Ох уж эта тригонометрия!

Цели: Ознакомить учащихся с историей тригонометрии и её значимостью не только для математики, но и для других сфер жизнедеятельности людей.

Задачи: закрепить знание формул тригонометрии и развивать их применение при решении примеров и задач, познакомить с интересными фактами, связанными с тригонометрией, способствовать развитию математической речи, оперативной памяти, произвольного внимания, наглядно-действенного мышления; воспитывать культуру поведения при обсуждении различных вопросов формировать способность к самооценке на основе критерия успешности учебной деятельности

Планируемые результаты

Предметные: обучающиеся должны знать формулы тригонометрии и уметь применять их при решении тригонометрических уравнений и упрощении тригонометрических выражений.

Регулятивные: учащиеся должны обнаруживать и формулировать учебную проблему совместно с учителем; высказывать свое предположение; уметь определять и формулировать цель урока с помощью учителя; планировать свое действие в соответствии с поставленной задачей; вносить коррективы в действие после учета сделанных ошибок;

Познавательные: уметь ориентироваться в своей системе знаний; анализировать задание с помощью учителя и использовать ранее полученные знания

Коммуникативные: уметь оформлять свои мысли в устной и письменной форме; слушать и понимать речь учителя; следовать правилам поведения и общения на уроке

Личностные: уметь осуществлять самооценку на основе критерия успешности учебной деятельности

Форма проведения: игра-конкурс «Ох, уж эта тригонометрия!»

Наглядность и оборудование: Проектор, презентация, карточки с заданиями.

Открытый урок-игра. Ох уж эта тригонометрия

Мудрые мысли:

Открытие. (Вступительное слово) (5 мин)

Пускай кому- то мил английский,
Кому – то химия важна,
Без математики же всем нам
Но ни туда и ни сюда
Нам уравнения, как поэмы
И синусы поддерживают дух
Нам косинусы, будто песни,
А формулы приведения
Ласкают слух.

Конкурс 1: Разминка Из истории тригонометрии и ее практическое применение. (проверка Д/З). (10 мин)

Команда 1: Презентация по истории тригонометрии. (5 мин)

Команда 2: Практическое применение тригонометрии(5 мин)

Конкурс 1 ”Не берись за новое, не усвоив предыдущего”.

Вопросы: задаются каждой команде по очереди и ответ должен прозвучать в течении трех секунд.

1. Чему равен sin 30? (1/2)

2. Арккосинусом числа а называется …

… (такой угол альфа, косинус которого равен а)

1. 1/360-ая окружности называется … (градус)

2. Чему равен cos 90 ? (0)

3. Является ли функция четной? (да)

4. Отношение ординаты конца подвижного радиуса единичной окружности к длине её радиуса называется … (синус)

5. Чему равен сtg 60? ( )

6. Как выражается котангенс угла через его синус и косинус?

(косинус/синус)

1. Верно ли утверждение «функция возрастает на всей своей области определения» (нет)

2. Чему равен cos 45? ( )

3. Является ли функция четной? (нет)

4. Что означает слово «тригонометрия» …

.. (измерение треугольников)

1. Кто является автором первых тригонометрических таблиц? …

(Гиппарх)

1. Назовите основной период функции ( )

2. Арктангенсом числа а называется …… (такой угол альфа, тангенс которого равен а)

3. Отношение абсциссы конца подвижного радиуса единичной окружности к длине её радиуса называется … (косинус)

4. Назовите основной период функции ( )

5. Скольким градусам равен угол в 1 радиан? (57,3⁰)

6. Как называется величина, численное значение которой обратно косинусу? (косеканс)

7. Верно ли утверждение «функция является четной функцией» (нет)

8. Отношение ординаты конца подвижного радиуса единичной окружности к её абсциссе называется … (котангенс)

9. Является ли функция четной? (нет)

10. Назовите основной период функции ( )

11. Отношение абсциссы конца подвижного радиуса единичной окружности к её ординате называется … (тангенс)

12. Назовите основной период функции ( )

13. Чему равен tg 90 (не существует)

14. Как называется график функции (синусоида)

15. Арккотангенсом числа а называется …… (такой угол альфа, котангенс которого равен а)

16. Верно ли утверждение «функция является нечетной функцией « (нет)

17. Как выражается тангенс угла через его синус и косинус? (синус/косинус)

18. Верно ли утверждение «Областью определения функции » является отрезок [-1;1] (нет)

