Множества. Пересечение и объединение множеств.

Множества. Пересечение и объединение множеств

Множество - одно из основных понятий современной математики, используемое почти во всех её разделах.

Множество – это совокупность объектов, объединённых между собой по какому-либо признаку.

Например:

Множество дней недели состоит из элементов: понедельник, вторник, среда, четверг, пятница, суббота, воскресенье.

Множество месяцев – из элементов: январь, февраль, март, апрель, май, июнь, июль, август, сентябрь, октябрь, ноябрь, декабрь.

Множество арифметических действий - из элементов: сложение, вычитание, умножение, деление.

Если множество содержит конечное число элементов, то его называют конечным, а если в нём бесконечно много элементов, то бесконечным. Так множество деревьев в лесу конечно, а множество точек на окружности бесконечно. Если множество не содержит ни одного элемента, то оно называется пустым множеством и обозначается .

Два множества А и В называются равными (А=В), если они состоят из одних и тех же элементов, т.е. каждый элемент множества А является элементом множества В и наоборот, каждый элемент множества В является элементом множества А.

Например, . Эти множества содержат одни и те же элементы, но записаны в разном порядке, значит, множества равны, А = В.

Множество A содержится во множестве B (множество B включает множество A), если каждый элемент из A является элементом В:

Например, . Каждый элемент множества А является элементом множества В, значит, .

Способы задания множеств.

Чтобы задать множество, необходимо знать, какие объекты принадлежат множеству, а какие нет. Если множество содержит немного элементов, то его можно задать, перечислив все его элементы. Например, множество учеников класса — список в классном журнале, множество стран — список в географическом атласе.

Если множество задано списком, то его элементы записывают в фигурных скобках через точку с запятой. Множество цифр можно записать следующим образом

Однако задать множество списком можно только тогда, когда оно содержит конечное число элементов (но и это неудобно, если число элементов множества велико). Существует универсальный способ задания множеств (в том смысле, что таким способом можно задать любое множество). Множество может быть задано с помощью характеристического свойства, т.е. такого свойства, которым обладают все элементы множества, и не обладают объекты, не принадлежащие множеству (записывают: где P(x) — характеристическое свойство).

Приведём несколько примеров:

1. Пусть A — множество остатков от деления натуральных чисел на 5, тогда

.

2. Если — множество натуральных чисел, заключённых между 3 и 12, то

3. Если то D — отрезок

4. Если — множество корней квадратного уравнения, то

Рассмотрим множество и выясним, принадлежат ли числа

этому множеству. Число , если существует такое натуральное число n, что . Решив это уравнение, находим, что . Эти числа натуральными не являются, значит, . Аналогично, решая уравнение , находим . Так как , то .

Операции над множествами.

Пересечение.

Пересечением двух множеств называют множество, состоящее из всех общих элементов этих множеств.

Найдём пересечения множеств:

A = {1; 2; 3; 6}, B = {0; 2; 4; 6; 8}, C = {1; 2; 3; 4; 6; 12}, D = {10; 15; 20}

А ∩ В ∩ С = {2; 6}

А ∩ С = {1; 2; 3; 6}

C ∩ D = Ø. Множества С и D не имеют общих элементов. Их пересечением является пустое множество.

Пересечение любого множества с пустым множеством является пустым:

А ∩ Ø = Ø.

Пересечение множества с самим собой равно самому множеству: А ∩ А = А.

Объединение.

Объединением двух множеств называют множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из этих множеств.

Найдём объединения множеств:

A = {1; 2; 3; 6}, B = {0; 2; 4; 6; 8}, C = {1; 2; 3; 4; 6; 12}, D = {10; 15; 20}

А В = {0; 1; 2; 3; 4; 6; 8}; А С = {1; 2; 3; 4; 6; 12}; А D = {1; 2; 3; 6; 10; 15; 20}

В С = {0; 1; 2; 3; 4; 6; 8; 12}; В D = {0; 2; 4; 6; 8; 10; 15; 20}

Многие задачи удобно решать с помощью кругов Эйлера. Приведём примеры.

1. В школе зимой работали 3 секции (лыжная, хоккейная, конькобежная). Всего в секциях занималось 38 учеников. В лыжной - 21 человек, среди которых трое ещё занимались коньками, шестеро - ещё в хоккейной секции, а один - сразу в трёх секциях. В конькобежной секции было 13 человек, среди которых пятеро занимались сразу в двух секциях. Сколько человек занималось в хоккейной секции?

