Метод рационализации. Неравенства с модулем.

МЕТОД РАЦИОНАЛИЗАЦИИ

Сущность метода рационализации
(метода замены множителей)

Этот метод наиболее эффективен и доступен для применения к самому широкому классу задач. Он дает возможность рационализировать неравенства с модулем, многие иррациональные неравенства, показательные и логарифмические неравенства как с постоянным, так и с переменным основаниями, а также различные сложные комбинированные не­равенства и их системы.

Суть метода рационализации заключается в том, что он позволяет заменять неравенства, состоящие из весьма сложных выражений, на более простые неравенства, решаемые методом интервалов. Един­ственное ограничение — функции должны быть монотонными.

Необходимо также отметить, что метод рациона­лизации применяется при условии, если исходное неравенство имеет канонический вид:

f1(х) * f₂(x)*... * f_n(x) v0
g₁(x)*g₂(x)*...*g_m(x)

где знак сравнения v обозначает один из знаков , , f_k(x) и g_p(x) (k = 1, 2, ... п; р = 1,2,... m) представляют собой различные типы функций.

Решение неравенства зависит только от знаков входящих в него множителей.

1Равносильность неравенств

Два неравенства называются равносильными, если множества их решений совпадают.

Надо учесть, что о равносильности неравенств мы говорим на одном и том же множестве М.

х — 1

Например, неравенства (х - 1)(х - 4)

х-4

равносильны (на множестве (-оо; 4) и (4; +оо)).

Множества их решений (1; 4) совпадают. Чтобы убедиться в этом, достаточно решить их методом интервалов.

Аналогично равносильны неравенства log₂x log₂13 и х 13 при условии х 0. Решением каж­дого из них является множество х 13. При этом первое неравенство логарифмическое, второе — ал­гебраическое.

Другими словами, решения неравенств log₂x - log₂13 0их-130 совпадают при

х 0. Иначе говоря, при х 0 выражение log₂x - log₂13 имеет та­кой же знак, что и выражение х - 13. Следователь­но, если в каком-либо рассматриваемом неравенстве имеется множитель log₂x - log₂13, то при х 0 его можно заменить на х - 13.

Заметим, что основная часть методов рационали­зации для различных классов неравенств обуслов­лена принципом монотонности функций, входя­щих в неравенства.

2Монотонность функций

Функция у = f(х) называется монотонно возра­стающей на данном числовом промежутке X, если для любых двух точек х₁ и х₂ из промежутка X та­ких, что х₂ X1 = f(х₂) f(X1).

Функция у = f(х) называется монотонно убываю­щей на данном числовом промежутке X, если для любых двух точек х₁ и х₂ из промежутка X таких, что х₂ х₁ = f(х₂) ₁).

Если функция только возрастает или только убывает на данном промежутке, то она называется монотонной на этом промежутке.

3Теорема о корне

1. Если в уравнении f(х) = С, где С — const, функ­ция у = f(х) непрерывна и монотонна на множестве М, то уравнение имеет на этом множестве М не бо­лее одного корня.

2. Если в уравнении f(х) = g{x) функция у = f(х) непрерывна и строго возрастает, а функция у = g(x) непрерывна и строго убывает на множестве М, то уравнение имеет на М не более одного корня.

Неравенства с модулем

При решении неравенств, содержащих перемен­ную под знаком модуля, методом рационализации, необходимо учитывать условия равносильности:

1. f(x)0f²(x)0.

2. f(x)g(x)  f²(x)g²(x)  ( f(x)- g(x))(f(x) + g(x)) 0.

3. f(x)≥g(x)  f(x) - g(x) ≥ 0 

g(x)



f(x)- g(x)0 (f(x) - g(x))(f(x) + g(x)) ≥0,

для всех x D(f) D(g).

4. f(x) ≤ g(x)  f(x) - g(x) ≤ 

g(x) ≥0,



( f(x)- g(x))(f(x) + g(x)) ≤0.

5. ( f(x)- g(x))h(x)  0  (f(x)-g(x))(f(x)+g(x))*h(x)  0.

Примеры с решениями

Пример 1. Решить неравенство

x² - 13x + 1 ≤  x² + 6x - 11.

Решение.

