Нетрадиционные системы счисления

  Факториальная  система счисления

• В рассмотренных ранее системах счисления «вес» единицы любого разряда, кроме первого, всегда равнялся «весу» единицы предшествующего разряда, умноженному на постоянное основание системы Р. Можно, однако, привести пример такой системы счисления, в которой смысл понятия «основание системы счисления» заметно отличается от традиционного

Предлагаемая система является следствием расширения нашего представления о роли основания системы счисления. Сущность нового подхода легко представить, если рассмотреть счеты необычной формы

• На нижнй проволоке счет, отведенной для единиц младшего разряда, вес каждой из которых равен единице, помещено две косточки. На следующей проволоке помещено три косточки, на третьей — четыре  и  т. д., на  n-ой  проволоке —  n+1  косточка. Так как каждая косточка на второй проволоке заменяет две косточки, расположенные на первой проволоке, то вес ее равен 2. Каждая косточка третьей проволоки заменяет три косточки второй проволоки и, следовательно, ее вес в 6 = 3*2*1 раз больше веса косточки на первой проволоке. Из этих разъяснений следует, что косточка, расположенная на  n - ой проволоке, имеет вес n!.  Вес единиц от разряда к разряду растет, но неравномерно. Это приводит к представлению числа в следующем виде:  

• Получаем, что  N -разрядное число, «списанное со счет», оказывается представленным не в виде суммы степеней основания  Р,  а является суммой факториалов  n первых натуральных чисел.

Пример -

3221 f = 3*4! + 2*3! + 2*2! + 1*1! = 89 10

40301 f =

4*5! + 3*3! + 1*1! = 499

• Следовательно, если запись числа в факториальной системе имеет вид

• то этому числу соответствует десятичное значение, равное

• где -цифра числа цифра числа 

Практическое применение

• С точки зрения практического применения в комбинаторных задачах из смешанных систем счисления для представления целых чисел наиболее важна  факториальная , где стоимость каждого разряда с номером  i  равна  i!.  

К нетрадиционным системам счисления относят и   фибоначчиеву систему счисления

• Базисом фибоначчиевой  системы является последовательность 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, ..., т. е. идущие подряд числа Фибоначчи.  а n =a n-1 + a n-2
• Алфавитом этой системы счисления являются цифры 0 и 1 . В записи числа в фибоначчиевой системе не могут стоять две единицы подряд.

а n =a n-1 + a n-2

Пример

1, 2, 3 , 5, 8, 13, 21, 34 , 55

Покажем, как записывать числа в фибоначчиевой системе счисления:

37 = 34 + 3 = 1*34 +0*21+0*13+0*8+0*5+ 1*3 +0*2+0*1= 1 0000 1 00 Fib ;

1 00 1 0 1 Fib .= 1*21 +0*13+0*8+0*5+ 1*3 +0*2+ 1*1 =

21 + 3 + 1 = 25 10