Метод проверки сложения

«Проверка» сложения

Торговая практика требует умения правильно выполнять вычисления с большими числами. Для уверенности в надежности вычислений в старину употреблялись некоторые методы «поверения» (проверки). Один из методов проверки правильности сложения был таков.

Надо прибавить друг к другу все цифры слагаемых и получившееся число разделить с остатком на 9. Остаток запомнить. После этого сложить цифры вычисленной суммы и результат разделить на 9. Если получившийся при этом остаток отличен от остатка, найденного ранее, то вычисления выполнены неверно; в них вкралась ошибка.

Пример. Предположим, что в результате сложения чисел 9873, 9837, 17976 была получена сумма 38686. Нет ли ошибки в вычислении? Сумма цифр слагаемых равна (9 + 8 + 7 + 3) + (9 + 8 + 3 + 7) + (1 + 7 + 9 + 7 + 6) = 27 + 27 + 30 = 84. Остаток от деления этого числа на 9 равен 3. Сложим цифры вычисленной суммы 3 + 8 + 6 + 8 + 6 = 31. Это число при делении на 9 дает в остатке 4. Так как 3 ≠ 4, то сумма найдена с ошибкой. И действительно, правильная сумма равна 37686.

Этот способ проверки в случае совпадения остатков, конечно, не дает полной уверенности в том, что сумма найдена правильно. Если, например, ошибка состояла в том, что случайно поменяли местами в сумме цифры десятков и единиц, то остатки совпадут, а результат будет ошибочным. Вместе с тем указанный способ проверки иногда довольно быстро позволяет установить наличие ошибки.

Указанное правило проверки объясняется довольно просто. Заметим, что разность между числом и суммой его цифр всегда делится на 9. Это легко понять хотя бы на примере трехзначных чисел. Если дано число , то сумма его цифр равна + b + c и разность - (+ b + c) = 100 + 10 b + с - - b – с = 99 + 9 b =
= 9(11 + b) делится на 9.

Пусть А, В, С, … - целые числа, которые необходимо сложить, и А₁, В₁, С₁, … - суммы их цифр. Обозначим буквой р остаток от деления на 9 суммы цифр числа (А + В + С +…). Из сказанного выше следует, что разность (А + В + С +…) – р делится на 9. Но эту же разность можно представить в виде (А - А₁) + (В - В₁) + (С - С₁) + … + (А₁ + В₁ + С₁ + … – р). Все числа А - А₁, В - В₁, С - С₁, … делятся на 9, а потому на 9 будет делиться и число А₁ + В₁ + С₁ + … – р. Это означает, что остаток от деления на 9 числа А₁ + В₁ + С₁ + … также равен р. Итак, если сложение выполнено правильно, то остатки должны совпадать.