Арифметические софизмы
1. « Если А больше В, то А всегда больше, чем 2В»
Возьмем два произвольных положительных числа А и В, такие, что АВ.
Умножив это неравенство на В, получим новое неравенство АВВ*В, а отняв от обеих его частей А*А, получим неравенство АВ-А*АВ*В-А*А, которое равносильно следующему:
А(В-А)(В+А)(В-А). (1)
После деления обеих частей неравенства (1) на В-А получим, что
АВ+А (2),
А прибавив к этому неравенству почленно исходное неравенство АВ, имеем 2А2В+А, откуда
А2В.
Итак, если АВ, то А2В. Это означает, к примеру, что из неравенства 65 следует, что 610.
Где ошибка?
Здесь совершен неравносильный переход от неравенства (1) к неравенству (2).
Действительно, согласно условию АВ, поэтому В-А
«Один рубль не равен ста копейкам»
Известно, что любые два неравенства можно перемножать почленно, не нарушая при этом равенства, т.е.
Если a=b, c=d, то ac=bd.
Применим это положение к двум очевидным равенствам
1 р.=100 коп, (1)
10р.=10*100коп.(2)
перемножая эти равенства почленно, получим
10 р.=100000 коп. (3)
и, наконец, раздим последнее равенство на 10 получим, что
1 р.=10 000 коп.
таким образом, один рубль не равен ста копейкам.
Где ошибка?
Ошибка, допущенная в этом софизме, состоит в нарушении правил действия с именованными величинами: все действия, совершаемые над величинами, необходимо совершать также и над их размерностями.
Действительно, перемножая равенства (1) и (2), мы получим не (3), а следующее равенство
2 2
10 р. =100 000 к.
что после деления на 10 дает
2 2
1 р. = 10 000 коп., (*)
а не равенство 1р=10 000 к, как это записано в условии софизма.
Извлекая квадратный корень из равенства (*), получаем верное равенство 1р.=100 коп.
«Число, равное другому числу, одновременно и больше, и меньше его».
Возьмем два произвольных положительных равных числа А и В и напишем и напишем для них следующие очевидные неравенства:
А-В и В-В. (1)
Перемножив оба этих неравенства почленно, получим неравенство
А*ВВ*В, а после его деления на В, что вполне законно, ведь В0, придем к выводу, что
АВ. (2)
Записав же два других столь же бесспорных неравенства
В-А и А-А, (3)
Аналогично предыдущему получим, что В*АА*А, а разделив на А0, придем к неравенству
АВ. (4)
Итак, число А, равное числу В, одновременно и больше, и меньше его.
Где ошибка?
Здесь совершен неравносильный переход от одного неравенства к другому при недопустимом перемножении неравенств.
Проделаем правильные преобразования неравенств.
Запишем неравенство (1) в виде А+В0, В+В0.
Левые части этих неравенств положительны, следовательно, умножая почленно оба эти неравенства
(А+В)(В+В)0, или А-В,
что представляет собой просто верное неравенство.
Аналогично предыдущему, записывая неравенства (3) в виде
(В+А)0, А+А0, получим просто верное неравенство В-А.
«Ахиллес никогда не догонит черепаху»
Древнегреческий философ Зенон доказывал, что Ахиллес, один из самых сильных и храбрых героев, осаждавших древнюю Трою, никогда не догонит черепаху, которая, как известно, отличается крайне медленной скоростью передвижения.
Вот примерная схема рассуждений Зенона. Предположим, что Ахиллес и черепаха начинают свое движение одновременно, и Ахиллес стремится догнать черепаху. Примем для определенности, что Ахиллес движется в 10 раз быстрее черепахи, и что их отделяют друг от друга 100 шагов.
Когда Ахиллес пробежит расстояние в 100 шагов, отделяющее его от того места, откуда начала двигаться черепаха, то в этом месте он туже ее не застанет, так как она пройдет вперед расстояние в 10 шагов. Когда Ахиллес минует и эти 10 шагов, то и там черепахи уже не будет, поскольку она успеет перейти на 1 шаг вперед. Достигнув и этого места, Ахиллес опять не найдет там черепахи, потому что она успеет пройти расстояние, равное 1/10 шага, и снова окажется несколько впереди его. Это рассуждение можно продолжать до бесконечности, и придется признать, что быстроногий Ахиллес никогда не догонит медленно ползающую черепаху.
Где ошибка?
Рассматриваемый софизм Зенона даже на сегодняшний день далек от своего окончательного разрешения, поэтому здесь я обозначу только некоторые его аспекты.
Сначала определим время t, за которое Ахиллес догонит черепаху. Оно легко находится из уравнения a+vt=wt, где а -расстояние между Ахиллесом и черепахой до начала движения, v и w – скорости черепахи и Ахиллеса соответственно. Это время при принятых в софизме условиях (v=1 шаг/с и w=10 шагов/с) равно 11, 111111… сек.
Другими словами, примерно через 11, 1 с. Ахиллес догонит черепаху. Подойдем теперь к утверждениям софизма с точки зрения математики, проследим логику Зенона. Предположим, что Ахиллес должен пройти столько же отрезков, сколько их пройдет черепаха. Если черепаха до момента встречи с Ахиллесом пройдет m отрезков, то Ахиллес должен пройти те же m отрезков плюс еще один отрезок, который разделял их до начала движения. Следовательно, мы приходим к равенству m=m+1, что невозможно. Отсюда следует, что Ахиллес никогда не догонит черепаху!!!
Итак, путь, пройденный Ахиллесом, с одной стороны, состоит из бесконечной последовательности отрезков, которые принимают бесконечный ряд значений, а с другой стороны, эта бесконечная последовательность, очевидно не имеющая конца, все же завершилась, и завершилась она своим пределом, равном сумме геометрической прогрессии.
Трудности, которые возникают при оперировании понятиями непрерывного и бесконечного и столь мастерски вскрываются парадоксами и софизмами Зенона, до сих пор не преодолены, а разрешение противоречий, содержащихся в них, послужило более глубокому осмыслению основ математики.
49 662
456 
