки , если для каждой точки фигуры симметричная ей точка также принадлежит этой фигуре.

Алгоритм построения фигуры, симметричной относительно центра О

1.   Соединить точки A, B, C с центром O

  и продолжить эти отрезки; 2.  Измерить отрезки AO, BO, CO и

отложить от точки O, равные им отрезки OA 1 =OA; OB 1 =OB; OC 1 =OC; 3.  Соединить получившиеся точки

A 1 , В 1 , С 1 отрезками.  Получим  Δ  A 1 B 1 C 1 , симметричный данному Δ  ABC относительно центра О.

Практическая работа

С

• Постройте отрезок С 1 D 1 , симметричный отрезку С D относительно прямой а.

• Постройте треугольник M 1 N 1 K 1 , симметричный треугольнику MNK относительно точки O .

a

D

M

O

N

K

Практическая работа

С

• Постройте отрезок С 1 D 1 , симметричный отрезку С D относительно прямой а.

• Постройте треугольник M 1 N 1 K 1 , симметричный треугольнику MNK относительно точки O .

a

D

M

O

N

K

Практическая работа

С

a

D 1

• Постройте отрезок С 1 D 1 , симметричный отрезку С D относительно прямой а.

• Постройте треугольник M 1 N 1 K 1 , симметричный треугольнику MNK относительно точки O .

C 1

K 1

D

M

N 1

O

N

K

M 1

Алгоритм построения фигуры, симметричной относительно некоторой точки

В

Построение:

С

А

О

Построим треугольник А 1 В 1 С 1 , симметричный треугольнику АВС, относительно центра (точки) О.

А 1

С 1

В 1

Получили ∆А 1 В 1 С 1 симметричный ∆АВС.

Симметричность на координатной плоскости

y

y

A

A 1

A

B

B 1

B

C

D

C

C 1

x

x

D 1

C 1

B 1

A 1

Центральная симметрия

Алгоритм построения фигуры, симметричной относительно оси симметрии

• Провести из вершин Δ АВС прямые, перпендикулярные оси симметрии а, продолжить их на другой стороне оси а.
• Измерить расстояние от вершин Δ АВС до точек пересечения с осью симметрии а и отложить от оси симметрии равные им отрезки.
• Соединить получившиеся точки отрезками и получить Δ А 1 В 1 С 1 , симметричный Δ АВС относительно оси симметрии а.

а

А

А 1

В1

В

С

С 1

Точки А и А 1 называются симметричными относительно прямой а , если эта прямая проходит через середину отрезка АА 1 и перпендикулярна к нему.

b

N

М

А

М 1

а

А 1

N 1

Точка N симметрична N 1 , точка М симметрична М 1 относительно прямой b

а – ось симметрии

Симметричность точек относительно прямой

• Определение

Две точки А и А 1 называются симметричными относительно прямой а , если эта прямая проходит через середину отрезка АА 1 и перпендикулярна к нему.

• Задание

Постройте точку C 1 , симметричную точке C относительно прямой а.

O

A

a

C 1

Симметричность фигуры относительно прямой

a

b

А

B

M

K

c

C

N

P

D

Определение

Фигура называется симметричной относительно прямой , если для каждой точки фигуры симметричная ей точка также принадлежит этой фигуре.

Осевая симметрия

Центральная симметрия

Осевая симметрия

Симметрия вокруг нас.

Симметрия вокруг нас

Задача 1

Сколько осей симметрии имеют следующие геометрические фигуры? Изобразить оси симметрии

Задача 1

У геометрических фигур может быть одна или несколько осей симметрии, а может и не быть совсем.

Окружность имеет бесконечно много

осей симметрии,

все они являются диаметрами

Фигуры, не обладающие осевой симметрией

Параллелограмм

Разносторонний

треугольник

Задача 2 Какие из букв А, Б, Г, Е, Х, И, М, Н, О, Т, Я имеют:

а ) центр симметрии

б) ось симметрии

Задача 2 Какие из букв А, Б, Г, Е, Х, И, М, Н, О, Т, Я имеют:

а ) центр симметрии: Х, И, Н, О

б) ось симметрии: А, Е, Х, М, Н, О, Т

• Докажите, что прямая , содержащая биссектрису равнобедренного треугольника, проведенную к основанию, является осью симметрию
• Имеют ли центр симметрии отрезок, луч, пара пересекающихся прямых, квадрат
• Стороны параллелограмма равны 10 см и 3 см. Бисектриссы двух углов, прилежащих к большей стороне, делят противоположную сторону на три отрезка. Найдите эти отрезки .