19. Сформулировать правило, которым пользуются при выводе формул приведения

(определить четверть, в которой оканчивается данный угол, определить знак данной тригонометрической функции в этой четверти, если угол откладывается от горизонтального диаметра, то наименование функции не меняется, если угол откладывается от вертикального диаметра, то наименование функции меняется сходное)

1. Чему равен tg 180. (0)

2. Как получить график функции (симметричным отображением графика функции ) относительно биссектрисы 1 и 3 координатной четвертей

3. Является ли функция четной? (нет)

4. Арксинусом числа а называется …… (такой угол альфа, синус которого равен а)

5. Как получить график функции (симметричным отображением графика функции ) относительно биссектрисы 1 и 3 координатной четвертей

6. Является ли уравнение простейшим тригонометрическим уравнением? (нет)

7. Как получить график функции (симметричным отображением графика функции ) относительно биссектрисы 1 и 3 координатной четвертей

8. Верно ли утверждение «функция » (да)

9. Как называется величина, численное значение которой обратно синусу? (секанс)

10. Как получить график функции (симметричным отображением графика функции ) относительно биссектрисы 1 и 3 координатной четвертей

11. Чему равен sin 0? (0)

12. Как получить график функции из графика функции ? (Сдвигом по оси абсцисс на )

13. Чему равен сtg 45 (1)

14. Является ли график функции симметричным относительно оси ординат? (нет)

15. Чему равен cos60, (1/2)

16. Является ли график функции симметричным относительно оси ординат? (да)

17. Является ли вся числовая ось областью определения функции ? (нет)

18. Чему равен сtg 0, (не существует)

Конкурс 2 «Заполни таблицу»

Конкурс 3:  Эстафета. «Величие человека - в его способности мыслить».
Б. Паскаль.

«Сообрази» Путем перестановки букв составить фамилию ученого, используя каждую букву. (3 мин)

• ВЕЧО – БАК – ЛИЙС (Лобачевский);

• РЕЛ – ЭЙ (Эйлер);

• КИНО – РЕПК (Коперник);

• НОТЬ – ЮН (Ньютон);

• НОС – ЛОМОВО (Ломоносов);

• ГОРА – ПИФ (Пифагор);

• ПЕРЛ – ЕК (Кеплер);

• ПАРГ – ХИП (Гиппарх).

Конкурс 4 : Дополни равенство до формулы.

Учение без размышления бесполезно, но и размышление без учения опасно. (Конфуций).

Конкурс 5: Решите уравнения: Задания раздаются командам и работа ведется командно.

Конкурс 6: «Загадки и ребусы»

ЗАГАДКИ

1. Я для угла прямого не могу существовать,

Зато до бесконечности могу и возрастать, и убывать.

(Тангенс)

1. Барьер серьёзный у меня или ограничение,

Причина – в синусе угла, точней – в его значении.

Что за барьер – скажите сами,

С какими связан он углами?

(Котангенс)

1. Барьер серьёзный у меня или ограничение,

Причина – косинус угла, точней – его значение.

Что за барьер, ответит тот,

Кто угол точно назовёт.

(Тангенс)

1. Три отношения равны,

Найдёте в них три стороны.

Углы напротив них лежат,

Их синусы займут весь нижний ряд.

Вдобавок этим отношениям высокая досталась честь:

Чтоб их расширить применение, диаметр, равный им, там есть.

(Теорема синусов)

1. Стороны квадрат любой у треугольника

Вычисляют очень быстро школьники,

Если знают для угла величину

И вдобавок двух сторон длину.

(Теорема косинусов)

Какое слово начинается с трёх букв «г» и заканчивается тремя буквами «я»?

Ребусы.

Жюри подводит итоги игры.

Рефлексия

ЧТО ТАКОЕ “ТРИГОНОМЕТРИЯ”?

ОТНОШЕНИЯ СТОРОН В ПРЯМОУГОЛЬНОМ ТРЕУГОЛЬНИКЕ

Примечание. Стихотворение озвучивается на фоне изображения треугольника АВС с прямым углом С.

Треугольник мы рассмотрим не любой – с прямым углом,

Отношения сторон не спеша изучим в нём.

Обозначим треугольник мы привычно – АВС,

И прямым пусть будет угол в треугольнике том С.

Угол В и угол А – это острых два угла,

В градусах, понять так просто, сумма их есть девяносто.

