Логарифмические неравенства

1. Число:

2. Тема урока: Логарифмические неравенства

3. Тип урока: урок ознакомления с новым материалом

4. Цель урока: познакомить учащихся с логарифмическими неравенствами, показать способы решения логарифмических неравенств.

5. Учебно-воспитательные задачи урока:

Образовательные

• Формирование умения и навыков решения логарифмических неравенств.

• Контроль уровня усвоения знаний и умений решения логарифмических неравенств, определения ОДЗ, вычислительных навыков.

Развивающие

• Развитие умений выделять главное, существенное в изученном материале

• Формирований умений пользоваться алгоритмом решения логарифмических неравенств

• Воспитательные

• воспитания интереса к предмету

• воспитание ответственного отношения к своему образованию.

1. Средства обучения: индивидуальные конспекты, записи на доске, учебник «Алгебра и начала математического анализа» 10-11 Ш.А.Алимов, Ю.М.Колягин, М.В.Ткачева, Н.Е.Федорова, М.И.Шабунин. М.: Просвещение, 2014.

2. План урока

8. Ход урока

I. Организационный момент. Приветствие учителя. Проверить готовность класса к уроку.

II. Сообщение темы и целей урока. На этом уроке речь пойдет о логарифмических неравенствах и их системах.

III. Объяснение нового материала.

Мы уже говорили о логарифмической функции и ее свойствах. Важным свойством, которым мы пользовались для решения логарифмических уравнений: монотонность.

Для   график логарифмической функции выглядит следующим образом:

 - возрастающая функция: чем больше  , тем больше  . Значит,  .

В отличие от уравнений, при решении логарифмических неравенств проверкой обойтись не удастся, поэтому необходимо учитывать ОДЗ: 

Объединяя, получаем:  .

Для   график логарифмической функции выглядит следующим образом:

 - убывающая функция: чем больше  , тем меньше  . Значит,  .

ОДЗ:  .

Объединяя, получаем: 

.

При решении логарифмических неравенств лучше всего начинать с проверки ОДЗ

Рассмотрим такой полезный факт: как быстро определить знак логарифма?

Рассмотрим два случая:

1)   : 

2)   : 

Таким образом,  , если   и   лежат по одну сторону от 1, и  , если   и   лежат по разные стороны от 1.

Основные виды логарифмических неравенств

1) Простейшие 

2) Сводящиеся к простейшим 

3) С использованием свойств логарифмов 

4) С заменой 

5) С переменной в основании 

Рассмотрим решение логарифмического неравенства, когда основание логарифма  .

,то есть знак неравенства сохраняется.

ОДЗ представлено системой:

Решением исходного неравенства является эквивалентное неравенство  , поэтому для соблюдения ОДЗ достаточно проверить меньшее из чисел получаем систему неравенств, которая соответствует исходному неравенству:

  Решение более сложных логарифмических неравенств

Пример 1:

Согласно методике решения простейших логарифмичеких неравенств, первым действием необходимо уравнять основания логарифмов, в данном случае представить правую часть в виде логарифма с требуемым основанием:

Получаем неравенство:

Учтем ОДЗ: 5-2х0

х2,5

Поскольку основание логарифма больше единицы, в эквивалентной системе знак неравенства сохранится:

Преобразуем:

Ответ: х

Пример 2:

Учтем ОДЗ:

ОДЗ: 

Согласно свойству логарифма преобразуем в левой части сумму логарифмов с одинаковым основанием в логарифм произведения:

Нам известно, что число Пи больше единицы ( ). Поэтому в эквивалентном неравенстве знак исходного неравенства сохраняется:

Преобразуем полученное неравенство:

Корни квадратного уравнения, стоящего в левой части, согласно теореме Виета  . Имеем параболу, ветви которой направлены вверх. Интересующие нас значения находятся между корней уравнения:

Ответ с учетом ОДЗ:   

Сведение к простейшему логарифмическому неравенству часто осуществляется с помощью замены переменных.

 Пример 3:

Приведем второй член к основанию 5:

Получили неравенство:

замена: 

Имеем:

Согласно теореме Виета корни квадратного уравнения, стоящего в левой части:  . Имеем параболу, ветви которой направлены вверх. Интересующие нас решения находятся в интервале между корнями.

Вернемся к исходным переменным:

Преобразуем согласно определению логарифма:

Ответ: 

 Пример 4:

Учтем ОДЗ:

ОДЗ: 

Согласно свойству логарифма преобразуем в левой части сумму логарифмов с одинаковым основанием в логарифм произведения:

Преобразуем правую часть в логарифм с требуемым основанием:

Имеем неравенство:

Основание логарифма больше единицы, получаем эквивалентное неравенство с тем же знаком:

Преобразуем:

Согласно теореме Виета корни квадратного уравнения, стоящего в левой части:  . Имеем параболу, ветви которой направлены вверх. Интересующие нас решения находятся в интервале между корнями:

Ответ с учетом ОДЗ: 

Системы логарифмических неравенств решаются аналогично системам показательных неравенств: каждое из неравенств решается по отдельности, а затем находится пересечение.

Пример: 

IV. Закрепление материала

Работа по учебнику: №№ 354 (1,3),355(1,3), 356 (1,3).

Решение примеров у доски

а)  ;

б)  ;

в)  ;

г)  ;

а)  ;

б)  ;

в)  ;

г)  ;

V. Подведение итогов. На этом уроке мы обсудили метод решения простейших логарифмических неравенств, виды логарифмических неравенств и их систем.

Домашнее задание: №№ 354 (2,4),355(2,4,6), 356 (2,4).

Рефлексия.