Объем прямоугольного параллелепипеда

Объем прямоугольного параллелепипеда

Определение параллелепипеда

Параллелепипедом называют такую объемную фигуру, в основании которой лежит многоугольник.

Разновидности параллелепипедов

Параллелепипеды делятся на несколько разновидностей, таких как:

1. Прямоугольный;

2. Наклонный;

3. Куб.

Свойства параллелепипеда

• Противоположные грани этой фигуры равны и параллельны друг другу;
• Параллелепипед симметричен лишь относительно средины любой без исключения своей диагонали;
• Если взять и провести диагонали между всеми противоположными вершинами параллелограмма, то у них окажется всего одна точка пересечения.
• Квадрат длинны его диагонали, равен сумме квадратов 3-х его измерений.

Теорема:

Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению трёх его измерений

Следствие 1

Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту

Дано: параллелепипед, а, b, c его измерения. V - объем

Доказать: V = abc. 

Следствие 2

Объем прямой призмы, основанием которой является прямоугольный треугольник, равен произведению площади основания на высоту

 1). Числа а  .  10 n  , b  .  10 n , c  .  10 n  – целые. " width="640"

Доказательство:

Пусть а, b, c – конечные десятичные дроби ( n   1). Числа а  .  10 n  , b  .  10 n , c  .  10 n  – целые.

Доказательство:

Разобьем каждое ребро параллелепипеда на равные части длины    и через точки разбиения проведем плоскости, перпендикулярные к этому ребру.

Параллелепипед разобьется на abc·10 3n  равных кубов с ребром  .

Т.к. объем каждого такого куба равен  , то объем всего параллелепипеда равен:  

Итак, V = abc.

Доказательство:

Хотя бы одно из измерений a, b, c –бесконечная десятичная дробь. Пусть а n , b n , c n  – конечные десятичные дроби, полученные из чисел a, b,c отбрасыванием в каждом из них всех цифр после запятой, начиная с (n+ 1).

Тогда a n £ a£ a n ’, где  (аналогично для b, c).

Перемножим эти неравенства a n b n c n £abc£ a n ’b n ’c n ’.

Доказательство:

По доказанному в предыдущем слайде, левая часть –V n , а правая V n’ . Т.к. параллелепипед Р содержит в себе параллелепипед Р n , а сам содержится в параллелепипеде P n ’, то объем V параллелепипеда Р заключен между V n =a n b n c n и V’ n = a n ’b n ’c n ’ т.е. a n b n c n £V£ a n ’b n ’c n ’. При неограниченном увеличении n число будет становиться сколь угодно малым, и потому числа a n b n c n и a n ’b n ’c n ’ будут сколь угодно мало отличаться друг от друга.

Следовательно , число V сколь угодно мало отличается от числа abc. Значит они равны: V = abc. Ч.т.д.

Задачи:

Задача 1. Площадь грани прямоугольного параллелепипеда равна 20. Ребро, перпендикулярное этой грани, равно 7. Найдите объем параллелепипеда.

Решение

Задачи:

Задача 2. Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 2, 4. Диагональ параллелепипеда равна 6. Найдите объем параллелепипеда.

Решение

Задачи:

Задача 3. Одна из граней прямоугольного параллелепипеда — квадрат. Диагональ параллелепипеда равна √8 и образует с плоскостью этой грани угол 45°. Найдите объем параллелепипеда.

Решение

Задачи:

Задача 4 . Площадь грани прямоугольного параллелепипеда равна 12. Ребро, перпендикулярное этой грани, равно 4. Найдите объем параллелепипеда.

Решение

Задачи:

Задача 5. Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

Решение

Спасибо за внимание