1. Применяя условие 2 (f(x)g(x)  f²(x)g²(x)  ( f(x)- g(x))(f(x) + g(x)) 0 ), имеем (x² - 13x+1- x² - 6x + 11)( x² - 13x+1+ x² + 6x - 11) ≤0, или

(-19x+12)(2 x² - 7x - 10) ≤0, или (19x - 12)(2 x² - 7x-10) ≥0.

Неравенство (1) решим методом интервалов:

Нули: 19х - 12 = 0, 2 x² - 7x - 10 = 0,

12

х ₁ = . D = 49 + 80 = 129 0

19

7 ± √129

x_2,3 = .

4

Расположим полученные корни на числовой прямой, учитывая, что

7 - √129 12 7 + √129

√129 ≈ 11,4

4 19 4

- + - +

•/////////////• •/////////

7 - √129 12 7 + √129

4 19 4

7 - √129 12 7 + √129

Ответ: ; ; + ∞

4 19 4

Пример 2. Решить неравенство :

х² - 3х + 2

- 1 ≤ 0.

х² + 3х + 2

Неравенство (1) равносильно смешанной системы

x² - 3x + 2 -  x² + 3x + 2 ≤ 0

x² + 3x + 2 ≠ 0.

Следовательно,

( x² - 3x + 2 - x² - 3х - 2)( x² - 3x + 2 + x² + 3х + 2) ≤ 0,

(х + 1)(х+2) ≠ 0.

-6х(2х² + 4) ≤ 0,

или

х ≠ -1, х ≠ -2.

Разделив обе части неравенства на (-12), получим х(х² + 2) ≥ 0,

х ≠ -1, х ≠ -2.

Поскольку x² + 2 0 при всех х R, то имеем

х ≥ 0

откуда х ≥ 0, т.е. х [0; + ∞).

х ≠ -1, х ≠ -2,

Ответ: [0; + ∞)

Пример 3. Решить неравенство

x² + x - 12 - 45 ≤ 9 x - 3 - 5x + 4.

Решение.

Поскольку x² + x - 12 = (x - 3)(х+4), где 3 и 4 корни трёхчлена и ab = a b, то исходное неравенство примет вид х+4х-3 - 45 ≤ 9 x - 3 - 5x + 4, или

(х+4х-3 - 9x - 3) + 5(x + 4 - 9) ≤ 0, или

x - 3 (х+4 - 9) +5(х+4 - 9) ≤ 0.

Остается вынести за скобки общий множитель (х+4 - 9)( x - 3 + 5) ≤ 0. (1)

Неравенство (3) мы привели к виду, при котором можно использовать условие равносильности 2:(f(x)g(x)  f²(x)g²(x)  ( f(x)- g(x))(f(x) + g(x)) 0).

(х + 4 - 9)(х + 4 + 9)(х - 3 - 5)(х - 3 + 5) ≤ 0, или (х - 5)(х+13)(х - 8)(х + 2) ≤ 0.

Решаем методом интервалов, имеем

+ - + - +

•/////////• •////////////•

-13 -2 5 8

х € [-13; -2] [5; 8].

Ответ: [-13; -2] [5; 8].

7х - 2 - х - 9

Пример 4. Решить неравенство ) ≤ 0.

4х - 3 - х + 3

Решение.

Используя метод рационализации, получим

(7х - 2 - х + 9)(7х - 2 + х -9) (6х + 7)(8х -11) (6х + 7)(8х-11)

≤ 0, или ≤ 0, или ≤ 0. (1)

(4х - 3 - х -3)(4х - 3 + х + 3) 3(х - 2)*5х х(х-2)

Кроме того, 4х - 3≠х+3, т.е. 4х-3≠ ±(х+3), откуда х ≠ 2, х ≠ 0.

Теперь остается решить неравенство (4) методом интервалов.

+ - + - +

•///////////////◦ •///////////////◦

7 0 11 2

6 8

7 11

Значит, х ɛ ; 0 ; 2 .

6 8

7 11

Ответ: ; 0 ; 2 .

6 8

74 - х

Пример 5. Решить неравенство - х - 4 ≤ 0.

13 - х + 3

Решение.

Поскольку -х = х, то данное неравенство можно записать в виде

7 х - 4(7 - 13 + х+3) х - 4(х+3 - 6

х-4 - 1 ≤ 0, или ≤ 0, или ≥ 0. (1)

13 - х + 3 13 - х+3 х+3 - 13

Нетрудно заметить, что х = 4 ─ решение неравенства (1), а значит, и исходного.