В нём АВ гипотенузой будет в случае таком,

И два катета найдутся в треугольнике легко.

Вот АС, он стороною будет острого угла,

Что вершиною имеет, нет сомнений, точку А.

Говорят, он прилежащий, к углу А он прилежит,

А для В лежит он против, то есть противолежит.

Вот ВС, лежит он против всё того же угла А,

А для В он – прилежащий, для него он – сторона.

Всем теперь понять несложно, как найдётся для угла

Очень нужная в расчётах синуса величина. 

Делим на гипотенузу катет противолежащий,

В результате получаем синус, самый настоящий.

Если на гипотенузу прилежащий катет делим,

Значит, косинус в ответе получается на деле. 

Катет противолежащий разделив на прилежащий,

Для угла получим тангенс, для расчётов подходящий. 

Если катеты местами поменяем при делении,

То котангенс получаем при подобном вычислении. 

Эти важные значения, скажем без преувеличения,

Есть у каждого угла, между ними связь видна.

Эти связи мы изучим, быстро равенства получим,

Чтобы после применять и расчёты упрощать.

ВЗАИМОСВЯЗЬ МЕЖДУ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИМИ ФУНКЦИЯМИ

Примечание. Стихотворение озвучивается на фоне демонстрации соответствующих формул.

Вы проверьте, не ленитесь, вскоре сами убедитесь,

Что все равенства верны и, что главное, в расчётах так полезны, так нужны.

Если синус аккуратно мы на косинус разделим, 

В результате будет тангенс без особой канители.

Важно только, чтобы угол непременно был такой,

Чтобы косинус его был не нулевой.

Делим косинус на синус без ошибок, аккуратно, - 

Вот котангенса значение, что для тангенса – обратное.

Здесь опять напомнить нужно, угол должен быть такой,

Чтобы синус у угла был не нулевой.

Пишем косинус в квадрате, пишем синуса квадрат, 

Их сложив, мы получаем единицу в аккурат!

Если тангенс на котангенс мы в задаче умножаем, 

Непременно единицу в результате получаем!

Если острых два угла в сумме – девяносто,

Значит, косинус и синус связаны их просто:

Синус одного угла – косинус второго, 

Верно и наоборот, что уже не ново.

Также тангенс и котангенс связаны при этом,

И подобный результат будет здесь ответом.

Тангенс одного угла, что вполне логично, 

Есть котангенс для другого – результат отличный!

ТЕОРЕМА СИНУСОВ

Примечание. Стихотворение озвучивается на фоне изображения произвольного треугольника АВС и описанной около него окружности и демонстрации формулы, выражающей теорему синусов:

Теорема синусов – разговора тема.

Между прочим, важная очень теорема.

В каждом треугольнике может применяться,

Как она работает, стоит разобраться.

Три дроби равных смело пишем в ряд,

В числителе у каждой – сторона,

А в знаменателях – по синусу стоят

Им противолежащего угла.

С описанной окружностью родство

Имеют дроби не одно столетие,

И радиус удвоенный её

Им равен, что известно всем на свете!

Для двух углов известны меры в градусах

И сторона известна в треугольнике.

- Решим его по теореме! – с радостью

В девятом классе заявили школьники.

ТЕОРЕМА КОСИНУСОВ

Примечание. Стихотворение озвучивается на фоне изображения произвольного треугольника АВС с длинами сторон a,b,c, и демонстрации формул, выражающих теорему косинусов:

О теореме обобщённой Пифагора, о теореме косинусов будем говорить,

Она надёжной станет в вычислениях опорой, любые треугольники сумеем мы решить.

В квадрат любую сторону сначала возведём и знак “равно” поставим справа рядом,

Квадраты двух других сторон найдём, затем сложить квадраты эти надо.

Чтоб формула законченной была, поставим дальше “минус” в выражение,

Удвоим тех сторон произведение на косинус их общего угла.

Хотя приметы теоремы Пифагора в той формуле отыщутся легко,

Её отличие заметно всем, без спора, и применение очень широко.

Мы вычисляем сторону любую по двум другим известным сторонам,

Когда встречаем ситуацию такую, вдобавок угол между ними нужен нам.

Чтоб стороны длину узнать, квадратный корень здесь придётся извлекать.

Известны пусть три стороны. Какой-то из углов мы вычислить должны.

Находим косинус, нам формула поможет, а после - меру в градусах для этого угла.

