Методические материалы по геометрии

Скалярное произведение векторов геометрия 9 класс

Подготовила

Акчурина О.О.

Угол между векторами

α

Пусть векторы и не являются сонаправленными.

Если векторы и сонаправленные, или один или оба вектора нулевые, то угол между векторами и равен 0 ◦ .

Если векторы и противоположно направленные, то угол между векторами и равен 180 ◦ .

◦

◦

Два вектора называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90 ◦ .

Пример

60 ◦

◦ ; ◦ ;

◦ ; ◦ ;

◦ ; ◦ .

Скалярным произведением двух векторов называют произведение их длин на косинус угла между ними.

α . = | | . | | . cosα

Скалярное произведение двух ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда эти векторы перпендикулярны . Действительно. Если , то ◦ , cos 90 ◦ = 0 и тогда . = 0. Обратно. Если . = 0 и векторы и - ненулевые, тогда cosα = 0 и ◦ , т.е. .

Произведение . называют скалярным квадратом и обозначают ². ² = ||²

Примеры

Найдите скалярное произведение векторов и если:

• || = 2, ||= 5, ◦ ;
• || = 4, ||= 7, ◦ ;
• || = 9, ||= 8, ◦ ;

Решение

Для решения задачи воспользуемся формулой:

. = | | . | | . cosα

• . = 2 . 5 . = 5 .
• . = 4 . 7 . cos150 ◦ = 28 . cos( 180 ◦ - 30 ◦ )= =28 . cos 30 ◦ = 28 . = 14 .
• . = 9 . 8 . cos90 ◦ = 72 . 0 = 0 .

Пусть в прямоугольной системе координат даны векторы {x 1 ,y 1 } и {x 2 ,y 2 }

Теорема

В прямоугольной системе координат скалярное произведение векторов и выражается формулой

. = x 1 . x 2 + y 1 . y 2

Следствия:

• Ненулевые векторы и перпендикулярны тогда и только тогда, когда x 1 . x 2 + y 1 . y 2 = 0
• Косинус угла α между векторами и выражается формулой

cosα =

Примеры

• Найти скалярное произведение векторов

и , если:

• {3;4}; {5;2};
• {-8;4}; {3;6}

• Найти косинус угла α между векторами

{-2;3} и {3;4}.

Решение

• Для решения задачи воспользуемся формулой . = x 1 . x 2 + y 1 . y 2

• . = 3 . 5 + 4 . 2= 15+8 = 23
• . = -8 . 3 + 4 . 6 = -24 + 24 = 0 .

2. cosα = = = .

0 при ; ∙ = ∙ ; ( + )∙ = ∙ + ∙ ; ( k∙ )∙ = k∙ (∙ ). " width="640"

Свойства скалярного произведения

Для любых векторов и любого числа k верны соотношения:

• ²≥0, причем ²0 при ;
• ∙ = ∙ ;
• ( + )∙ = ∙ + ∙ ;
• ( k∙ )∙ = k∙ (∙ ).

Пример

Угол между векторами и равен 30⁰,

||=| = 1.

Вычислить скалярное произведение

( - 2 )( + ).

Решение

( - 2 )( + ) = ² - 2 + - 2² =

= ² - - 2² = ||² - |∙cos30⁰ - 2||² =

= 1-1∙1∙ - 2∙1= - -1= -(+1)

Вопросы для повторения изученного материала

• Что означают слова «угол между векторами и равен α»?
• В каком случае угол между векторами равен 0⁰?
• Какие два вектора называются перпендикулярными?
• Что такое скалярное произведение двух векторов?
• В каком случае скалярное произведение ненулевых векторов: а) равно 0; б) больше 0; в) меньше 0?
• Записать формулу скалярного произведения векторов в координатной форме.
• Записать формулу косинуса угла между ненулевыми векторами через их координаты.
• Сформулировать свойства скалярного произведения векторов.