х + 3 - 6

Теперь решим методом рационализации неравенство ≥ 0, используя условие

х + 3 - 13

равносильности 3.

(х + 3 - 6)(х + 3 + 6) (х - 3)(х+9)

≥ 0, или ≥ 0, х = 4.

(х + 3 - 13)(х + 3 + 13) (х - 10)(х + 16)

+ - + - - +

//////////◦ •/////////////////• • ◦//////

-16 -9 3 4 10

Знчит, х (-∞; -16) [-9; 3] {4} (10; +∞).

Ответ: (-∞; -16) [-9; 3] {4} (10; +∞).

x² - 5х + 6 - x² + 7х - 8

Пример 6. Решить неравенство ≥ 0.

6х-1 - 2х-9

Решение.

(x² - 5х + 6 - x² -7х + 8)( x² - 5х + 6 + x² +7х - 8) (-12х + 14)(2х² + 2х - 2)

≥ 0, или ≥ 0.

(6 - 1 - 2х + 9)(6х - 1 + 2х - 9) (4х + 8)(8х - 10)

После упрощения получим

(6х - 7)( х² + х - 1)

≤ 0. (1)

(х + 2)(4х - 5)

7 -1 ± √5

Корни числителя: х₁ = , х_2,3 = .

6 2

5

Корни знаменателя: х₄ = -2, х₅ = .

4

- 1 + √5 7

Заметим, что √5 ≈ 2,24, тогда х_{1 5},

2 6

Решим неравенство (1) методом интервалов.

- + - + - +

////////◦ •//////////////////////• • /////////◦

-2 -1-√5 -1+√5 7 5

2 2 6 4

-1 - √5 -1 + √5 7 5

х (-∞; -2) ; ; .

2 2 6 4

-1 - √5 -1 + √5 7 5

Ответ: (-∞; -2) ; ; .

2 2 6 4

Пример 7. Решить неравенство 3х² - 4х - 4 ≤ 2х² - 6х + 8.

Решение.

Запишем неравенство в виде 3х² - 4х - 4 - 2х² - 12х + 16 ≤ 0.

Так как х² = х², то имеем 3х² - 4х - 4 - 2х² - 12х + 16 ≤ 0.

Теперь применим метод рационализации: (3х² - 4х - 4 - 2х² + 12х - 16)(3х² - 4х - 4 + 2 х² -

- 12х +16) ≤ 0, или (х² + 8х - 20)(5х² - 16х + 12) ≤ 0.

Используя формулу ax² + bx + c = a(x - x₁)(x - x₂), где x₁ и x₂ ─ корни трехчлена, разложим каждый из квадратных трехчленов относительно х на линейные множители:

(х + 10)( х - 2)(5х - 6)(х - 2) ≤ 0. Так как х + 10 0 при всех х R, то получим

х = 2 х = ±2

(х - 2)²(5х - 6) ≤ 0, откуда или

5х - 6 ≤ 0, (5х - 6)(5х + 6) ≤ 0 .

+ + - + +

• •////////////////• •

-2 -1,2 1,2 2

Следовательно, х {-2} [-1,2; 1,2] {2}.

Ответ: {-2} [-1,2; 1,2] {2}.

||х² - 3х| - 5|-5

Пример 8. Решить неравенство ≥0.

||8х - 7| - 7| - 9

Решение.

Применяя метод рационализации, получим

(|х² - 3х| - 5 - 5)(|х² -3х| - 5+5) (|х² - 3х| - 10)|х² -3х|

≥0, или ≥0.

(|8х - 7| - 7 - 9) (|8х - 7| - 7 + 9) (|8х - 7| - 16) (|8х - 7| + 2)

Заметим, что |8х - 7| + 2 0 при всех х R. Тогда полученное неравенство равносильно смешанной системе

|х² - 3х| - 10

≥0,

|8х - 7| - 16

х² - 3х = 0.

К неравенству системы ещё раз применим метод рационализации

(х² - 3х - 10)( х² - 3х + 10) (х-5)(х+2)(х² -3х + 10)

≥ 0, или ≥0,

(8х - 7 -16)(8х - 7 + 16) (8х - 23)(8х + 9)

х(х - 3) = 0, х = 0, х=3.

