Наименьшее общее кратное натуральных чисел

Математика

6 класс

Наименьшее общее кратное

Учитель МБОУ «Средняя общеобразовательная школа №14» Петрищева Юлия Валериевна

Дима покупал пирожки с яблоками по 45 р.,

а Витя – с мясом по 60 р.

Какую наименьшую сумму должен заплатить каждый мальчик, чтобы расходы ребят были одинаковыми?

Подчеркнем общие кратные чисел 45 и 60.

Так как мальчики заплатили одинаковую сумму за покупку, искомая сумма должна делиться без остатка и на 45, и на 60, то есть должна быть кратной числам 45, и 60.

Сколько пирожков купил на эти деньги каждый мальчик?

Числа кратные:

45:

45, 90, 135, 180, 225, 270, 315, 360, 405, … .

60:

60, 120, 180, 240, 300, 360, 420, 480, … .

Наименьшее общее кратное чисел 45 и 60

Наименьшим из них является 180. Следовательно, наименьшее потраченное на покупку пирожков количество денег – 180 р.

Дима – 4 пирожка (180:45=4),

Витя – 3 пирожка (180:60=3).

Определение.

Наименьшее натуральное число, которое делится на каждое из нескольких натуральных чисел, называется их наименьшим общим кратным.

Обозначение: НОК (45;60) = 180.

Алгоритм нахождения НОК:

1. Разложить все числа на простые множители.

2. Написать разложение одного из чисел (лучше наибольшего).

3. Дополнить данное разложение теми множителями из разложения других чисел, которые не вошли в написанное разложение.

Пример:

Найдите наименьшее общее кратное чисел 45 и 60.

60

45

30

9

2

5

15

3

2

3

1

3

3

3

1

3

45 = 3 ∙ 3 ∙ 5

60 = 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5

НОК (45; 60) = 2∙2∙3∙5∙3

НОК (45; 60) = 2∙2∙3∙5∙3 = 60∙3 = 180.

Требуется найти НОК трех натуральных чисел 15; 20 и 12.

15 = 3 ∙ 5; 20 = 2 ∙ 2 ∙ 5;

12 = 2 ∙ 2 ∙ 3;

№ 185

НОК (15; 20; 12)=(2∙2∙5)∙3=60, НОК (15; 20; 12)=60

Найдите наименьшее общее кратное чисел:

I

б)12 и 16;

16

2

8

2

4

2

2

2

1

12

6

2

2

3

1

3

№ 181 б

12 = 2 ∙ 2 ∙ 3; 16 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2

б) НОК (12; 16)=2∙2∙2 ∙2∙3 =48;

Найдите наименьшее общее кратное чисел а и b, если:

в) а = 2 ∙ 2 ∙ 5 ∙ 5 ∙ 11 и b = 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 11;

г) a = 2 ∙ 5 ∙ 5 ∙ 7 и b = 2 ∙ 2 ∙ 5 ∙ 5 ∙ 7

в) НОК (а; b) = 2∙2∙5∙5∙11∙3 = 3300;

г)Так как b делится на а, то НОК будет само число b;

№ 180 в, г

НОК (а; b) = 2∙2∙5∙5∙7 = 700

Если одно из данных чисел делится на все остальные числа, то их наименьшее общее кратное равно этому числу

Найдите наименьшее общее кратное чисел:

II

396 и 180;

180

396

2

90

2

198

2

2

99

45

15

3

3

33

3

3

5

11

1

1

5

11

№ 181 г

396 = 2∙2∙3∙3·11; 180 = 2∙2∙3∙3·5

НОК (396; 180) = 2∙2∙3∙3∙11∙5 = 1980;

Являются ли числа 54 и 65 взаимно простыми?

Найдите наименьшее общее кратное чисел 54 и 65.

54

2

27

3

9

3

3

3

1

65

5

13

13

1

54 = 2 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3

65 = 5 ∙ 13

№ 182

НОК (54; 65) = 54 · 65 = 3510;

Вывод:

Наименьшее общее кратное двух взаимно простых чисел равно их произведению.

Найдите наименьшее общее кратное чисел:

а) 45 и 135; б) 34 и 170.

Равно ли оно одному из данных чисел?

45

15

3

3

5

5

1

135

3

45

3

15

3

5

5

1

170

2

85

5

17

17

1

34

2

17

17

1

Так как большее число делится на меньшее, то наименьшим общим кратным этих чисел будет являться большее число.

НОК (45; 135) = 135; НОК (34; 170) = 170.

Наибольший общий делитель этих чисел:

НОД (45; 135) = 45; НОД (34; 170) = 34.

№ 183.