Лыжами занимался 21 человек, из них 6 занимались хоккеем, 3 – коньками, 1 – всеми тремя видами спорта. Значит, только лыжами занималось 11 человек. Коньками занималось 13 человек, из них 3 – занимались лыжами, 1 – всеми тремя видами спорта, 2 – хоккеем (т.к. двумя видами занимались 5 человек), значит, только коньками занималось 7 человек. Т.к. всего было 38 человек, то только хоккеем занималось 8 человек.

2. Одна швейцарская община насчитывает 50 членов. Родной язык всех 50 членов общины – немецкий, но 20 из них говорят ещё по-итальянски, 35 из них владеют французским и ещё 10 не знают ни итальянского, ни французского. Сколько членов общины говорят и по-французски, и по-итальянски?

Решение.

50–10=40 – владеют иностранным языком (кроме немецкого).

20 + 35 = 55 и 55 – 40 = 15 – членов общины говорят и по-французски, и по-итальянски.

1. Приведите примеры множеств, которые встречаются в жизненных ситуациях.

2. Как называется: а) множество птиц; б) множество лошадей; в) множество людей в поезде; г) множество артистов, работающих в одном театре.

3. Назовите несколько элементов, принадлежащих множеству:

а) чисел, кратных 7;

б) квадратов натуральных чисел;

в) простых чисел, принадлежащих промежутку

г) чисел, обратных кубам натуральных чисел.

1. Пусть А — множество простых чисел вида , где . Верна ли запись:

а) ; б) ; в) ; г) .

1. Пусть В — множество корней уравнения . Верна ли запись:

а) ; б) ; в) ; г) .

1. Задайте перечислением элементов множество, заданное характеристическим свойством: а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) ;

е) ;

ж) ;

з) ;

и) ;

к) .

1. В данном множестве все элементы, кроме одного, обладают некоторым свойством. Опишите это свойство и найдите элемент, не обладающий им.

а) {сумма; разность; множитель; частное};

б) {4; 16; 22; 27; 30; 34};

в) {1; 15; 16; 25; 64; 121};

г) {синий; красный; круглый; бежевый; зелёный};

д) {4; 6; 12; 81; 441; 1113};

е) {Обь; Иртыш; Волга; Байкал; Ангара; Амур};

ж) ;

з) {шар; пирамида; параллелограмм; цилиндр; конус}.

1. Исследуйте, принадлежат ли числа множеству .

2. Определите, по какому закону составлено множество, содержащее числа:

а)

б)

в)

г)

д)

е)

1. Какие из следующих множеств пустые:

а) множество корней уравнения ;

б) множество прямых плоскости, перпендикулярных двум пересекающимся прямым;

в) множество решений неравенства ;

г) множество корней уравнения ;

д) множество отрицательных корней уравнения .

1. Множество А состоит из цифр числа 2 896, а множество В состоит из цифр числа 19 273. Найти пересечение и объединение этих множеств.

2. Множество А состоит из букв слова «пропорция», а множество В состоит из букв слова «драгоценность». Найти пересечение и объединение этих множеств.

3. В классе учатся 30 человек. 15 человек играют на фортепиано, из них 3 играют ещё на гитаре. 13 человек поют в хоре, из них 6 человек играют на фортепиано. 2 человека и поют в хоре, и играют на двух инструментах. Сколько человек играет только на гитаре, если известно, что все учащиеся чем-то занимаются?

4. Найти пересечение и объединение множеств букв, которые используются в записи слов «типография» и «фотография».

5. Известно, что Х – множество простых чисел, Y – множество однозначных чисел. Задайте путём перечисления элементов их пересечение и объединение.

6. Проиллюстрируйте с помощью кругов Эйлера соотношение между множествами А и В, если А – множество чисел, кратных 24, В – множество чисел, кратных 8.

7. Известно, что точки A, B, C и D расположены на одной прямой, причём пересечением множеств точек отрезков АВ и CD является: а) отрезок CD; б) отрезок СВ. Для каждого случая сделайте чертёж.

8. Укажите наибольший и наименьший элементы пересечения множества двузначных чисел, кратных 9, и множества нечётных двузначных чисел.

9. Найти пересечение и объединение множеств букв, которые используются в записи слов «машинист» и «пианист».

10. Известно, что А – множество простых чисел, В – множество натуральных чисел, не превосходящих 20. Задайте путём перечисления элементов их пересечение и объединение.

11. Проиллюстрируйте с помощью кругов Эйлера соотношение между множествами X и Y, если X – множество чисел, кратных 15, Y – множество чисел, кратных 30.

12. Известно, что точки E, F, K и L расположены на одной прямой, причём пересечением множеств точек отрезков EF и KL является: а) отрезок EF; б) отрезок KF. Для каждого случая сделайте чертёж.

13. Укажите наибольший и наименьший элементы пересечения множества двузначных чисел, кратных 7, и множества чётных двузначных чисел.

3