Метод проверки умножения

«Проверка» умножения

Для проверки правильности умножения двух чисел можно использовать следующий метод. Найдем суммы цифр сомножителей, затем разделим полученные суммы на 9 с остатком. Найденные остатки перемножим, и получившееся число опять разделим на 9. Остаток после этого деления запомним. Затем найдем сумму цифр вычисленного произведения и разделим ее с остатком на 9. Если получившийся при этом остаток не равен остатку, запомненному ранее, то произведение вычислено неверно.

Пример. Допустим, что после умножения числа 7373 на 4521 получилось произведение 33334333. Сумма цифр первого сомножителя 7 + 3 + 7 + 3 = 20, а второго
4 + 5 + 2 + 1 = 12. Эти числа при делении на 9 дают остатки соответственно 2 и 3. Произведение остатков 2 ^. 3 = 6, остаток от деления 6 на 9 также равен 6. Вычислим сумму цифр найденного произведения 3 + 3 + 3 + 3 + 4 + 3 + 3 + 3 = 25. Разделив это число на 9, получим в остатке 7. Так как 6 ≠ 7, то произведение вычислено с ошибкой.

Авторы старинных рукописей предлагают для удобства располагать результаты вычислений в вершинах креста. У концов вертикальной черты ставятся остатки от деления на 9 сумм цифр сомножителей. У левого конца горизонтальной черты ставится остаток от деления на 9 произведения чисел, стоящих у концов вертикальной черты, а у правого конца горизонтальной черты – остаток от деления на 9 суммы цифр вычисленного произведения. Если у горизонтальной черты стоят разные числа, то произведение найдено с ошибкой. На рисунке показано, как будут стоять числа в разобранном выше примере.

Как же обосновать этот способ проверки умножения?

Пусть P и Q – перемножаемые числа, p и q – остатки от их деления на 9. Разность между числом и суммой его цифр делится на 9, поэтому, если разделить на 9 суммы цифр чисел P и Q, в остатках получатся числа p и q. Эти числа по условию должны быть записаны у концов вертикальной черты. Так как разности Р – р и Q – q делятся на 9, то из равенства PQ – pq = (P – p)Q + p(Q – q) следует, что числа PQ и pq имеют одинаковые остатки при делении на девять. Значит, у концов горизонтальной черты должны стоять одинаковые числа. Если же это условие не выполнено, то произведение PQ вычислено неправильно.

Конечно, совпадение чисел у концов горизонтальной черты не означает, что результат найден верно.