Методы решения квадратных уравнений

Государственное казенное общеобразовательное

специальное учебно-воспитательное учреждение

школа №2 (открытого типа) Санкт-Петербурга

( Специальная общеобразовательная школа № 2 (открытого типа))

Методы решения квадратных уравнений

Учитель математики

Рыбакова Дарья Александровна

Санкт-Петербург 2022 год

1

Проблемы

• Анализируя контрольные измерительные материалы учащихся 8 – 9 классов и результаты экзаменов по математике, мы пришли к выводу, что не все ученики 8 - 9 классов хорошо владеют умениями решать квадратные уравнения.
• Многие методы решения уравнений даже не знакомы учащимся.
• Из - за отсутствия в школьных учебниках других способов решения квадратных уравнений мы, порой, тратим гораздо больше времени и усилий при нахождении корней квадратных уравнений. По этой причине дополнительные способы решения квадратных уравнений будут способствовать более успешному решению уравнения.

1

Цели

• овладеть дополнительными способами решения квадратных уравнений и научить других применять их на практике
• формирование у школьников более глубоких знаний в области математики;
• формирование «математического мышления», представлений о неразрывной связи математики и школьных дисциплин.

1

Задачи

• Найти информацию о способах решения квадратных уравнений.
• Разобрать и изучить каждый из этих способов.
• Применить каждый способ на практике.

1

Теория

1

Определение квадратного уравнения и виды квадратных уравнений

• Квадратное уравнение – это уравнение вида

где x – переменная, a, b и c – некоторые числа причем a отлично от нуля.

• Числа a, b и c называют коэффициентами квадратного уравнения причем:
• коэффициент a называют первым, или старшим, или коэффициентом при
• b – вторым коэффициентом, или коэффициентом при x
• c – свободным членом

1

Квадратные уравнения

Полные

Приведённые

a=1

Неполные

ах² + bx + c= 0

Не приведённые

ПРИМЕРЫ

a≠1

ах² + bx = 0

ах² + bx + c= 0

ах² + c = 0

с = 0

х²- 2х - 3 = 0

ах² = 0

b = 0

-2х² + 5х - 4 = 0

b = 0

4x² - 9x = 0

c = 0

4x² - 9 = 0

4x² = 0

Решение неполных квадратных уравнений

• Вынесение общего множителя за скобки
• Перенесение свободного члена в правую часть

Решение неполных квадратных уравнений

• Вынесение общего множителя за скобки
• 2x ² - x = 0
• x(2x - 1) = 0
• x = 0 или 2x - 1 = 0
• x = 0 или 2x = 1
• x = 0 или x = 0,5
• Ответ : 0; 0,5

Решение неполных квадратных уравнений

• Перенесение свободного члена в правую часть
• 2x ² - 288 = 0
• 2x ² = 288
• x ² = 288 : 2
• x ² = 144
• x = - 12 x = 12
• Ответ : -12; 12

Решение полных квадратных уравнений

• применение 1 формулы корней квадратного уравнения
• применение 2 формулы корней квадратного уравнения
• применение теоремы Виета
• применение свойства суммы коэффициентов квадратного уравнения
• разложение левой части уравнения на множители
• метод выделения полного квадрата
• решение уравнений способом "переброски".

0, то уравнение имеет 2 корня (они находятся по формуле Если D=0, то уравнение имеет один корень Если DВ нашем случае дискриминант больше нуля, значит, уравнение имеет два корня. Теперь подставляем значения коэффициентов в формулу нахождения двух корней квадратного уравнения и получаем: Получаем корни квадратного уравнения 0,5;-3         " width="640"

Применение 1 формулы корней квадратного уравнения

• Решим уравнение -2х² -5х+3=0 с помощью первой формулы дискриминанта квадратного уравнения:

• D=b² -4ac

• D=(-5)² -4*(-2)*3=25-(-24)=25+24=49

• Если D0, то уравнение имеет 2 корня (они находятся по формуле
• Если D=0, то уравнение имеет один корень
• Если D
• В нашем случае дискриминант больше нуля, значит, уравнение имеет два корня. Теперь подставляем значения коэффициентов в формулу нахождения двух корней квадратного уравнения и получаем:

• Получаем корни квадратного уравнения 0,5;-3

Применение 2 формулы корней квадратного уравнения

• Помимо формулы, приведенной выше, существует еще одна формула корней квадратного уравнения. Она применяется для четного коэффициента.
• Выглядит она так:
• И так же, как и в первой формуле
• при - 2 корня (x ₁, ₂ =(-b/2+-√D/4)/a),
• при - 1 корень (x=-b/2/a)
• при - это значит, что уравнение имеет два корня:
• Решим с помощью этого способа то же уравнение -2х² -5х+3=0 . Для начала определим значение

• x₁=2,5-√12,25/(-2)=2,5-3,5/(-2)=-1/(-2)=1/2=0,5
• x₂=2,5+√12,25/(-2)=2,5+3,5/(-2)=6/(-2)=-3