Ни одного нет треугольника такого, чтоб теорема вдруг не подошла!

Она не только в треугольнике углы определит, но также безошибочно укажет его вид.

Подходит произвольный треугольник, в котором три известны стороны.

Ту чудо-формулу бери и действуй, школьник! В расчётах ей ну просто нет цены!

Величину квадрата большей стороны мы с суммою сравнить должны

Квадратов двух других сторон. К примеру, большим будет он.

Тупой имеет угол треугольник обязательно, лежащий против большей стороны,

А косинус угла, бесспорно, отрицательный, проверьте, если вдруг удивлены.

Квадрат пусть меньше суммы двух квадратов оказался –

Углы все острые, здесь каждый догадался.

А если знак “равно” получен скоро, применим теорему, что обратна теореме Пифагора,

И больший угол будет лишь прямой, такую логику увидит здесь любой!

Вот теорема важная какая! Теперь о ней достаточно мы знаем.

1. Решите уравнения:

1. Решите уравнения:

1. Решите уравнения:

1. Решите уравнения:

1. Решите уравнения:

1. Решите уравнения:

Ответы к решению уравнений:

дополни равенство до формулы

ОТВЕТЫ

Конкурс 4 : Дополни равенство до формулы.

"Ох уж эта

тригонометрия!"

Пускай кому- то мил английский, Кому – то химия важна, Без математики же всем нам Но ни туда и ни сюда Нам уравнения, как поэмы И синусы поддерживают дух Нам косинусы, будто песни, А формулы приведения Ласкают слух.

Конкурс 1

” Не берись за новое, не усвоив предыдущего ” .

Конкурс 2

«Заполни таблицу»

Свойства функции

Функции

Область определения

Область значений

Четность/нечетность

Нули функции

Промежутки возрастания

Промежутки убывания

Обратная функция

Конкурс 3:  

Эстафета. «Величие человека - в его способности мыслить».

Б. Паскаль.

• ВЕЧО – БАК – ЛИЙС
• РЕЛ – ЭЙ
• КИНО – РЕПК
• НОТЬ – ЮН
• НОС – ЛОМОВО
• ГОРА – ПИФ
• ПЕРЛ – ЕК
• ПАРГ – ХИП

• (Лобачевский);
• (Эйлер);
• (Коперник);
• (Ньютон);
• (Ломоносов);
• (Пифагор);
• (Кеплер);
• (Гиппарх).

Конкурс 4:

Учение без размышления бесполезно, но и размышление без учения опасно. (Конфуций).

Дополни равенство до формулы

Конкурс 5:

«Математика- это язык, на котором говорят все точные науки».

Н.И. Лобачевский .

Конкурс 6 :

"Предмет математики настолько серьезен, что полезно не упускать случая сделать его немного занимательным.

Блез Паскаль

«Загадки и ребусы»

• Я для угла прямого не могу существовать,

Зато до бесконечности могу и возрастать, и убывать.

(Тангенс)

• Барьер серьёзный у меня или ограничение,

Причина – в синусе угла, точней – в его значении.

Что за барьер – скажите сами,

С какими связан он углами?

(Котангенс )

• Три отношения равны,

Найдёте в них три стороны.

Углы напротив них лежат,

Их синусы займут весь нижний ряд.

Вдобавок этим отношениям высокая досталась честь:

Чтоб их расширить применение, диаметр, равный им, там есть.

(Теорема синусов)

• Стороны квадрат любой у треугольника

Вычисляют очень быстро школьники,

Если знают для угла величину

И вдобавок двух сторон длину.

(Теорема косинусов)

• Барьер серьёзный у меня или ограничение,

Причина – косинус угла, точней – его значение.

Что за барьер, ответит тот,

Кто угол точно назовёт.

(Тангенс)

Какое слово начинается с трёх букв «г» и заканчивается тремя буквами «я»?

(Тригонометрия)

Разгадав ребус, вы узнаете имя древнегреческого философа и математика, которому приписывают открытие важнейших теорем геометрии

Пифагор

Косинус

Это слово переводится с латинского как изгиб или дуга

Синус

Это слово переводится с латинского как касательная

Тангенс

Музыка может возвышать или умиротворять душу Живопись – радовать глаз, Поэзия – пробуждать чувства,  Философия – удовлетворять потребности разума, Инженерное дело – совершенствовать материальную сторону жизни,  А математика способна достичь всех этих целей .

Спасибо

за внимание!!!