Объем пирамиды.

Теорема

Объём пирамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту

Теорема

Объём конуса равен одной трети произведения площади основания на высоту

I. Дано :

O

5) ΔОАС: А 1 С 1 ∥ АС

ОАВС — пирамида

∆ OA 1 C 1 ∼ ∆ OAC

V — объём

6) ΔОС B : В 1 С 1 ∥ ВС

S — площадь ΔАВС

∆ OB 1 C 1 ∼ ∆ OBC

A 1

h

B 1

M 1

ОМ 2 = h ( высота пирамиды )

7) ΔОА 1 М 1 и ΔОАМ 2 — прямоуг . (ОМ 1 и ОМ 2 ∈ h , ∠О — общий)

C 1

Доказательство:

ΔОА 1 М 1 ∼ ΔОАМ 2

A

B

M 2

2) OX: h ∈ OX

А 1 В 1 С 1 ∥ ABC

C

ОМ 1 = x , M ∈ Δ А 1 В 1 С 1

S(x) — площадь сечения

3) ∆А 1 В 1 С 1 ∼ ∆ABC

4) ∆ OAB : A 1 B 1 ∥ AB ⇒

∆ А 1 В 1 С 1 ∼ ∆ABC

∆ OA 1 B 1 ∼ ∆ OAB ⇒

Теорема доказана

Теорема

Объём конуса равен одной трети произведения площади основания на высоту

II. Дано :

O

3) ADCO : ADC — основание h — высота

OABCDF — пирамида

h — высота пирамиды

S — площадь АВС DF

4) ABCO : ABC — основания h — высоту

F

h

Доказательство:

D

1) Разобьём пирамиду OABCDF на треугольные OABC , OACD , OADF

S

A

V = V AFDO + V ADCO + V ABCO

C

2) AFDO : AFD — основание h —высота

B

Теорема доказана

S

Задача 1

Дано:

правильная треугольная пирамида

АС = С B = BA = 1

C

Найти: V

1

Решение:

A

H

1

1

B

a = b

Ответ: V = 0,25

S

Задача 2

Дано:

пирамида

а = 3, b = 4

V = 16

Найти: h

Решение:

D

C

S осн. = a · b

H

4

A

B

3

Ответ: h = 4