=12,25

Применение теоремы Виета

• Следующий способ, теорема Виета, поможет нам решить лишь приведённое квадратное уравнение (а=1).
• Решим уравнение -x²-5x+6=0.
• Теорема Виета гласит, что сумма корней квадратного уравнения (x ₁+x ₂) равна -b , а их произведение (x₁*x ₂) равно с .
• Однако невозможно сразу же подставить значения коэффициентов в формулу, так как наше уравнение не является приведённым. Чтобы сделать данное квадратное уравнение приведенным нужно сделать так, чтобы a=1, а именно разделить левую часть уравнения на -1.
• Получаем приведённое квадратное уравнение x²+5x-6=0. Теперь мы можем подставить в формулы значения коэффициентов:

• x ₁+x ₂ =-5
• x₁*x ₂ =-6

• Отсюда находим значения корней квадратного уравнения методом подбора и получаем:
• x1=-6 x2=1

Применение свойства суммы коэффициентов квадратного уравнения

• В этом способе применяется свойство суммы коэффициентов квадратного уравнения:
• если сумма коэффициентов квадратного уравнения равна нулю, то первый корень x ₁ = 1 , а второй равен отношению коэффициента с к коэффициенту a, то есть х ₂ = c/a .
• Решим этим способом предыдущее уравнение -x²-5x+6=0.
• Так как сумма коэффициентов данного уравнения равна нулю ( -1+(-5)+6=0),
• то первый корень x ₁ = 1 ,
• а второй найдем по формуле: x ₂ =c/a =6/(-5)=-1,2
• Итак, мы нашли корни уравнения -1,2 ;1

Разложение левой части уравнения на множители.

• В данном варианте решения квадратных уравнений собрано сразу же несколько способов: вынесение общего множителя за скобки, использование формул сокращённого умножения, а также способ группировки.
• Решим уравнение х²- 2х - 8 = 0 .
• Разложим левую часть на множители:

• х²- 2х - 8 = х² - 4х +2х -8 = х(х -4 ) + 2(х -4) = (х + 2)(х -4).

• Следовательно, уравнение можно переписать так: (х + 2)(х -4)=0 .
• Так как произведение равно нулю, то, по крайней мере, один из его множителей равен нулю. Поэтому левая часть уравнения обращается нуль при х = -2 , а также при х = 4 .
• Это означает, что число - 2 и 4 являются корнями уравнения х²- 2х - 8 = 0 .
• Итак, мы нашли корни уравнения -2 и 4.

Метод выделения полного квадрата

• Решим уравнение х²- 2х - 8 = 0 .
• Выделим в левой части полный квадрат.
• Для этого запишем выражение х²- 2х в следующем виде : х²- 2х = х² - 2• х • 1.
• В полученном выражении первое слагаемое - квадрат числа х , а второе - удвоенное произведение х на 1 .
• По этому чтобы получить полный квадрат, нужно прибавить 1² , так как
• х²- 2х = х² - 2• х • 1 + 1² = (х - 1) ² .
• Преобразуем теперь левую часть уравнения х²- 2х - 8 = 0 ,
• прибавляя к ней и вычитая 1² .
• Имеем: х²- 2х - 8 = = х² - 2• х • 1 + 1² - 1² - 8 = (х - 1) ² - 1 - 8 = (х - 1) ² - 9 .
• Таким образом, данное уравнение можно записать так: (х - 1) ² - 9=0 , (х - 1) ² =9 .
• Следовательно, х - 1 = 3 , х₁ = 4, или х - 1 = -3 , х ₂ = -2.
• Итак, мы нашли корни уравнения -2 и 4.

Решение уравнений способом "переброски".

• Рассмотрим квадратное уравнение ах² + bx + c= 0 , где а ≠ 0 . Умножая обе его части на а, получаем уравнение а²х² + аbx + аc= 0 . Пусть ах=у , откуда х = у/а ; тогда приходим к уравнению y² + by + ac=0 , равносильно данному.
• Его корни у ₁ и у ₂ найдем с помощью теоремы Виета. Окончательно получаем х ₁ = у ₁ /а и х ₂ = у ₂ /а . При этом способе коэффициент а умножается на свободный член, как бы «перебрасывается» к нему, поэтому его называют способом «переброски». Этот способ применяют, когда можно легко найти корни уравнения, используя теорему Виета и, что самое важное, когда дискриминант есть точный квадрат.
• Решим уравнение 2х ² – 11х + 15 = 0 . Решение. «Перебросим» коэффициент 2 к свободному члену, в результате получим

• у ² – 11у + 30 = 0.

• Согласно теореме Виета

• y ₁ = 5 х ₁ = у ₁ /а х ₁ =5/2 х ₁=2,5
• y ₂ = 6 х ₂ = у ₂ /а х ₂=6/2 х ₂=3

Практика

Примеры для самостоятельного решения

Спасибо за внимание