Нестандартные способы решения квадратных уравнений

Нестандартные способы решения квадратных уравнений

Математика выявляет порядок, симметрию и определённость, а это – важнейшие виды прекрасного.

Аристотель.

Актуальность этой темы заключается в том, что каждый ученик должен правильно решать данные уравнения, рационально распределять время решения, эти навыки и помогают успешно сдать ОГЭ и ЕГЭ.

Цель: изучить различные способы решений квадратных уравнений и попробовать их применить.

Задачи:

• изучить источники информации о квадратных уравнениях;
• рассмотреть способы решения квадратных уравнений;
• выявить наиболее рациональные способы;
• научиться их применять.

Новые способы решений

1. Решение уравнений способом переброски.

2. Разложение левой части уравнения на множители.

3. Свойства коэффициентов квадратного уравнения.

4. Метод выделения полного квадрата.

5. Графическое решение квадратного уравнения.

1. Решение уравнений способом переброски

Способ заключается в умножении коэффициента a на свободный член с , как бы «перебрасывается» к нему, отсюда и название данного способа. Применяется этот способ, когда из дискриминанта точно выделяется корень, а также когда можно применить теорему Виета.

2х 2 -6х+4=0.

«Перебросим» коэффициент 2 к коэффициенту 4, и получим:

у 2 -6y+8=0,

отсюда по теореме Виета получаем: у 1 =2, у 2 =4, тогда х 1 =2/2=1, а х 2 =4/2=2.

Ответ: 1; 2.

2. Разложение левой части уравнения на множители

3х 2 +15х+12=0

Разложим левую часть на множители:

3х 2 +15х+12=3x2+12x+3x+12=(3x+12x)+(3x+12)=3x(x+4)+3(x+4)=3(x+4)(x+1)

Отсюда получаем:

(х+4)(х+1)=0, данное произведение равно 0, каждый из множителей так же равен 0, корни уравнения - -4; -1.

3. Свойства коэффициентов квадратного уравнения

Применяя данный способ, должно выполнятся одно из условий:

1) а + b + с = 0 , то х 1 =1, х 2 =c/a;

2) b = a + c, то х 1 =1, х 2 = -с/а.

2х 2 -10х+8=0 , выполняется первое условие: а + b + с = 2-10+8=0, отсюда корни уравнения 1; 4.

2х 2 +10х+8=0 , в данном уравнении выполняется второе условие: b = a + c,

10=2+8, отсюда корни -1; -4.

4. Метод выделения полного квадрата

Метод заключается в том, чтобы привести уравнение общего вида к неполному квадратному уравнению.

Рассмотрим уравнение: х 2 + 6х - 7 = 0.

Выделим в левой части полный квадрат.

Преобразуем теперь левую часть уравнения

х 2 + 6х - 7 = 0, прибавляя к ней и вычитая 9.

Имеем:

х 2 + 6х - 7 = х 2 + 2* х * 3 + 9 - 9 - 7 = (х + 3) 2 - 9 - 7 =

= (х + 3) 2 - 16.

Таким образом, данное уравнение можно записать так:

(х + 3) 2 - 16 =0,

(х + 3) 2 = 16.

Следовательно, х + 3= - 4 или х + 3 = 4

х 1 = -7, х 2 = 1.

Рассмотрим решение квадратного уравнения вида х 2 -2х-3=0.

Построим график функции у = x 2 −2x−3.

1. Имеем: a=1, b=−2, x 0 =−b/2a=1, y 0 =f(1)=1 2 −2−3=−4. Значит, вершиной параболы служит точка (1; −4), а осью симметрии параболы является прямая x=1.

2. Возьмём на оси x точки, симметричные относительно оси параболы, например, точки

x= −2 и x=4, х = -1 и х = 3. Получаем f(−2)=f(4)=5, f(−1)=f(3)=0. Отметим на координатной плоскости точки (-2; 5) и (4; 5), (−1;0) и (3;0).

3. Построим параболу по точкам (-2; 5), (−1; 0), (1; −4), (3; 0), (4; 5).

Корни уравнения x 2 −2x−3=0 — это первые координаты точек, в которых функция равна нулю (то есть в которых график пересекает ось х); поэтому имеем решение: x 1 = −1; x 2 =3.

5. Графическое решение квадратного уравнения

«Плюсы» и «минусы» различных способов решения.

Название способа решения квадратных уравнений

Плюсы

Минусы

Решение уравнений способом переброски

За минимальное количество действий можно найти корни уравнения, применяется совместно со способом теоремы Виета

Разложение левой части уравнения на множители

Свойства коэффициентов квадратного уравнения

Дает возможность сразу увидеть корни уравнения

Легко найти только целые корни

Нужно правильно вычислить слагаемых для группировки

Метод выделения полного квадрата

Не требует особых усилий

Подходит только к некоторым уравнениям

За минимальное количество действий можно найти корни уравнений

Графическое решение квадратного уравнения

Нужно правильно найти все слагаемые для выделения полного квадрата

Наглядный способ

Могут быть не точности при составлении графиков

Спасибо за внимание.