Учитывая, что х² - 3х + 10 0 при всех х R, так как D a =1 0, получим

(х-5)(х+2)

≥ 0,

(8х - 23)(8х + 9)

х=0, х=3. Остаётся решить полученное неравенство методом интервалов и добавить числа 0 и 3.

+ - + + - - +

///////• ◦///////////•///////////◦ • •////////

-2 - 9 0 23 3 5

8 8

9 23

х (-∞; -2] - ; {3} [5; + ∞).

8 8

9 23

Ответ: (-∞; -2] - ; {3} [5; + ∞).

8 8

||5х² - х| - 3|-5х² - х - 8

Пример 9. Решить неравенство ≥ 0 и указать наименьшее

|х - 2 - х²| - х² + 4х - 6

целое решение.

Решение.

||5х² - х| - 3|-(5х² + х + 8)

Запишем неравенство в виде ≥ 0. (1)

|х - 2 - х²| - (х² - 4х + 6)

Заметим, что 5х² + х + 8 0 при всех х R, так как D 0.

Аналогично х² - 4 х + 6 0 при всех х R. Тогда неравенство (1) примет вид

||5х² - х| - 3|-|5х² + х + 8|

≥ 0. (2)

|х - 2 - х²| - |х² - 4х + 6|

Теперь к неравенству (2) применим метод рационализации

(|5х² - х| - 3-(5х² + х + 8))(|5х² - х| - 3 + (5х² + х + 8))

≥ 0, или

(х - 2 - х^{2 -} х² + 4х - 6)(х - 2 - х² + х² - 4х + 6)

(|5х² - х| - (5х² + х + 11))(|5х² - х| + (5х² + х + 5))

≥ 0.

(2х^{2 -} 5х + 8)(3х - 4)

Но 5х² + х + 5 0 при всех х R и |5х² - х| ≥ 0, тогда |5х² - х| + (5х² + х + 5) 0.

Аналогично 2х^{2 -} 5х + 8 0 при всех х R. Полученное неравенство равносильно неравенству

|5х² - х| - (5х² + х + 11)

≥ 0. (3)

3х-4

Так как 5х² + х + 11 0 при всех х R, то 5х² + х + 11 = |5х² + х + 11|. Тогда неравенство (3) запишется в виде

|5х² - х| - |5х² + х + 11|

≥ 0.

3х - 4

Вновь применив метод рационализации, получим

(5х² - х - 5х² - х - 11)( 5х² - х + 5х² + х + 11) -(2х + 11)(10х² + 11)

≥ 0, или ≥ 0.

3х - 4 3х-4

Поскольку 10х² + 11 0 при всех х R, то получим равносильное неравенство

2х + 11

≤ 0. (4)

3х - 4

11 4

Наконец, решаем неравенство (4) методом интервалов, находим х₁ = - , х₂ = .

2 3

+ - +

•////////////////◦

-11 4

2 3

11 4

х - ; .

2 3

Тогда х = - 5 ─ наименьшее целое решение неравенства (4), а значит, и исходного.

Ответ: - 5.

(|3х - 4| - 1)(|6 - х²| - 13)

Пример 10. Решить неравенство ≤ 0 и указать наибольшее

(х - 7)² + |х - 7| - 30

целое решение.

Решение.

Так как |6 - х²| = |х² - 6| и (х - 7)² = |х - 7|² , то данное неравенство примет вид

(|3х - 4| - 1)(|х² - 6| - 13)

≤ 0. (1)

|х - 7|^{2 +} |х - 7| - 30

Знаменатель дроби неравенства (1) представляет собой квадратный трехчлен относительно |х - 7|, корни которого 5 и -6.

Следовательно, неравенство (1) можно записать в виде

(|3х - 4| - 1)(|х² - 6| - 13)

≤ 0. (2)

(|х - 7| - 5)( |х - 7| + 6)

Но │х-7│+ 6 0 при всех х R, тогда получим равносильное неравенство

которое решим методом рационализации:

Так как x²+70 при всех х

X₁=1: X₂ =: X₃=-:X₄=: X₅=12: X₆=2.

х (-; 1] [ :2) [ 12).